2.1.2 无理数 课件（共37张PPT）2024-2025学年数学湘教版七年级下册

(共37张PPT)
2.1 平方根
2.1.2 无理数
我们已经知道2的一个平方根为
这是一个怎样的数呢？
下面来研究.
观察下列结果：
1 =1， 2 =4；
1.4 =1.96， 1.5 =2.25；
1.41 =1.9881， 1.42 =2.0164；
1.414 =1.999396， 1.415 =2.002225；
1.4142 =1.99996164， 1.4143 =2.00024449；
… …
（1）分别根据上述结果，估计2的算术平方根的大致范围；
（1）由于1 <2，2<2 ，所以1<<2 .
由于1.4 <2<1.5 ，所以1.4<<1.5 .
同理可得，1.41<<1.42，
1.414<<1.415，
1.4142<<1.4143 .
（2）若将写成一个小数，则它是一个怎样的小数？
（2）若将写成一个小数，
则由（1）可以猜测它应该比1.4142大，比1.4143小，
且是一个小数点后面的位数不断增加的小数.
事实上， = 1.414213562…，是一个无限不循环小数，不可写成整数和分数的形式，从而它不是一个有理数.
像这样的无限不循环小数叫作无理数.
π=3.141592653…，=1.732050807...，
=2.236067977...，=2.645751311…，
它们都是无理数.
无理数的由来
无理数的概念最早源于古希腊时期，其发现与古希腊的毕达哥拉斯学派成员有关.毕达哥拉斯学派由古希腊数学家和哲学家毕达哥拉斯（前580至前570之间——约前500）及其信徒组成，由于毕达哥拉斯本人没有著作传世，所以今天所说的毕达哥拉斯学派的数学成
不可写成整数和分数的形式：
就是该学派成员的共同成果，这些成果大部分都收录在欧几里得的《原本》中.毕达哥拉斯学派注重对数和几何的研究，并强调“万物皆数”的基本信条.他们认为，人们所知道的一切事物都包含数，如果没有数，则既不可能表达也不可能理解任何事物.
实际上，毕达哥拉斯学派相信任何量都可以表示成两个整数的比.
从几何学上来看，也就是说，对任何两条给定的线段，总能找到第三条线段，以它为单位线段可以将给定的两条线段划分为整数段.这两条给定线段被称为“可公度量”，意即这两条线段可用公共度量单位量尽.
可真的是这样吗？在后来的研究中，毕达哥拉斯学派有了新的发现：并不是任何两条线段都是可公度量.例如，边长为1的正方形的对角线长与边长1就是不可公度量，也就是说不能写成两个整数的比.
下面来说明不能写成两个整数的比，即不可写成分数的形式：
假设能写成分数的形式，则 = （p，q为正整数，且p，q互质）.
于是 p =2q ，从而 p为偶数，
设p=2m（m为正整数），则p =4m .
因而4m =2q ，即2m =q .
因此，q是偶数.这与p，q互质矛盾.
从而不是分数.
同样，我们可以说明不是整数：
假设是整数，则=n，其中n是正整数.
根据平方根的定义得，n =2.
由于1 =1，2 =4，因此不存在正整数n满足n =2.
所以不是整数.
综上所述，不是有理数，因此是无理数.很快人们发现了和一样的其他“无理数”，这些发现动摇了古希腊数学信仰的基础，也正是无理数的引入，引发了西方数学史上的第一次数学危机.
由此，无理数的发现促进了人们对数的认识，大大推动了数学的发展.
1.把下列各数分别填入相应的集合内：
0.101，
有理数集合
无理数集合
．．．
．．．
2.设n为正整数，且n＜ ＜n＋1，则n的值为( 　)
A．5 B．6 C．7 D．8
解析：根据特殊有理数找出最接近的完全平方数，问题可得到解决．∵ ＜ ＜ ，∴8＜ ＜9，∴n＝8.
D
方法总结：开不尽的平方根形式的无理数的估算一般步骤是首先将原数平方，看其在哪两个相邻的平方数之间，运用这种方法可以估计一个带根号的数的整数部分，估计其大致范围．
我们常见的无理数的有以下三种形式：
（1）含 的一些数；
（2）开不尽方的数；
（3）有规律但不循环的数，如1.010 010 001 000 01…
类似于有理数分类，
无理数也分为正无理数和负无理数.
例如，，，π是正无理数，
-，-，-π是负无理数.
下面的说法正确吗？如果不正确，请说明理由.
（1）无限小数都是有理数；
（2）无理数都是无限小数；
（3）带根号的数都是无理数；
（4）无理数都是带根号的数.
根据实际需要，有时需用一个有限小数来近似地表示一个无理数.
例如 π = 3.141592653…，用四舍五入法，分别取到小数点后面第二位，第三位，… ，得到π ≈ 3.14，π ≈ 3.142，… ，我们称 3.14，3.142 分别是π的精确到小数点后面第二位、第三位的近似值.
3.14，3.142，3.1416，…都是π的近似值，称它们为近似数.
利用计算器可以求一个正数的算术平方根或它的近似值.
例3 用计算器求下列各式的值.
（1）；
（2） （结果精确到小数点后面第三位）.
解 （1）依次按键：
显示结果：32.
所以
1
2
0
4
=
例3 用计算器求下列各式的值.
（1）；
（2） （结果精确到小数点后面第三位）.
（2）依次按键：
显示结果：2.828 427 125.
所以，
8
=
1.用计算器比较下面两数的大小：
(1)
(2)
解:（1）
3.236 067 978；
（2） 3.339 148 045；
用计算器计算 ：显示2.4494897，
所以， .
2. 面积为6cm2的正方形，它的边长是多少？
用计算器求边长的近似值（精确到0.001cm）.
正方形的面积是6cm2，因此它的边长为 cm.
解:
由于（±） =a，则对于任意一个非负数a， 先开平方，然后再平方，最后的结果仍等于a.
=a成立吗？若不成立，请举例说明.
1 下列各数中，哪些是有理数？哪些是无理数？
-2.236，，0.，- ， ，- .
2 用计算器分别求下列各数的近似值（结果精确到0.001）.
（1）； （2） .
解：（1） 3.317；
（2） ≈ 0.762.
借助计算器求下列各式的值，你能发现什么规律？
4…444 3 …333
+
=
5 …555.
利用你发现的规律试写出
=
5 555.
2
2
3 333
4 444
+