江西省赣州市2024-2025学年高一上学期1月期末数学试题（含解析）

江西省赣州市2024-2025学年高一上学期1月期末数学试题
第I卷（选择题）
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.若集合，，则( )
A. B. C. D.
2.为深入学习宣传党的二十大精神，某校开展了“奋进新征程，强国伴我行”二十大主题知识竞赛其中高一年级选派了名同学参赛，且该名同学的成绩依次是，，，，，，，，，，则分位数为( )
A. B. C. D.
3.已知事件，相互独立，且，，则( )
A. B. C. D.
4.若函数为奇函数，则( )
A. B. C. D.
5.命题“”为真命题的充分不必要条件是( )
A. B. C. D.
6.某科研小组培育一种水稻新品种，由第代粒种子可以得到第代粒种子，以后各代每粒种子都可以得到下一代粒种子，则第代得到的种子数为( )参考数据：，
A. B. C. D.
7.函数，且，则和的不等关系正确的是( )
A. B. C. D.
8.给定函数，若实数使得，则称为函数的不动点若实数使得，则称为函数的次不动点若函数在区间上有且仅有一个不动点和一个次不动点，则实数的取值范围是( )
A. B. C. D.
二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.下列说法正确的是( )
A. 命题“，都有”的否定为“，使得”
B. 函数单调递增区间是
C. “”是“函数在区间单调递增”的充分不必要条件
D. 不等式对任意恒成立，则实数的取值范围是
10.设函数，则下列结论正确的是( )
A. 为偶函数 B.
C. 在单调递增 D. 的值域为
11.若，均为正实数，满足，则以下结论中正确的有( )
A. 的最大值为 B. 的最小值为
C. 的最小值为 D. 的最小值为
第II卷（非选择题）
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.函数，则 ．
13.若函数的定义域为，则函数的定义域为 ．
14.函数，若函数有四个不同的零点，，，，则的取值范围是 ．
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.本小题分
设全集为，已知集合，．
当时，求
若“”是“”的充分条件，求实数的取值范围．
16.本小题分
已知函数为幂函数．
判断函数的单调性，并加以证明
若不等式在区间上恒成立，求实数的取值范围．
17.本小题分
近年来，中国新能源汽车持续领跑全球，引领着全球汽车产业的转型发展浪潮，年中国新能源汽车产销突破万辆现有某种型号的新能源汽车经多次实验得到每小时耗电量单位：与速度单位：的数据如下表所示．
为了描述该汽车每小时耗电量与速度的关系，现有以下三种函数模型供选择：，，．
当时，选出你认为最符合表格所列数据实际的函数模型，请说明理由并求出相应的函数解析式
当时，该型号新能源汽车应以多少速度行驶时百公里耗电量单位：最小并计算出该最小值．
18.本小题分
赣州市是我国当今保存最完好的北宋城，有“江南宋城”之誉，是客家先民中原南迁的第一站，世称“客家摇篮”，被命名为“国家历史文化名城”、“中国优秀旅游城市”目前，赣州市形成了“红色故都、客家摇篮、江南宋城、生态家园、世界橙乡、堪舆圣地”六大旅游品牌年国庆假期，赣州旅游再次火爆“出圈”据统计，月日至日，全市共接待游客万人次为了解游客的旅游体验满意度，某研究性学习小组用问卷调查的方式随机调查了名游客，并将收集到的游客满意度分值数据满分分分成六段：，，，，，，得到如图所示的频率分布直方图．
求频率分布直方图中的值，并估计名游客满意度分值的中位数结果保留整数
用分层随机抽样的方法从中抽取个人，再从这个人中随机抽两人进行深入访谈，求人满意度分值在同一区间的概率
已知满意度分值在的平均数，方差，在的平均数为，方差，试求满意度分值在的平均数和方差．
19.本小题分
函数图象关于坐标原点成中心对称图形的充要条件是函数为奇函数可以将其推广为：函数图象关于点成中心对称图形的充要条件是函数为奇函数已知函数．
证明：函数的图象关于点成中心对称图形
判断函数的单调性不需要证明，若，求实数的取值范围．
若函数在区间上的值域为，求实数的取值范围．
答案和解析
1.【答案】
【解析】集合，
又，
则，
故选D．
2.【答案】
【解析】因为，
故分位数为，
故选B．
3.【答案】
【解析】由，得，
则，
故选A．
4.【答案】
【解析】函数为奇函数，且定义域为，
则，解得，
经检验，当时，是奇函数，
则，
故选A．
5.【答案】
【解析】要求命题“”为真命题的充分不必要条件，
只需要求的真子集即可，
由选项可知，只有满足题意，
故选B．
6.【答案】
【解析】
由题意，从第代到第代种子数构成了一个等比数列，
该等比数列的首项，公比，则，
则．．
故第代得到的种子数约为．
故选C．
7.【答案】
【解析】．
，
，
若，则，此时，，
则，即；
若，则，此时，，
则，即
综上，，
故选C．
8.【答案】
【解析】由于函数在区间上有且仅有一个不动点和一个次不动点，
所以以及，都有且仅有个根，
由，即，即在有且仅有个根，
即，即，
由，即，即在有且仅有个根，
易得函数在上单调递增，
则，即，
综合、可知，，
故选A．
9.【答案】
【解析】对于，命题“，都有”的否定为“，使得”故A正确；
对于，函数是由函数和复合而成，
由于函数单调递增，解，得，
函数的单调递增区间为，
故函数单调递增区间是，故B错误；
对于，函数在区间单调递增，所以，
能推出，而不能推出，所以“”是“函数在区间单调递增”的充分不必要条件，故C正确；
对于，不等式对任意恒成立，当时，恒成立，故的值可以为，故D错误，
故选AC．
10.【答案】
【解析】选项，易得函数的定义域为，
，故为偶函数，故A选项正确．
选项， ， ，
所以 ，故B选项正确；
选项，因为 ，
设 ，因为 在 上单调递减，所以在 单调递增，故C选项正确；
选项，由选项知，
因为 ，则 ，
函数的值域为 ，故D错误．
故选ABC．
11.【答案】
【解析】因为 ，
又因为 ，即 ，
当且仅当时等号成立，
，故的最大值为，
故A正确；
因为 ，
当且仅当 且 ，
即 时等号成立，故B错误；
因为，所以
，
当且仅当 且 ，
即，时，等号成立，
又实数 ，所以等号不成立，故C错误；
因为，
当，时，的最小值为，故D正确．
故选AD．
12.【答案】
【解析】因为，
所以 ．
则，
故答案为．
13.【答案】
【解析】函数的定义域为，
，
．
函数的定义域为．
故答案为．
14.【答案】
【解析】因为，
当时，，可知其对称轴为，
令，解得或
令，解得或
当时，，令，解得或，
作出函数的图象，如图所示，
若方程有四个不同的实根，，，，
即图象与直线有四个不同的交点，交点横坐标依次为，，，，
则，
对于，，则，可得，所以
对于，，则，，，可得
所以，
由对勾函数可知在上单调递增，得，
所以的取值范围是．
故答案为．
15.解：当时，，
或，
又因为，
则或．
因为“”是“”成立的充分条件，则，
集合，，
当时，，即符合题意；
当时，，解得：．
综上所述，实数的取值范围是
16.解：函数为幂函数，则，
即，
因为，所以，
得，则函数在上单调递增，
下面证明：
任取且，
则，
因为，所以，而，
得，即，
故函数在上单调递增．
由不等式得，
，
令，由，得，，
不等式变为：，
得，
当时，上式恒成立，
当时，，
而，
当且仅当时等号成立，
则，
故实数的取值范围为：
17.解：对于 ，当 时，它无意义，所以不符合题意；
对于 ，它显然是个减函数，所以不符合题意，
故选 ．
根据提供的数据，则有 ，解得 ，
当 时， ．
设车速为 ，行驶时百公里所用时间为 ，
所耗电量
，
要使耗电量达到最小，则 ．
最小耗电量为 ．
18.解：由，解得
满意度分值在的频率为，
在的频率为，
所以中位数落在区间内，
所以中位数为
从中抽取人，记为，，
从中抽取人，记为，，
所以个人中随机抽取两人，抽取的结果有：，共有种情况，
取到人满意度分值在同一区间有有种情况，所以概率为，
人满意度分值在同一区间的概率为；
满意度分值在的频率为，人数为
在的频率为，人数为，
满意度分值在的平均数，方差，
在的平均数，方差，
所以满意度分值在的平均数，
满意度分值在的方差为
．
19.证明：由题意得：函数的定义域为，
又，令，可知：，
从而，所以是奇函数，即是奇函数，
故函数图象关于点成中心对称图形．
解：在上是增函数，
所以函数在上也是增函数，
由可得，即，
所以，又函数在上是增函数，
所以，即，解得，
所以实数的取值范围是．
解：由在上是增函数可得，函数在区间上的值域为也就是
所以，是方程的两个不相等实根，
令，则方程变为，
也就是需要方程有两不等正根，
所以，解得，
所以实数的取值范围是．
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