1.1.1 同底数幂的乘法 课件（共37张PPT）2024-2025学年数学北师大版七年级下册

(共37张PPT)
1.1 整式的乘法
1.1.1 同底数幂的乘法
同学们已经知道整式可以进行加减运算，
但在解决一些问题时可能需要对整式进行乘法运算.
例如，已知光在某种介质中的传播速度v及传播时间t，求光传播的距离等.
整式具体如何进行乘法运算？
比如，单项式与单项式如何相乘呢？
单项式与多项式如何相乘呢？
多项式与多项式如何相乘呢？
对于一些特殊的多项式与多项式相乘，是否可以从中总结出一些利于简便计算的公式呢？
本章将主要学习这些内容.
我国国防科技大学成功研制的“天河二号”超级计算机以每秒33.86千万亿（3.386×1016）次运算.问：它工作103s可进行多少次运算？
（1）怎样列式？
（2）观察这个算式，两个乘数1016与103有何特点？
（1）3.386×1016 ×103
（2）1016 和103这两个幂的底数相同，是同底的幂的形式.
我们把1016 ×103这种运算叫作同底数幂的乘法.
在上学期，我们已经知道
an=a·a·…·a，
n个a
其中a是有理数，n为正整数.
思考：（1）103表示的意义是什么？其中10，3，103分别叫什么？
( 2 )10×10×10×10×10可以写成什么形式
=10×10×10
3个10相乘
103
底数
幂
指数
10×10×10×10×10=105
1016×103=？
=(10×10×…×10)
（16个10）
×(10×10×10)
(3个10)
=10×10×…×10
(19个10)
=1019
=1016+3
(乘方的意义)
(乘法的结合律)
(乘方的意义)
22×24= ；
a2 · a4= ；
a3 · am= （m是正整数）.
由乘方的定义可知：2 ×24
=(2×2)×(2×2×2×2)
=2×2×2×2×2×2
=26.
2 个 2
4 个 2
(2+4)个 2
a ·a4
=(a·a)·(a·a·a·a)
=a·a·a·a·a·a
=a6.
(2+4)个 a
2个a
4 个a
a3·am
=(a·a·a)·(a·a·…·a)
=a·a·…·a
=a3+m.
(3+m)个 a
3个a
m个a
比较上述三个等式两端的底数和指数，你会发现什么？
底数不变，指数相加.
猜一猜
am · an =a（ ）
m+n
如果m,n都是正整数，那么am·an等于什么？为什么？
am·an
( 个a)
·(a·a·…·a)
( 个a)
=(a·a·…·a)
( 个a)
=a( )
(乘方的意义)
(乘法的结合律)
(乘方的意义)
m
n
m+n
m+n
=(a·a·…·a)
一般地，若m，n都是正整数，则
am·an=(a·a·…·a)·(a·a·…·a)=a·a·…·a=am+n.
m个a n个a (m+n)个 a
也就是
即同底数幂相乘,底数不变，指数相加.
am · an = am+n (m，n都是正整数).
同底数幂的乘法法则
结果：①底数不变
②指数相加
注意：
条件：①乘法
②底数相同
例1 计算：
（1）105×103； （2）x3·x4.
解（1）105×103=105+3=108.
(2）x3·x4=x3+4=x7.
下列计算对不对？如果不对，应怎样改正？
（1）a2.a5=a10；
（2）a3.a3=2a6；
（3）a·a4=a4.
例2 计算：
（1）-a·a3 ； （2）-yn·yn+1（n是正整数）.
解（1）-a·a3=（-1）·a1+3=-a4.
(2）-yn·yn+1=（-1）·yn+n+1= -y2n+1.
解：(1)原式=(－3)7+6=(－3)13；
(2)原式=
(3)原式=
(4)原式=
计算：
(1) (－3)7×(－3)6；
(2)
(3)－x3·x5；
(4)b2m·b2m+1 .
－x3+5= －x8；
b2m+2m+1=b4m+1.
提醒：
计算同底数幂的乘法时，
要注意算式里面的负号是属于幂的
还是属于底数的．
判断（正确的打“√”，错误的打“×”）
(1)x4·x6=x24 ( 　) （2） x·x3=x3 ( 　)
(3) x4+x4=x8 (　 ) (4) x2·x2=2x4 (　 )
(5)(－x)2 · (－x)3 = (－x)5 (　 )
(6)a2·a3－ a3·a2 = 0 ( 　 )
(7)x3·y5=(xy)8 ( 　 )
(8) x7+x7=x14 ( 　 )
√
√
×
×
×
×
×
×
对于计算出错的题目，你能分析出错的原因吗？试试看！
a · a6 · a3
类比同底数幂的乘法公式am · an = am+n (当m、n都是正整数)
am· an· ap = am+n+p （m、n、p都是正整数)
当三个或三个以上同底数幂相乘时，是否也具有这一性质呢？用字母表示 等于什么呢？
am · an · ap
比一比
= a7 · a3 =a10
想一想
例3 计算：
（1）y·y2·y4； （2）（-x）×（-x2）×（-x3）.
解（1）y·y ·y4=（y·y )·y4=y3·y4=y7.
（2）（-x）×（-x2）×（-x3）= -（x·x2·x3）
= -（x3·x3）
= -x6.
例3还可以这样计算：
（1）y·y2·y4=y1+2+4 = y7 .
（2）（-x)×（-x2）×（-x3）= -x1+2+3 = -x6 .
am·an·ak=？（m，n，k都是正整数）
光在真空中的速度约为3×108m/s,太阳光照射到地球上大约需要5×102m/s.地球距离太阳大约有多远？
解：3×108×5×102
=15×1010
=1.5×1011(m).
答：地球距离太阳大约有1.5×1011m.
1 计算：
（1）56×54； （2）x·x3；
（3）（-2）3×（-2）4； （4）-a5·a5；
（5）xm+1·xm-1（其中m>1，且m是正整数）.
2 计算：
（1）x2·x3·x4；
（2）（-x）×x3×（-x5）；
（3）xn·xn+1·xn+2（n是正整数）.
1.下面的计算对不对？如果不对，应当怎样改正.
(1)b3·b3=2b3
(2)b3+b3=b6
(3)a·a5·a3=a8
(4)(－x)4·(－x)4=(－x)16
×
×
×
×
b3·b3=b6
b3+b3=2b3
=x8
a·a5·a3=a9
(－x)4·(－x)4=(－x)8
(1)x·x2·x( )=x7;
(2)xm·（ ）=x3m;
(3)8×4=2x，则x=( ).
23×22=25
4
5
x2m
2.填空：
A组
（1）(－9)2×93
（2）(a－b)2·(a－b)3
（3）－a4·(－a)2
3.计算下列各题：
注意符号哟！
B组
(1) xn+1·x2n
(2)
(3)
a·a2+a3
=92×93=95
=(a-b)5
=－a4·a2
=－a6
=x3n+1
=a3+a3=2a6
公式中的底数和指数可以是一个数、字母或一个式子.
注意：
（1）已知an－3·a2n+1=a10,求n的值;
公式运用：am·an=am+n
解：n－3+2n+1=10,
n=4;
4.创新应用.
（2）已知xa=2,xb=3,求xa+b的值.
公式逆用：am+n=am·an
解：xa+b=xa·xb=2×3=6.
同底数幂的乘法
法则
am·an=am+n (m,n都是正整数）
注意
同底数幂相乘，底数不变，指数相加
am·an·ap=am+n+p(m,n,p都是正整数）
直接应用法则
常见变形：(－a)2=a2, (－a)3=－a3
底数相同时
底数不相同时
先变成同底数,再应用法则