1.2.1 平方差公式 课件（共43张PPT）2024-2025学年数学湘教版七年级下册
文档属性
| 名称 | 1.2.1 平方差公式 课件（共43张PPT）2024-2025学年数学湘教版七年级下册 |  | |
| 格式 | pptx | ||
| 文件大小 | 3.2MB | ||
| 资源类型 | 教案 | ||
| 版本资源 | 湘教版 | ||
| 科目 | 数学 | ||
| 更新时间 | 2025-02-09 15:53:59 | ||
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文档简介
(共43张PPT)
1.2 乘法公式
1.2.1 平方差公式
多项式乘多项式
运算法则
多项式与多项式相乘，先用一个多项式的每一项分别乘以另一个多项式的每一项，再把所得的积相加
(a+b)(m+n)=am+an+bm+bn
注意
不要漏乘；正确确定各项符号；结果要最简
实质上是转化为单项式×多项式的运算
(x－1)2=(x－1)(x－1)，而不是x2－12.
多项式与多项式是如何相乘的？
（x ＋ 3)( x＋5）
=x2＋5x＋3x＋15
=x2＋8x＋15.
(a+b)(m+n)
=am
+an
+bm
+bn
复习巩固
从前，有－个狡猾的地主，把－块边长为20米的正方形土地租给张老汉种植．
第二年，他对张老汉说：“我把这块地的－边减少5米，相邻的另－边增加5米，继续租给你，租金不变，你看如何 ”
张老汉－听，觉得好像没有吃亏，就答应道：“好吧．”
回到家中，他把这事和邻居们－讲，大家都说“你吃亏了!”
你知道张老汉是否吃亏了吗
解：吃亏了．
理由如下：
原正方形土地的面积为 20×20 = 400m2 ，
改变边长后面积为 (20－5)(20+5) ＝ 375m2 .
∵400＞375，
∴张老汉吃亏了．
①（x ＋ 1)( x－1）；
②（m ＋ 2)( m－2）；
③（2m＋ 1)(2m－1）；
④（5y ＋ z)(5y－z）.
算一算：看谁算得又快又准.
②（m＋ 2)( m－2）=m2 －4
③（2m＋1)( 2m－1)=4m2－1
④（5y＋z)(5y－z)= 25y2 －z2
①（x ＋1)( x－ 1）=x2－1
想一想：这些计算结果有什么特点？你发现了什么规律？
=x2 － 12
=m2－22
=(2m)2－12
=(5y)2－z2
用自己的语言叙述你的发现.
两数和与这两数差的积,等于这两数的平方的差.
多项式 x+y 与 x－y 相乘，其积为多少？
（x+y)（x-y）= x - xy + yx - y2 = x2 - y2 .
由此可得到平方差公式：
（x+y）（x-y）= x - y .
即多项式 x+y 与 x-y 的乘积，等于多项式 x -y .
设 a，b 都是正数，且 a>b .
将平方差公式中的 x 用 a 代入，y 用 b 代入，
可得（a+b）（a-b）= a - b .
该式的几何背景是：
如图，将边长为 a 的大正方形剪去一个
边长为 b 的小正方形，则剩余部分的面积为 a -b .
将剩余部分沿虚线剪开后，拼成一个如图所示的长方形，
则这个长方形的长为 a + b ，宽为 a – b ，
于是，面积为（a+b）（a-b）.
由此可得（a+b）（a-b）= a - b .
a
a
b
b
a+b
a-b
b
b
几何验证平方差公式
a
a
b
b
a2-b2
a
b
b
b
(a+b)(a-b)
(a+b)(a-b)=a2-b2
a-b
a-b
a
a
a2
b
a
a2-b2
a
b
b
a
a
b
1
2
(a+b)(a-b)
1
2
(a+b)(a-b)
b
a
a
b
(a+b)(a-b)
=
a2-b2
(a+b)(a b)=a2 b2
两个数的和与这两个数的差的积，等于这两个数的平方差.
公式变形:
(a–b) (a+b) =a2 b2
(b+a)( b+a )=a2 b2
平方差公式：
平方差公式
注意：这里的两数可以是两个单项式，也可以是两个多项式等．
(a+b)(a-b) = a2-b2
相同为a
相反为b
适当交换
合理加括号
口答下列各题：
(l)(－a+b)(a+b)=_________.
(2)(a－b)(b+a)= __________.
(3)(－a－b)(－a+b)= ________.
(4)(a－b)(－a－b)= _________.
a2－b2
a2－b2
b2－a2
b2－a2
(1+x)(1-x)
(-3+a)(-3-a)
(0.3x-1)(1+0.3x)
(1+a)(-1+a)
填一填：
a
b
a2－b2
1
x
－3
a
12－x2
(－3)2－a2
a
1
a2－12
0.3x
1
( 0.3x)2－12
(a-b)(a+b)
例1 计算：
（1）(2x+1)(2x-1)；
（2）(x+2y)(x-2y).
分析 （1）（2）中两个多项式的乘法
都满足平方差公式的特征，
因而可利用该公式进行计算.
解（1）将平方差公式中的 x 用 2x 代替，y 用 1 代替，可得
(2x+1)(2x-1) = (2x) - 1 = 4x - 1 .
（2）将平方差公式中的 y 用 2y 代替，可得
(x+2y)(x-2y) = x - (2y) = x - 4y .
（1）(2x+1)(2x-1)；
（2）(x+2y)(x-2y).
例2 运用平方差公式计算：( -2x - y )( -2x + y ).
解 将平方差公式中的 x 用 -2x 代替，y 用 y 代替，可得
( -2x - y )( -2x + y )
= ( -2x )2 - ( y )2
= 4x2 - y2 .
有了平方差公式，x，y分别用任何数代入，或者用任意多项式代入，从平方差公式可以得到许多有关数或多项式的等式.
例3 运用平方差公式计算：(4a+b)(-b+4a).
解(4a+b)(-b+4a) = (4a+b)(4a-b)
= (4a)2-b2
= 16a -b .
(1)(－7m＋8n)(－8n－7m)； (2)(x－2)(x＋2)(x2＋4)．
解：(1)原式=(－7m)2－(8n)2
＝49m2－64n2；
利用平方差公式计算：
(2)原式=(x2－4)(x2＋4)
＝x4－16.
想一想：（1）计算下列各式，并观察他们的共同特点：
6×8=48 14×16=224 69×71=4899
7×7=49 15×15=225 70×70=4900
平方差公式的运用
（2）从以上的过程中，你发现了什么规律？请用字母表示这一规律，你能说明它的正确性吗？
(a+b)(a b)=a2 b2
例4 计算：1002×998.
解 1002×998 =（1000+2）×（1000-2）
= 1000 -2
= 1000000-4
= 999996.
计算:(1) 103×97; (2) 118×122.
解: 103×97
=(100+3)(100－3)
=1002－32
=10000 – 9
=9991；
解: 118×122
=(120－2)(120＋2)
=1202－22
=14400－4
=14396.
注意：不能直接应用公式的，要经过变形才可以应用
题1 计算：
(1)a2(a+b)(a－b)+a2b2; (2)(2x－5)(2x+5) –2x(2x－3) .
解：(1)原式=a2(a2－b2)+a2b2
=a4－a2b2+a2b2
=a4;
(2)原式=(2x)2－25－(4x2－6x)
=4x2－25－4x2+6x
=6x－25.
解：(2x－y)(y＋2x)－(2y＋x)(2y－x)
＝4x2－y2－ (4y2－x2)
＝4x2－y2－4y2＋x2＝5x2－5y2.
当x＝1，y＝2时，原式＝5×12－5×22＝－15.
方法总结：利用平方差公式先化简再求值，切忌代入数值直接计算．
题2 先化简，再求值：(2x－y)(y＋2x)－(2y＋x)(2y－x)，其中x＝1，y＝2.
1 运用平方差公式计算：
（1）（3x+y）（3x-y）；
（2）（m-n）（m+n）；
（3）（-1+5x）（-1-5x）；
（4）（-4a-b）（4a-b）.
2 计算：
（1）202×198 ；
（2）49.8×50.2 .
1.下列式子可用平方差公式计算吗 如果能，怎样计算
(1) (a+b)( a b) ；
(2) (a b)(b a) ;
(3) (a+2b)(2b+a);
(4) (a b)(a+b) ;
(5) ( 2x+y)(y 2x).
(不能)
(不能)
(不能)
( 能 )
(不能)
(a2 b2)=
a2 + b2 ;
2.下面各式的计算对不对？如果不对，应当怎样改正？
（1）（x+2)(x－2)=x2－2;
（2）（－3a－2)(3a－2)=9a2－4.
不对
改正：x2－4
不对
改正方法1：
原式=－[(3a+2)(3a－2)]
=－(9a2－4)
=－9a2+4;
改正方法2：
原式=(－2－3a)(－2+3a)
=(－2)2－(3a)2
=4－9a2.
3. 已知a=7202，b=721×719；则（ ）
A.a=b B.a>b
C.a4. 97×103=( )×( )=( ).
5. (x+6)(x－6)－x(x－9)=0的解是______.
100－3
100+3
1002－32
x=4
B
（1）(a+3b)(a- 3b)；
解：原式=(2a+3)(2a－3)
=(2a)2－32
=4a2－9；
=a2－9b2 ；
解：原式=a2－(3b)2
（2）(3+2a)(－3+2a)；
6.利用平方差公式计算：
（3）(－2x2－y)(－2x2+y)；
解：原式=(-2x2 )2－y2
=4x4－y2.
（4）(－5+6x)(－6x－5).
解：原式=(－5+6x)(－5－6x)
=(－5)2－(6x)2
=25－36x2.
解：(1)原式=(50+1)(50-1)
=502－12
=2500-1=2499；
（1）51×49；
（2）13.2×12.8；
7.利用平方差公式计算：
解：(2)原式=(13＋0.2)×(13－0.2)
＝132－0.22
＝169－0.04＝168.96.
8.若A=(2+1)(22+1)(24+1)，
则A的值是______．
解析：A=(2+1)(22+1)(24+1)
=[(2－1)(2+1)(22+1)(24+1)]÷(2－1)
=[(22－1)(22+1)(24+1)]÷(2－1)
=[(24－1)(24+1)]÷(2－1)
=(28－1)÷(2－1)
=28－1．
28－1
平方差公式
内容
注意
两个数的和与这两个数的差的积，等于这两个数的平方差
1.符号表示：(a+b)(a－b)=a2－b2
2.紧紧抓住 “一同一反”这一特征，在应用时，只有两个二项式的积才有可能应用平方差公式；不能直接应用公式的，要经过变形才可以应用
1.2 乘法公式
1.2.1 平方差公式
多项式乘多项式
运算法则
多项式与多项式相乘，先用一个多项式的每一项分别乘以另一个多项式的每一项，再把所得的积相加
(a+b)(m+n)=am+an+bm+bn
注意
不要漏乘；正确确定各项符号；结果要最简
实质上是转化为单项式×多项式的运算
(x－1)2=(x－1)(x－1)，而不是x2－12.
多项式与多项式是如何相乘的？
（x ＋ 3)( x＋5）
=x2＋5x＋3x＋15
=x2＋8x＋15.
(a+b)(m+n)
=am
+an
+bm
+bn
复习巩固
从前，有－个狡猾的地主，把－块边长为20米的正方形土地租给张老汉种植．
第二年，他对张老汉说：“我把这块地的－边减少5米，相邻的另－边增加5米，继续租给你，租金不变，你看如何 ”
张老汉－听，觉得好像没有吃亏，就答应道：“好吧．”
回到家中，他把这事和邻居们－讲，大家都说“你吃亏了!”
你知道张老汉是否吃亏了吗
解：吃亏了．
理由如下：
原正方形土地的面积为 20×20 = 400m2 ，
改变边长后面积为 (20－5)(20+5) ＝ 375m2 .
∵400＞375，
∴张老汉吃亏了．
①（x ＋ 1)( x－1）；
②（m ＋ 2)( m－2）；
③（2m＋ 1)(2m－1）；
④（5y ＋ z)(5y－z）.
算一算：看谁算得又快又准.
②（m＋ 2)( m－2）=m2 －4
③（2m＋1)( 2m－1)=4m2－1
④（5y＋z)(5y－z)= 25y2 －z2
①（x ＋1)( x－ 1）=x2－1
想一想：这些计算结果有什么特点？你发现了什么规律？
=x2 － 12
=m2－22
=(2m)2－12
=(5y)2－z2
用自己的语言叙述你的发现.
两数和与这两数差的积,等于这两数的平方的差.
多项式 x+y 与 x－y 相乘，其积为多少？
（x+y)（x-y）= x - xy + yx - y2 = x2 - y2 .
由此可得到平方差公式：
（x+y）（x-y）= x - y .
即多项式 x+y 与 x-y 的乘积，等于多项式 x -y .
设 a，b 都是正数，且 a>b .
将平方差公式中的 x 用 a 代入，y 用 b 代入，
可得（a+b）（a-b）= a - b .
该式的几何背景是：
如图，将边长为 a 的大正方形剪去一个
边长为 b 的小正方形，则剩余部分的面积为 a -b .
将剩余部分沿虚线剪开后，拼成一个如图所示的长方形，
则这个长方形的长为 a + b ，宽为 a – b ，
于是，面积为（a+b）（a-b）.
由此可得（a+b）（a-b）= a - b .
a
a
b
b
a+b
a-b
b
b
几何验证平方差公式
a
a
b
b
a2-b2
a
b
b
b
(a+b)(a-b)
(a+b)(a-b)=a2-b2
a-b
a-b
a
a
a2
b
a
a2-b2
a
b
b
a
a
b
1
2
(a+b)(a-b)
1
2
(a+b)(a-b)
b
a
a
b
(a+b)(a-b)
=
a2-b2
(a+b)(a b)=a2 b2
两个数的和与这两个数的差的积，等于这两个数的平方差.
公式变形:
(a–b) (a+b) =a2 b2
(b+a)( b+a )=a2 b2
平方差公式：
平方差公式
注意：这里的两数可以是两个单项式，也可以是两个多项式等．
(a+b)(a-b) = a2-b2
相同为a
相反为b
适当交换
合理加括号
口答下列各题：
(l)(－a+b)(a+b)=_________.
(2)(a－b)(b+a)= __________.
(3)(－a－b)(－a+b)= ________.
(4)(a－b)(－a－b)= _________.
a2－b2
a2－b2
b2－a2
b2－a2
(1+x)(1-x)
(-3+a)(-3-a)
(0.3x-1)(1+0.3x)
(1+a)(-1+a)
填一填：
a
b
a2－b2
1
x
－3
a
12－x2
(－3)2－a2
a
1
a2－12
0.3x
1
( 0.3x)2－12
(a-b)(a+b)
例1 计算：
（1）(2x+1)(2x-1)；
（2）(x+2y)(x-2y).
分析 （1）（2）中两个多项式的乘法
都满足平方差公式的特征，
因而可利用该公式进行计算.
解（1）将平方差公式中的 x 用 2x 代替，y 用 1 代替，可得
(2x+1)(2x-1) = (2x) - 1 = 4x - 1 .
（2）将平方差公式中的 y 用 2y 代替，可得
(x+2y)(x-2y) = x - (2y) = x - 4y .
（1）(2x+1)(2x-1)；
（2）(x+2y)(x-2y).
例2 运用平方差公式计算：( -2x - y )( -2x + y ).
解 将平方差公式中的 x 用 -2x 代替，y 用 y 代替，可得
( -2x - y )( -2x + y )
= ( -2x )2 - ( y )2
= 4x2 - y2 .
有了平方差公式，x，y分别用任何数代入，或者用任意多项式代入，从平方差公式可以得到许多有关数或多项式的等式.
例3 运用平方差公式计算：(4a+b)(-b+4a).
解(4a+b)(-b+4a) = (4a+b)(4a-b)
= (4a)2-b2
= 16a -b .
(1)(－7m＋8n)(－8n－7m)； (2)(x－2)(x＋2)(x2＋4)．
解：(1)原式=(－7m)2－(8n)2
＝49m2－64n2；
利用平方差公式计算：
(2)原式=(x2－4)(x2＋4)
＝x4－16.
想一想：（1）计算下列各式，并观察他们的共同特点：
6×8=48 14×16=224 69×71=4899
7×7=49 15×15=225 70×70=4900
平方差公式的运用
（2）从以上的过程中，你发现了什么规律？请用字母表示这一规律，你能说明它的正确性吗？
(a+b)(a b)=a2 b2
例4 计算：1002×998.
解 1002×998 =（1000+2）×（1000-2）
= 1000 -2
= 1000000-4
= 999996.
计算:(1) 103×97; (2) 118×122.
解: 103×97
=(100+3)(100－3)
=1002－32
=10000 – 9
=9991；
解: 118×122
=(120－2)(120＋2)
=1202－22
=14400－4
=14396.
注意：不能直接应用公式的，要经过变形才可以应用
题1 计算：
(1)a2(a+b)(a－b)+a2b2; (2)(2x－5)(2x+5) –2x(2x－3) .
解：(1)原式=a2(a2－b2)+a2b2
=a4－a2b2+a2b2
=a4;
(2)原式=(2x)2－25－(4x2－6x)
=4x2－25－4x2+6x
=6x－25.
解：(2x－y)(y＋2x)－(2y＋x)(2y－x)
＝4x2－y2－ (4y2－x2)
＝4x2－y2－4y2＋x2＝5x2－5y2.
当x＝1，y＝2时，原式＝5×12－5×22＝－15.
方法总结：利用平方差公式先化简再求值，切忌代入数值直接计算．
题2 先化简，再求值：(2x－y)(y＋2x)－(2y＋x)(2y－x)，其中x＝1，y＝2.
1 运用平方差公式计算：
（1）（3x+y）（3x-y）；
（2）（m-n）（m+n）；
（3）（-1+5x）（-1-5x）；
（4）（-4a-b）（4a-b）.
2 计算：
（1）202×198 ；
（2）49.8×50.2 .
1.下列式子可用平方差公式计算吗 如果能，怎样计算
(1) (a+b)( a b) ；
(2) (a b)(b a) ;
(3) (a+2b)(2b+a);
(4) (a b)(a+b) ;
(5) ( 2x+y)(y 2x).
(不能)
(不能)
(不能)
( 能 )
(不能)
(a2 b2)=
a2 + b2 ;
2.下面各式的计算对不对？如果不对，应当怎样改正？
（1）（x+2)(x－2)=x2－2;
（2）（－3a－2)(3a－2)=9a2－4.
不对
改正：x2－4
不对
改正方法1：
原式=－[(3a+2)(3a－2)]
=－(9a2－4)
=－9a2+4;
改正方法2：
原式=(－2－3a)(－2+3a)
=(－2)2－(3a)2
=4－9a2.
3. 已知a=7202，b=721×719；则（ ）
A.a=b B.a>b
C.a4. 97×103=( )×( )=( ).
5. (x+6)(x－6)－x(x－9)=0的解是______.
100－3
100+3
1002－32
x=4
B
（1）(a+3b)(a- 3b)；
解：原式=(2a+3)(2a－3)
=(2a)2－32
=4a2－9；
=a2－9b2 ；
解：原式=a2－(3b)2
（2）(3+2a)(－3+2a)；
6.利用平方差公式计算：
（3）(－2x2－y)(－2x2+y)；
解：原式=(-2x2 )2－y2
=4x4－y2.
（4）(－5+6x)(－6x－5).
解：原式=(－5+6x)(－5－6x)
=(－5)2－(6x)2
=25－36x2.
解：(1)原式=(50+1)(50-1)
=502－12
=2500-1=2499；
（1）51×49；
（2）13.2×12.8；
7.利用平方差公式计算：
解：(2)原式=(13＋0.2)×(13－0.2)
＝132－0.22
＝169－0.04＝168.96.
8.若A=(2+1)(22+1)(24+1)，
则A的值是______．
解析：A=(2+1)(22+1)(24+1)
=[(2－1)(2+1)(22+1)(24+1)]÷(2－1)
=[(22－1)(22+1)(24+1)]÷(2－1)
=[(24－1)(24+1)]÷(2－1)
=(28－1)÷(2－1)
=28－1．
28－1
平方差公式
内容
注意
两个数的和与这两个数的差的积，等于这两个数的平方差
1.符号表示：(a+b)(a－b)=a2－b2
2.紧紧抓住 “一同一反”这一特征，在应用时，只有两个二项式的积才有可能应用平方差公式；不能直接应用公式的，要经过变形才可以应用
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