2.1.1 平方根的概念 课件（共35张PPT）2024-2025学年数学湘教版七年级下册

(共35张PPT)
2.1 平方根
2.1.1 平方根的概念
如何运用乘法公式进行计算：
3.灵活应用公式进行求值计算.
2.有时会结合其它运算法则；
1.先观察式子的特点，选取适当的乘法公式；
祖冲之（429—500），南朝科学家，推算出了圆周率 π 的值在 3.1415926 和 3.1415927 之间.
古往今来，数学家们乐此不疲地寻求 π 的精确值，如今借助超级计算机，π 的值已经推算到了小数点后万亿位以上，但还是无法穷尽.
除此之外，还有很多像 π 这样的数，它们都不是有理数，
从而我们需要扩充对数的认识.
将数扩充后，原有的运算律及运算法则是否适用于新的数？
怎样用有理数估计这些数的大致范围？
本章将为你解开上述疑惑.
某家庭在装修儿童房时需铺地垫10.8m2，刚好用去正方形的地垫30块. 你能算出每块地垫的边长是多少吗？
？
每块正方形地垫的面积是
10.8÷30=0.36(m2).
即 边长×边长=0.36.
由于 0.62=0.36，
因此正方形地垫的边长是0.6m.
小明将一个长为2、宽为1的长方形纸片，按图所示方法剪拼成了一个正方形.
观察图中过程，由此你能发现这个正方形的面积是多少吗？它的边长呢？
正方形的面积是2，但不知道边长.
这个问题的实质就是要找一个
数，使它的平方等于给定的数.
如果有一个数 r，使得 r2=a，那么 r 叫作 a 的一个平方根，也叫作二次方根.
这就是说，
若 r2 =a，则 r 是 a 的一个平方根.
例如，由于22=4，因此2是4的一个平方根.
4的平方根除了2以外，还有其他的数吗？
2
4
-2
我是你的平方根
很高兴认识你.
其实我也是你的平方根.
为什么-2也是4的平方根？
因为(-2)2=4，因此-2也是4的一个平方根.
4的平方根除了2和－2以外，还有其他的数吗？
因为边长大于2的正方形，它的面积一定大于4，所以比2大的数都不是4的平方根.
类似地，边长小于2的正方形，它的面积一定小于4，从而比2小的正数都不是4的平方根.
又由于(-b)2=b2，因此，大于-2或小于-2的负数都不是4的平方根.
0显然不是4的平方根.
所以4的平方根有且只有两个：2与-2.
一般地，如果 r 是正数 a 的一个平方根，那么a的平方根有且只有两个：r与-r.
正数a的正平方根叫作a的算术平方根，记作，读作“根号a”；
正数a的负平方根记作 -，读作“负根号a”.
这样，正数a的两个平方根可以用“±”来表示，读作“正、负根号a”.
于是，4的平方根是±，由上可知±=±2.
同样，2的平方根是±.由于正方形的边长为正数，
因此，本节开篇“说一说”中拼成的面积是2的正方形的边长为.
0 的平方根是多少？负数有平方根吗？
由于02=0，而非零数的平方不等于0，因此 0的平方根就是0本身.
在目前我们所学习的数中， 由于同号两数相乘得正数，且02=0，因此，不存在一个数的平方是负数，从而负数没有平方根.
0的平方根也叫作0的算术平方根，记作，即=0.
正数平方根有两个，它们互为相反数；
0的平方根是0；
负数没有平方根.
求一个非负数的平方根的运算，叫作开平方.
这个非负数叫作被开方数.
根号“”可理解为一种运算符号，表示对被开方数进行开平方运算.开平方与平方互为逆运算，根据这种关系,可以求一个数的平方根.
例如，9的平方根是±3， ±3的平方是；5的平方根是±， ±的平方是5.
+1
-1
+2
-2
+3
-3
1
4
9
开平方
平方
例1 分别求下列各数的平方根：
（1） 36； （2）； （3）1.21.
解 : （1）由于（±6）2=36，
因此36的平方根是6与-6，
即
（2）由于（±）2= ，
因此 的平方根是 与 - ，
即
例1 分别求下列各数的平方根：
（1） 36； （2）； （3）1.21.
（3） 由于（±1.1）2=1.21，
因此1.21的平方根是1.1与-1.1，
即
练习 已知一个正数的两个平方根分别是2a－2和a－4，则a的值是________．
解析：∵一个正数的两个平方根分别是2a－2和a－4，
∴2a－2＋a－4＝0，
解得a＝2.
2
方法总结：本题考查了平方根的概念．
一个正数有两个平方根，它们是互为相反数，
两个数互为相反数，它们的和为0.
例2 分别求下列各数的算术平方根：
（1）100； （2）1.96； （3）.
解: （1）由于102=100，因此=10 .
（3）由于 （）2 = ，因此 = .
（2）由于1.42=1.96，因此 1.4 .
正数的算术平方根只有一个.
下列各数有平方根吗？如有，分别是多少？
（1）；
（2）（-5）2 .
练习 若|m-1| + =0,求m+n的值.
解: 因为|m-1| ≥0， ≥0，
又|m-1| + =0，
所以 |m-1| =0， =0，所以m=1,n=-3，
所以m+n=1+(-3)= -2.
方法归纳：几个非负数的和为0，则每个数均为0，
初中阶段学过的非负数有绝对值、偶次幂及一个数的算术平方根.
1. 分别求下列各数的平方根：
（1）64； （2）； （3）6.25.
解： （1）64的平方根是8与-8，
（2） 的平方根是 与 ，
（3） 6.25的平方根是2.5与-2.5.
2. 分别求下列各数的算术平方根.
（1）81； （2） ； （3）0.16.
解： （1）81 的算术平方根是 9，
（2） 的算术平方根是 ，
（3）0.16 的算术平方根是 0.4.
3. 判断下列说法是否正确，并说明理由.
（1） 的值是±4；
3. 判断下列说法是否正确，并说明理由.
（2）(-4)2的平方根是-4.
已知 ，求x的值．
解：∵
∴
∴ x=12 或 x=－10.