1.2.2 第1课时 完全平方公式 课件（共26张PPT）2024-2025学年数学湘教版七年级下册

(共26张PPT)
1.2 乘法公式
1.2.2 完全平方公式
第1课时 完全平方公式
平方差公式
内容
注意
两个数的和与这两个数的差的积，等于这两个数的平方差
1.符号表示：(a+b)(a－b)=a2－b2
2.紧紧抓住 “一同一反”这一特征，在应用时，只有两个二项式的积才有可能应用平方差公式；不能直接应用公式的，要经过变形才可以应用
2.公式的结构特点：
左边是两个二项式的乘积，即两数和与这两数差的积；右边是两数的平方差.
1. 由下面的两个图形你能得到哪个公式？
复习巩固
平方差公式： (a+b)(a－b)=a2－b2
一块边长为a米的正方形实验田，因需要将其边长增加b米.形成四块实验田，以种植不同的新品种(如图).用不同的形式表示实验田的总面积, 并进行比较.你发现了什么？
a
a
b
b
直接求：总面积=(a+b)(a+b)
间接求：总面积=a2+ab+ab+b2
(a+b)2=a2+2ab+b2
计算下列多项式的积，你能发现什么规律？
（1） （p+1)2=(p+1)(p+1)= .
p2+2p+1
（2） （m+2)2=(m+2)(m+2)= .
m2+4m+4
（3） （p－1)2=(p－1)(p－1)= .
p2－2p+1
（4） （m－2)2=(m－2)(m－2)= .
m2－4m+4
计算：（x+y) .
由多项式与多项式相乘的法则可得
（x+y） =（x+y）（x+y）
= x + xy + yx + y
= x + 2xy + y .
于是得到了完全平方公式 1：
（x+y） = x + 2xy + y2 .
即多项式 x + y 的平方等于 x 与 y 的平方和加上 x 与 y 的积的 2 倍.
若将完全平方公式 1 中的 y 用 –y 代替，则可得
（x-y） = x + 2x·（-y）+（-y） = x - 2xy + y .
于是得到了完全平方公式 2：
（x-y）2 = x - 2xy + y .
即多项式 x-y 的平方等于 x 与 y 的平方和减去 x 与 y 的积的 2 倍.
设 a，b 都是正数，
将完全平方公式 1 中的 x 用 a 代入，y 用 b 代入，可得
（a+b） = a + 2ab + b .
如图，把一个边长为 a+b 的正方形分割成四部分，
这四部分的面积分别为 ab，b ，a ，ba，
于是（a+b） = ab + b + a + ba = a + 2ab + b .
实质上，这就是完全平方公式 1 的几何背景.
几何解释:
（a+b)2= .
a2+2ab+b2
和的完全平方公式：
a
a
b
b
=
+
+
+
a2
ab
ab
b2
a2
ab b(a b)
=a2 2ab+b2 .
=
(a b)2
a b
a b
a
a
ab
b(a b)
b
b
(a b)2
几何解释:
（a-b)2= .
a2-2ab+b2
差的完全平方公式：
（a+b)2= .
a2+2ab+b2
（a-b)2= .
a2-2ab+b2
两个数的和（或差）的平方，等于它们的平方和，加上（或减去）它们的积的 2 倍.
这两个公式叫作完全平方公式.
简记为：
“首平方，尾平方，积的2倍放中间”
公式特征：
1.积为二次三项式；
2.积中的两项为两数的平方；
3.另一项是两数积的2倍，且与乘式中间的符号相同.
4.公式中的字母a，b可以表示数，单项式和多项式.
例5 运用完全平方公式计算：
（1）（a+）2；
（2）（3m+n）2；
（3）（2x-3y）2.
解（1）将完全平方公式 1 中的 x 用 a 代入，y 用 代入，可得
（a + ）2 = a + 2·a· +（）2
= a + a + .
（2）将完全平方公式 1 中的 x 用 3m 代入，y 用 n 代入，可得
（3m+n）2 =（3m）2 + 2·3m·n + n2
= 9m + 6mn + n .
（3）将完全平方公式 2 中的 x 用 2x 代替，y 用 3y 代替，可得
（2x-3y） =（2x） - 2·2x·3y +（3y）
= 4x - 12xy + 9y .
填表：
有了完全平方公式，x，y分别用任何数代入，或者用任意多项式代入，从完全平方公式可以得到许多有关数或多项式的等式.
算式 与公式中x对应的项 与公式中y对应的项 计算结果
（2a+b）2
（5a-4b）2
2a
b
5a
4b
4a2+b2+4ab
25a2+16b2-40ab
运用完全平方公式计算：
解: (2x－3)2=
=4x2
(1)(2x－3)2；
( a－ b )2 = a2 － 2ab + b2
(2x)2
－2 (2x) 3
+32
－12x
+9；
(a + b)2= a2 + 2ab + b2
y2
(2) ( y+ )2.
=y2
+ y
+
+ ( )2
+ 2 y
解：( y+ )2 =
运用完全平方公式计算：
解：∵36x2＋(m＋1)xy＋25y2
＝(±6x)2＋(m＋1)xy＋(±5y)2，
∴(m＋1)xy＝±2·6x·5y，
∴m＋1＝±60，
∴m＝59或－61.
方法总结：两数的平方和加上或减去它们积的2倍，就构成了一个完全平方式．注意积的2倍的符号，避免漏解．
如果36x2＋(m＋1)xy＋25y2是一个完全平方式，求m的值．
能否用去括号法则检查添括号是否正确
1．在等号右边的括号内填上适当的项：
（1）a+b－c=a+（ ）
（2）a－b+c=a－（ ）
（3）a－b－c=a－（ ）
（4）a+b+c=a－（ ）
b-c
b-c
b+c
-b-c
2.下面各式的计算是否正确？如果不正确，应当怎样改正？
(1)(x+y)2=x2 +y2
(2)(x －y)2 =x2 －y2
(3) (－x +y)2 =x2+2xy +y2
(4) (2x+y)2 =4x2 +2xy +y2
×
×
×
×
x2+2xy +y2
x2－2xy +y2
x2 －2xy +y2
4x2+4xy +y2
(1) (6a+5b)2；
=36a2+60ab+25b2；
(2) (4x－3y)2 ；
=16x2－24xy+9y2；
(3) (2m－1)2 ；
=4m2－4m+1；
(4)(－2m－1)2 .
=4m2+4m+1.
3.运用完全平方公式计算:
完全平方公式
法则
注意
(a±b)2= a2 ±2ab+b2
1.项数、符号、字母及其指数
2.不能直接应用公式进行计算的式子，需要先添括号变形
3.弄清完全平方公式和平方差公式的不同点（从公式结构特点及结果两方面）