1.2.3 运用乘法公式进行计算和推理 课件（共35张PPT）2024-2025学年数学湘教版七年级下册

(共35张PPT)
1.2 乘法公式
1.2.3 运用乘法公式进行计算和推理
完全平方公式
法则
运用
(a±b)2= a2 ±2ab+b2
在解题过程中要准确确定a和b、对照公式原形的两边, 做到不丢项、不弄错符号、2ab时不少乘2；第一(二)数是乘积被平方时要注意添括号, 是运用完全平方公式进行多项式乘法的关键.
我们已经学了哪些乘法公式？
（1）平方差公式:
(a+b)2 =
(a+b)(a-b)=
（2）完全平方公式：
a -2ab+b
a +2ab+b
(a-b) =
a -b
注意：公式中的 a 与 b既可以是数，又可以是单项式和多项式.
复习引入
运用乘法公式计算：(x+1)(x +1)(x-1).
根据题目特征，
灵活运用乘法公式，
往往给我们的解题带来方便！
讨论：选择什么方法呢？
由于多项式的乘法满足交换律和结合律，结合平方差公式，可得
平方差公式
平方差公式
= x4-1
(x+1)(x2+1)(x-1)
交换律
= [ (x+1)(x-1) ](x2+1)
= (x2-1)(x2 +1 )
用乘法公式计算下列各题.
= x4-81
= 16a4-72a+81
运用了何运算律？
积的乘方的逆用
(2) (2x+3)2(2x-3)2
1.要根据具体情况灵活运乘法公式、幂的运算性质（正用与逆用）.
2.式子变形添括号时注意符号的变化.
运用乘法公式计算: (x+2y-3)(x-2y+3) ;
原式=[x+(2y–3)][x-(2y-3)]
解:
= x2-(2y-3)2
= x2-(4y2-12y+9)
= x2-4y2+12y-9.
方法总结：选用平方差公式进行计算，需要分组.
分组方法是“符号相同的为一组，符号相反的为另一组”.
例7 运用乘法公式计算：
（1）（a+b+c） ； （2）（a-b+c）（a+b-c）.
分析 虽然（1）（2）都是三项多项式的乘法，但可将其变形，使其满足乘法公式的特征.
解（1）将完全平方公式 1 中的 x 用 a+b 代入，y 用 c 代入，可得
（a+b+c） =（a+b） + 2·(a+b）·c + c2
= a + 2ab + b + 2ac + 2bc + c .
解（2）由于（a-b+c)（a+b-c) = [a-（b-c）] [a+（b-c）]，于是可运用平方差公式.
因此（a-b+c)（a+b-c) = [a-（b-c）] [a+（b-c）]
= a -（b-c）
= a -（b -2bc+c ）
= a -b +2bc-c .
添括号时注意符号
计算：（1）(a－b＋c)2；
（2）(1－2x＋y)(1＋2x－y)．
解：(1)原式＝[(a－b)＋c]2
＝(a－b)2＋c2＋2(a－b)c
＝a2－2ab＋b2＋c2＋2ac－2bc；
＝1－4x2＋4xy－y2.
(2)原式＝[1＋(－2x＋y)][1－(－2x＋y)]
＝12－(－2x＋y)2
计算：（1）(a－b＋c)2；
（2）(1－2x＋y)(1＋2x－y)．
运用乘法公式计算：
(a+b-c)2.
解：(a+b-c)2
= [(a+b)-c]2
= (a+b)2-2(a+b)c+c2
= a2+2ab+b2-2ac-2bc+c2
= a2+b2+c2+2ab-2ac-2bc
例8 运用乘法公式计算：
（1）（a+b）2 +（a-b）2；
（2）（a+b）2 -（a-b）2
解（1）（a+b）2 +（a-b）2
= a + 2ab + b + a - 2ab + b
= 2a + 2b .
例8 运用乘法公式计算：
（1）（a+b）2 +（a-b）2；
（2）（a+b）2 -（a-b）2
解（2）（a+b）2 -（a-b）2
= [（a+b）+（a-b）] [（a+b）-（a-b）]
= 2a·2b
= 4ab.
例9 运用乘法公式计算：（x+y）3.
解 （x+y）3 =（x+y）（x+y)
=（x+y）（x +2xy+y ）
= x3 + 2x y + xy + yx + 2xy + y3
= x3 + 3x y + 3xy + y3 .
先填空：（1）152 = 100×1× +25；
（2）252 = 100×2× +25；
（3）352 = 100× × + .
由此猜测：十位数字是 a 、个位数字是 5 的两位数可以表示
为 ，它的平方可表示为 100× × + .
十位数字是 a、个位数字是 5 的两位数是 10a+5 .
由完全平方公式 1 得
（10a+5） =（10a） + 2·10a·5 + 5 = 100a + 100a + 25.
又 100a（a+1）+ 25 = 100a + 100a + 25 ，
于是（10a+5） = 100a（a+1）+ 25.
因此，十位数字是 a、个位数字是 5 的两位数的平方，等于其十位数字 a 与 a+1 的积的 100 倍，再加上 25 .
例如，85 = 100 × 8 × 9 + 25 = 7225.
怎样计算下列各题：
（2）(x+y+4)(x+y-4).
（1）(a+3)2(a-3)2；
= a4-18a+81
逆用积的乘方
平方差公式
完全平方公式
解：（1）原式=[(a+3)(a-3)]2
= (a2-9)2
= (x+y)2-16
= x2+2xy+y2-16
平方差公式
完全平方公式
注意：要把（x+y）看着一个整体，那么（x+y）就相当于平方差公式中的a，4就相当于平方差公式中的b.
解：（2）原式= [(x+y）+4] [（x+y）-4]
怎样计算下列各题：
（2）(x+y+4)(x+y-4).
（1）(a+3)2(a-3)2；
一个正方形花圃的边长增加到原来2倍还多1m，它的面积就增加到原来的4倍还多21m2 ，求这个正方形花圃原来的边长.
解 ：设正方形花圃原来的边长为 x m.
由数量关系 得：
（2x +1）2= 4x 2+21
化简得:
4x 2+4x +1= 4x 2 +21
即 4x = 20
解得 x = 5.
答: 这个正方形花圃原来的边长为 5 m.
1 运用乘法公式计算：
（1）（x-2）（x+2）（x +4）； （2）（x+1） （x-1） ；
（3）（a-b-c）2；
（4）（x+2y-1）（x+2y+1）；
（5）（2x+y-1）（2x-y+1）.
2 运用乘法公式计算：（3x-2） -（2x+5） .
3 若n是整数，则（n+3） -（5n+9）一定能被 2 整除.试说明理由.
（1）(x-2)(x+2)(x2+4)
（2）(x-1)2-(x+1)2
（3）(x+1)2(x-1)2
（4）(a+2b-1)(a+2b+1)
（5）(a-b-c) 2
1.运用乘法公式计算 ：
= x4-16
= -4x
= x4-2x2+1
= a2+4ab+4b2-1
= a2+b2+c2-2ab-2ac+2bc
2. 一个正方形的边长增加2cm，它的面积就增加16cm2，
求这个正方形原来的边长.
答：这个正方形原来的边长为3cm.
解: 设正方形原来的边长为x cm.
列方程，得 (x +2)2 = x2+16 ，
解得 x = 3.
x2+4x+4= x2+16
4x=12
3.先化简，再求值：
2b2+(a+b)(a-b)-(a-b)2，其中a=-3，b= .
解：原式=2b2+a2-b2-a2+2ab-b2=2ab.
当a=-3，b= 时，
原式=2×(-3)× = -3.
如何运用乘法公式进行计算：
3.灵活应用公式进行求值计算.
2.有时会结合其它运算法则；
1.先观察式子的特点，选取适当的乘法公式；