1.1.5 第2课时 多项式与多项式相乘 课件（共35张PPT）2024-2025学年数学湘教版七年级下册

(共35张PPT)
1.1 整式的乘法
1.1.5 多项式的乘法
第2课时 多项式与多项式相乘
单项式乘多项式
实质上是转化为单项式×单项式
注意
（1）计算时,要注意符号问题,多项式中每一项都包括它前面的符号,单项式分别与多项式的每一项相乘时，同号相乘得正，异号相乘得负
（2）不要出现漏乘现象
（3）运算要有顺序：先乘方，再乘除，最后加减
（4）对于混合运算，注意最后应合并同类项
复习引入
1.如何进行单项式与多项式乘法的运算？
② 再把所得的积相加.
① 将单项式分别乘以多项式的各项；
2.进行单项式与多项式乘法运算时，要注意什么
① 不能漏乘:
即单项式要乘遍多项式的每一项；
② 去括号时注意符号的确定.
问题1 (a+b)·x =
(a+b) ·x = ax + bx
当x =m+n时, (a+b) ·x =
提出问题
问题2 某地区在退耕还林期间，有一块原长m米，宽为a米的长方形林区增长了n米，加宽了b米，请你表示这块林区现在的面积.
a
m
b
n
这块林区现在长为（m+n）米，
宽为（a+b）米.
面积为 (m+n)(a+b) 平方米.
你能表示出所拼图的面积吗？
ma
na
mb
nb
a
m
b
n
由于(m+n)(a+b)和(ma+mb+na+nb)表示同一块地的面积，故有：
(m+n)(a+b)=
ma
+ mb
+ na
+ nb.
如何进行多项式与多项式相乘的运算？
实际上，把(m+n)看成一个整体，有：
= ma+na+mb+nb.
(m+n)(a+b)
= (m+n)a+(m+n)b
你发现了什么？
怎样计算多项式 x-2y 与多项式 3x+y 的乘积？
规定多项式与多项式相乘的法则，
目标也是使整式的乘法满足乘法对加法的分配律.
于是，x-2y与3x+y相乘，应为
（x-2y）（3x+y）= x·（3x+y）+（-2y）·（3x+y）
= x·3x+x·y+（-2y）·3x+（-2y）·y
= 3x +xy-6xy-2y
= 3x -5xy-2y .
因此，多项式与多项式相乘，
先用一个多项式的每一项分别乘另一个多项式的每一项，
再把所得的积相加.
多项式乘多项式
1
2
3
4
(a+b)(m+n)
=
am
1
2
3
4
+an
+bm
+bn
多乘多顺口溜：
多乘多，来计算，多项式各项都见面，
乘后结果要相加，化简、排列才算完.
这样规定多项式的乘法后，可以证明：整式的乘法既满足交换律、结合律，又满足乘法对加法的分配律.
例13 计算：
（1）（2x+y）（x-3y）；
（2）（5x-2）（3x2-x-5）.
解（1）（2x+y）（x-3y）
= 2x·x + 2x·（-3y）+ y·x + y·（-3y）
= 2x2 - 6xy + xy - 3y2
= 2x2 - 5xy - 3y2 .
例13 计算：
（1）（2x+y）（x-3y）；
（2）（5x-2）（3x2-x-5）.
解（2）（5x-2）（3x2-x-5）
= 15x3 - 5x2 - 25x -6x2+2x+10
= 15x3 - 5x2 -6x2 - 25x +2x+10
= 15x3 - 11x2 - 23x +10 .
例14 计算：
（1）（x-y）（x2+xy+y2）；
（2）（x+y）（x2-xy+y2）.
解（1）（x-y）（x2+xy+y2）
=x3 + x2y + xy2 - yx2 - xy2 - y3
= x3 - y3 .
例14 计算：
（1）（x-y）（x2+xy+y2）；
（2）（x+y）（x2-xy+y2）.
解（2）（x+y）（x2-xy+y2）
=x3 - x2y + xy2 + yx2 - xy2 + y3
= x3 + y3 .
注意:（1）漏乘;
（2）符号问题;
（3）最后结果应化成最简形式（是同类项的要合并）.
（1）设a，b，c都是正数，计算（a+b）（a+c）的结果.
（2）一个长方形的长为 a+b ，宽为 a+c ，试着画出这个长方形，并利用这个长方形解释（1）的结果.
（1）（a+b）（a+c）=a +ac+ba+bc .
（2）可以按图所示将这个长方形划分为四部分，
然后分别计算这四部分的面积再求和，就可得到（1）的结果.
实质上，这就是（1）中等式的几何背景.
先化简，再求值：(a－2b)(a2＋2ab＋4b2)－a(a－5b)(a＋3b)，其中a＝－1，b＝1.
解：原式＝a3－8b3－(a2－5ab)(a＋3b)
＝a3－8b3－a3－3a2b＋5a2b＋15ab2
＝－8b3＋2a2b＋15ab2.
当a＝－1，b＝1时，
原式＝－8＋2－15＝－21.
方法总结：化简求值的题型，
一定要注意先化简，
再求值，不能先代值，再计算．
1 计算：
（1）（x-2y）（4x+3y）；
（2）（x-5y）（3x-y）；
（3）（x+y）（x +xy+y ）；
（4）（3x-y）（2x +5xy-4y ）.
2 用不同的方法计算右边几何图形的面积，可得等式（ ）
（A）（2a+b）（a+b）=2a +b
（B）（2a+b）（a+b）=2a +2ab+b
（C）（2a+b）（a+b）=2a +3ab+b
（D）（2a+b）（a+b）=2a +3ab+2b
C
1.判别下列解法是否正确，若错请说出理由.
解：原式
－7x
解：原式
2.计算：(1)(x 3y)(x+7y)； (2)(2x + 5y)(3x 2y).
= x2 +4xy 21y2；
解:（1）原式=x2+7xy 3yx 21y2
（2）原式=2x 3x 2x 2y+5 y 3x 5y 2y
=6x2 4xy+15xy 10y2
=6x2+11xy 10y2.
3.计算求值：(4x+3y)(4x－3y)+(2x+y)(3x－5y)，其中x=1, y=－2.
解:原式=
当x=1, y=－2时，原式=22×12－7×1×(－2)－14×(－2)2
=22+14－56
=－20.
5 6
(-3) (-4)
2 (-8)
(-5) 6
4.计算：
观察上面四个等式，你能发现什么规律？并应用这个规律解决下面的问题.
口答：
5.小东找来一张挂历画包数学课本．已知课本长a厘米，宽b厘米，厚c厘米，小东想将课本封面与封底的每一边
都包进去m厘米，问小东应在挂历画上裁
下一块多大面积的长方形？
七年级(下)
姓名：____________
数学
c
b
a
a
b
c
m
b
m
面积：(2m+2b+c)(2m+a)
解：(2m+2b+c)(2m+a)
= 4m2+2ma+4bm+2ab+2cm+ca.
答：小东应在挂历画上裁下一块（4m2+2ma+4bm+2ab+2cm+ca）平方厘米的长方形.
多项式乘多项式
运算法则
多项式与多项式相乘，先用一个多项式的每一项分别乘以另一个多项式的每一项，再把所得的积相加
(a+b)(m+n)=am+an+bm+bn
注意
不要漏乘；正确确定各项符号；结果要最简
实质上是转化为单项式×多项式的运算
(x－1)2=(x－1)(x－1)，而不是x2－12.