1.1.2 幂的乘方 课件（共39张PPT）2024-2025学年数学湘教版七年级下册

(共39张PPT)
1.1 整式的乘法
1.1.2 幂的乘方
同底数幂的乘法
法则
am·an=am+n (m,n都是正整数）
注意
同底数幂相乘，底数不变，指数相加
am·an·ap=am+n+p(m,n,p都是正整数）
直接应用法则
常见变形：(－a)2=a2, (－a)3=－a3
底数相同时
底数不相同时
先变成同底数,再应用法则
地球、木星、太阳可以近似地看做是球体 .木星、太阳的半径分别约是地球的10倍和102倍，它们的体积分别约是地球的多少倍？

问题：请分别求出下列两个正方形的面积？
10
103
＝边长2
＝边长×边长
S正
S小
＝10×10
＝102
＝103×103
S大
=(103)2
=
106
=
106
请根据乘方的意义及同底数幂的乘法填空，观察计算的结果，你能发现什么规律？
(32)3= ___ ×___ ×___
=3（ ）+（ ）+（ ）
=3（ ）×（ ）
=3（ ）
32
32
32
2
2
2
2
3
6
(22)3 = ；
(a2)3 = ；
(a2)m = (m是正整数).
由乘方的定义可知：
（22）3 = 22·22·22 = 22+2+2 = 22×3 = 26.
（a2）3 = a2·a2·a2 = a2+2+2 =a2×3 = a6.
m个2
（a2）m = a2·a2·…·a2 = a2+2+…+2 =a2·m = a2m.
m个a2
比较上述三个等式两端的底数和指数，你会发现什么？
底数不变，指数相乘.
猜想：(am)n=_____.
amn
如果m,n都是正整数，那么（am）n等于什么？为什么？
(am)n
n个am
n个m
一般地，若m，n都是正整数，则
(am)n = am·am·…·am = am+m+…+m = amn.
n个am n个m
也就是
即幂的乘方，底数不变，指数相乘.
幂的乘方法则
(am)n= amn (m，n都是正整数）.
下列计算对不对？如果不对，应怎样改正？
（1）（a2）5 = a7；
（2）（a3）2 = a9.
例4 计算：
（1）（105）2； （2）-（a3）4.
解（1）（105）2=105×2=1010.
（2）-（a3）4 = -a3×4 = -a12.
例5 计算：
（1）（xm）4（m是正整数）； （2）（a4）3·a3.
解（1）（xm）4=xm·4=x4m.
（2）（a4）3·a3=a4×3·a3=a12+3=a15.
题1 计算：
（1）（103）5 ； （2）（a2）4；
（3）（am）2； （4）-（x4）3；
（5） [(x+y)2]3； （6） [(﹣x)4]3.
解: (1) (103)5 = 103×5 = 1015；
(2) (a2)4 = a2×4 = a8；
(3) (am)2 =am·2=a2m；
(4) -(x4)3 =-x4×3=-x12.
(5)[(x+y)2]3= (x+y)2×3 =(x+y)6；
(6)[(﹣x)4]3= (﹣x)4×3 = (﹣x)12 = x12.
方法总结：运用幂的乘方法则进行计算时，一定不要将幂的乘方与同底数幂的乘法混淆，
在幂的乘方中，底数可以是单项式，也可以是多项式．
(-a5)2表示2个-a5相乘，结果没有负号.
比一比
(-a2)5和(-a5)2的结果相同吗 为什么
不相同.
(-a2)5表示5个-a2相乘，其结果带有负号.
n为偶数
n为奇数
下面这道题该怎么进行计算呢？
幂的乘方:
＝(a6)4
=a24
[(y5)2]2=______=______
[(x5)m]n=______=_____
练一练：
(y10)2
y20
(x5m)n
x5mn
想一想：
题2 计算：
(1) (x4)3·x6;
(2) a2(－a)2(－a2)3＋a10.
解: (1) (x4)3·x6 =x12·x6= x18；
(2) a2(－a)2(－a2)3＋a10
= -a2·a2·a6＋a10
= -a10＋a10 = 0.
忆一忆有理数混合运算的顺序
先乘方，再乘除
先乘方，再乘除，最后算加减
底数的符号要统一
方法总结：与幂的乘方有关的混合运算中，一般先算幂的乘方，再算同底数幂的乘法，最后算加减，然后合并同类项．
题3 已知10m＝3，10n＝2，求下列各式的值.
(1)103m；
(2)102n；
(3)103m＋2n．
解：(1)103m＝(10m)3＝33＝27；
(2)102n＝(10n)2＝22＝4；
(3)103m＋2n＝103m×102n＝27×4＝108.
方法总结：此类题的关键是逆用幂的乘方及同底数幂的乘法公式，将所求代数式正确变形，然后代入已知条件求值即可.
(1)已知x2n＝3，求(x3n)4的值；
(2)已知2x＋5y－3＝0，求4x·32y的值．
解：(1) (x3n)4＝x12n＝(x2n)6＝36＝729.
(2) ∵2x＋5y－3＝0，
∴2x＋5y＝3,
∴4x·32y＝(22)x·(25)y＝22x·25y＝22x＋5y＝23＝8.
变式训练
题4 比较3500,4400,5300的大小.
解析：这三个幂的底数不同，指数也不相同，不能直接比较大小，通过观察，发现指数都是100的倍数，故可以考虑逆用幂的乘方法则.
解:3500=(35)100=243100，
4400=(44)100=256100，
5300=(53)100=125100.
∵256100>243100>125100，
∴4400>3500>5300.
方法总结：比较底数大于1的幂的大小的方法有两种:
(1)底数相同，指数越大，幂就越大；
(2)指数相同，底数越大，幂就越大.
故在此类题中，一般先观察题目所给数据的特点，将其转化为同底数的幂或同指数的幂，然后再进行大小比较.
1 填空：
（1）（104）3= ； （2）（a3）3= ；
（3）-（x3）5= ；
（4）（x3）m+1= （m是正整数）；
（5）（x2）3·x = .
2 下列计算对不对？如果不对，应怎样改正？
（1）（a5）3 = a8；
（2）（a2）2 = a4.
3 自己编写两道幂的乘方运算题，并与同学交流计算过程与结果.
B
1．(x4)2等于 ( )
A．x6 B．x8
C．x16 D．2x4
2.下列各式的括号内，应填入b4的是( )
A．b12＝(　　)8 B．b12＝(　　)6
C．b12＝(　　)3 D．b12＝(　　)2
C
B
3．下列计算中，错误的是( )
A．[(a＋b)2]3＝(a＋b)6
B．[(a＋b)2]5＝(a＋b)7
C．[(a－b)3]n＝(a－b)3n
D．[(a－b)3]2＝(a－b)6
4．如果(9n)2＝312，那么n的值是( )
A．4 B．3
C．2 D．1
B
5.计算：
(1)(102)8；
(2)(xm)2；
(3)[(－a)3]5
(4)－(x2)m.
解：(1)(102)8＝1016.
(2)(xm)2＝x2m.
(3)[(－a)3]5＝(－a)15＝－a15.
(4)－(x2)m＝－x2m.
6.计算：
(1)5(a3)4－13(a6)2；
(2)7x4·x5·(－x)7＋5(x4)4－(x8)2；
(3)[(x＋y)3]6＋[－(x＋y)2]9.
解：(1)原式＝5a12－13a12＝－8a12.
(2)原式＝－7x9·x7＋5x16－x16＝－3x16.
(3)原式＝(x＋y)18－(x＋y)18＝0.
解:∵3x+4y-5=0,
∴3x+4y=5,
∴27x·81y=(33)x·(34)y
=33x·34y
=33x+4y
=35
=243.　
7.已知3x+4y-5=0,求27x·81y的值.
8.已知a=355,b=444,c=533，
试比较a，b，c的大小.
解:a=355=(35)11=24311,
b=444=(44)11=25611,
c=533=(53)11=12511.
∵256>243>125,
∴b>a>c.
幂的乘方
法则
（am）n=amn (m,n都是正整数）
注意
幂的乘方，底数不变，指数相乘
幂的乘方与同底数幂的乘法的区别：(am)n=amn；am ﹒an=am+n
幂的乘方法则的逆用：amn=(am)n=(an)m