2.3.2 实数的运算 课件（共37张PPT）2024-2025学年数学湘教版七年级下册

(共37张PPT)
2.3 实数
2.3.2 实数的运算
有理数可以做加、减、乘、除、乘方运算，实数可以吗？
把数从有理数扩充到实数以后，实数也可以进行加、减、乘、除、乘方运算，而且非负数可以进行开平方运算，任意实数都可以进行开立方运算.
在进行实数的运算时，有理数的运算法则、运算律等，对于实数仍然成立.
前面所学的有关数、式、方程（组）的性质、法则和解法，对于实数仍然成立.
填空（a，b，c是任意实数）：
（1）a+b = （加法交换律）；
（2）(a+b)+c = （加法结合律）；
（3）ab = （乘法交换律）；
（4）(ab)c = （乘法结合律）；
b+a
a+(b+c)
ba
a(bc)
（5）a(b+c) = （乘法对加法的分配律），
(b+c)a = （乘法对加法的分配律）；
（6）实数的减法运算规定为a-b = a+ ；
（7）实数的除法运算规定为a÷b =a· （b≠0）；
（8）如果a ≠ 0，b ≠ 0，那么ab 0；
ab+ac
ba+ca
(-b)
≠
（9）若ab=0，则a= 或b= .
0
0
解:
加法结合律
乘法对于加法的分配律
计算下列各式的值：
对于实数a，它有几个平方根，几个立方根呢？
在实数范围内，每个正实数a有且只有两个平方根，分别为±，且它们互为相反数，其中是a的算术平方根；
0的平方根是0；
负实数没有平方根.
当a为非负实数时，
根据平方根的定义得（） =a，（-）2=a.
设a是非零实数，
由于（-a） =a ，因此a和-a是a 的两个平方根.
每个实数a有且只有一个立方根，记作，且（）3=a.
★ 每个正实数有且只有两个平方根，它们互为相反数；
★ 0的平方根是0；
★ 在实数范围内，负实数没有平方根；
★ 在实数范围内，每个实数有且只有一个立方根.
实数也可以比较大小.对于实数a，b：
若a-b>0，则称a大于b（或者b小于a），记作a>b（或b若a-b<0，则称a小于b（或者b大于a），记作aa）；
若a-b=0，则称a等于b，记作a=b.
要注意的是，对于任何实数a，b，
在a>b，a=b，a对于实数有：正实数大于一切负实数；两个负实数，绝对值大的数反而小；数轴上右边的点表示的实数比左边的点表示的实数大.
原点
0
正实数
负实数
<
一般地，对于两个正实数a，b，
若a>b，则＞ ，反过来也成立.
对于两个正实数a，b，
若a>b，则>，反过来也成立.
1.正数大于零，负数小于零，正数大于负数；
2.两个正数，绝对值大的数较大；
3.两个负数，绝对值大的数反而小.
与有理数一样，在实数范围内：
例2 比较下列各组数的大小.
（1）2.5 与 ； （2）3 与 ； （3）-3 与 -.
解（1）因为2.5 =6.25，（） =7，又6.25<7，所以2.5<.
（2）因为33=27，（）3=25，又27>25，所以3>.
（3）因为|-3|= 3，|-|=，由（2）知3>，所以-3< -.
，2可以看作分别是面积为5，4的正方形的边长，容易说明：面积较大的正方形，它的边长也较大，因此.
同样，因为5<9，所以<3.
不用计算器， 与2比较哪个大？与3比较呢？
在进行实数的计算时，有时需要估计实数的范围或者按一定的精确度求结果的近似值.
不用计算器，分别估计与在哪两个相邻整数之间.
由于10 =100<115，（） =115，11 =121>115，
所以应介于10和11之间，即10<<11.
由于43=64<121，（）3=121，53=125>121，
所以应介于4和5之间，即4<<5.
计算（结果保留小数点后两位）：
【方法总结】在实数运算中，如果遇到无理数，并且需要求出结果的近似值时，可按要求的精确度用相应的近似有限小数代替无理数，再进行计算.
例3 用计算器计算：2× （结果精确到0.01）.
解: 依次按键：
显示结果：4.472135955.
所以 2× ≈ 4.47.
在实数的运算中，
当遇到无理数并且要求出结果的近似值时，
可以按照精确度用相应的近似有限小数
（一般比计算结果要求的精确度多保留一位）
去代替无理数进行计算，
最后再四舍五入.
例4 利用 = 1.414213562…和 = 2.645751311…计算+的值（结果精确到0.001）.
解 由于需精确到0.001，
于是只需取 ≈ 1.4142， ≈ 2.6457，
故+ ≈ 1.4142+2.6457 =4.0599 ≈4.060.
1 比较 -2 与-的大小.
2 不用计算器，分别估计与在哪两个相邻整数之间.
3 利用=1.259921049…和=2.236067977…计算+的值（结
果精确到0.001）.
1.在数轴上表示下列各点，比较它们的大小，并用“<”连接它们.
-2 -1 0 1 2 3
1
-2
2.估计位于（ ）
A.0~1之间 B.1~2之间 C.2~3之间 D.3~4之间
C
熟记一些常见数的算术平方根；或用计算器估计.
3.比较下列各组数的大小：
解 ： （1）因为 12 < 42，
所以 < 4，
所以 < 3；
（2）因为 10 > 32 ，
所以
所以
与 3 ； （2）3.
4. 计算：
解：(1) 原式 = 4 ；
(2) 原式 = 2 .
5. 用计算器计算（精确到0.01）：
（1） ； （2）1 ； （3）π .
解：（1）
（2）
（3）
6. 估计 与 6 的大小.
解：∵ 62=36<37
∴
7.计算：
（1）2+353
（2）∣2 ∣+ ∣
（3）∣ ∣+
3