5.3.1 等积变形问题 课件（共40张PPT）2024-2025学年数学华师大版七年级下册

(共40张PPT)
5.3 实践与探索
5.3.1 等积变形问题
用方程解实际问题的过程:
问题
方程
解答
分析
抽象
求解
检验
分析和抽象的过程包括:
(1) 弄清题意, 设未知数；
(2) 找等量关系；
(3) 列方程.
从一个水杯向另一个水杯倒水。
思考：在这个过程中什么没有发生变化？
问题1 用一根长60cm的铁丝围成一个长方形.
（1）如果长方形的宽是长的，求这个长方形的长和宽；
图形的等长变化
在这个过程中什么没有发生变化？
长方形的周长(或长与宽的和)不变。
等量关系：（长+宽）× 2 = 周长
x cm
cm
解： 设长方形的长为 x cm，则它的宽为cm. 根据题意，得
(x + ) ×2 =60
解得 x = 18
宽：18 = 12
答：长方形的长为18 cm，宽为12 cm.
（2）如果长方形的宽比长少4cm，求这个长方形的面积；
解：设长方形的长为x cm，则它的宽为(x-4) cm.根据题意，得
(x-4+x)×2 = 60
解得 x = 17
宽：17-4 = 13
x cm
(x-4) cm
面积：17×13 = 221
答：长方形的面积为221 cm2.
（3）比较（1）（2）所得的两个长方形面积的大小，还能围出面积更大的长方形吗？
（1）18×12 = 216 cm2
（2）17×13 = 221 cm2
（2）的长方形面积比（1）大.
面积：长×宽
每小题中如何设未知数？在小题（2）中，能不能直接设长方形的面积为 x cm2？若不能，该怎么办？
将小题（2）中的宽比长少4cm改为少3cm、2cm、1cm、0cm（即变为正方形），长方形的面积有什么变化？
设长方形的长为x cm，则它的宽为？
宽比长少3cm： x-3 cm
根据题意，得(x-3+x)×2 = 60
解得x =16.5
宽：16.5-3=13.5
即宽比长少3cm时，长为16.5 cm，宽为13.5cm.
设长方形的长为x cm，则它的宽为？
宽比长少2cm： x-2 cm
根据题意，得(x-2+x)×2 = 60
解得x =16
宽：16-2=14
即宽比长少2cm时，长为16 cm，宽为14cm.
设长方形的长为x cm，则它的宽为？
宽比长少1cm： x-1 cm
根据题意，得(x-1+x)×2 = 60
解得x =15.5
宽：15.5-1=14.5
即宽比长少1cm时，长为15.5 cm，宽为14.5cm.
设长方形的长为x cm，则它的宽为？
宽比长少0cm（即变为正方形） ： x cm
根据题意，得(x+x)×2 = 60
解得x =15
即宽比长少0cm （即变为正方形）时，长和宽（即边长）都为15cm.
根据计算可知：
宽比长少3cm时，面积为16.5×13.5= 222.75 cm2
宽比长少2cm时，面积为16×14= 224 cm2
宽比长少1cm时，面积为15.5×14.5= 224.75 cm2
宽比长少0cm时，面积为15×15= 225 cm2
同样长的铁丝，围成正方形面积最大。
在问题1中，通过探索我们发现，在周长一定的情况下，长方形的长和宽越接近，面积就越大.
实际上，当长和宽相等，即成为正方形时，面积最大.
通过以后的学习，我们就会知道其中的道理.
有趣的是：若把这根铁丝围成任意封闭的平面图形（包括随意凹凸的不规则图形），面积最大的是圆.
这其中的道理涉及更深层次的数学知识，你有兴趣去认识它们吗？
题1 用两根等长的铁丝分别绕成一个正方形和一个圆，已知正方形的边长比圆的半径长 2(π－2) m，求这两根等长的铁丝的长度，并通过计算说明谁的面积大．
【解析】比较两图形的面积大小，关键是通过题中的等量关系列方程求得圆的半径和正方形的边长，本题的等量关系为正方形的周长＝圆的周长.
解：设圆的半径为 r m，
则正方形的边长为[r＋2(π－2)] m.
根据题意，得 2πr ＝ 4(r＋2π－4)，
解得 r ＝ 4.
所以铁丝的长为 2πr ＝ 8π(m)．
所以圆的面积是 π×42 ＝ 16π(m 2)，
正方形的面积为 [4＋2(π－2)]2 ＝ 4π2(m 2)．
因为 4π×4 ＞ 4π×π，所以 16π ＞ 4π2，
所以圆的面积大．
答：铁丝的长为 8π m，圆的面积较大.
(1) 形状、面积发生了变化，而周长没变；
(2) 形状、周长不同，但是根据题意找出周长之间的关系，把这个关系作为等量关系。解决问题的关键是通过分析变化过程，挖掘其等量关系，从而可列方程.
题2 某居民楼顶有一个底面直径和高均为 4 m 的圆柱形储水箱.现对该楼进行维修改造，为减少楼顶原有储水箱的占地面积，需要将它的底面直径由 4 m 减少为 3.2 m.那么在容积不变的前提下，水箱的高度将由原先的 4 m 变为多少米？
图形的等积变化
旧水箱 新水箱
底面半径/m
高/m
体积/m
2
1.6
4
x
π×22×4
π×1.62×x
①如果设水箱的高变为 x m，填写下表：
②根据表格中的分析，找出等量关系.
旧水箱的容积 = 新水箱的容积
③列出方程并求解.
π×22×4 = π×1.62×x
解得 x = 6.25
因此，水箱的高度变成了 6.25 m.
题3 一种牙膏出口处直径为 5 mm，小明每次刷牙都挤出 1 cm 长的牙膏，这样一支牙膏可以用 36 次，该品牌牙膏推出新包装，只是将出口处直径改为 6 mm，小明还是按习惯每次挤出 1 cm 的牙膏，这样，这一支牙膏能用多少次？
解：设这一支牙膏能用 x 次，根据题意得
解这个方程，得 x ＝ 25.
答：这一支牙膏能用 25 次．
你认为列一元一次方程解应用题的主要步骤有哪些？关键是什么？
思考：
1. 审——通过审题找出等量关系.
3. 列——依据找到的等量关系，列出方程.
2. 设——设出合理的未知数(直接或间接)，注意单位名称.
6. 答——注意单位名称.
5. 检——检验求出的值是否为方程的解，并检验是否符
合实际问题.
4. 解——求出方程的解(对间接设的未知数切忌继续求解).
1. 要锻造一个直径为 8 厘米、高为 4 厘米的圆柱形毛坯，
则至少应截取直径为 4 厘米的圆钢______厘米。
2. 钢锭的截面是正方形，其边长是 20 厘米，要锻造成
长、宽、高分别为 40 厘米、30 厘米、10 厘米的长方
体，则应截取这种钢锭多长？
30 厘米
16
1.一块长、宽、高分别为4cm、3cm、2cm的长方体橡皮泥，要用它来捏一个底面半径为1.5cm的圆柱，圆柱的高是多少？（精确到0.1cm，π取3.14）
2.在一个底面直径5cm、高18cm的圆柱形瓶内装满水，再将瓶内的水倒入一个底面直径6cm、高10cm的圆柱形玻璃杯中，能否完全装下？若装不下，那么瓶内水面还有多高？若未能装满，求杯内水面离杯口的距离.
1. 一个长方形的周长是 40 cm，若将长减少 8 cm，宽增加2 cm，长方形就变成了正方形，则正方形的边长为 ( )
A. 6 cm　　　　　　B. 7 cm　　　
C. 8 cm　　　　　　D. 9 cm
B
2. 一个梯形的面积是 60 cm2，高为 5 cm，它的上底比下底短 2 cm，求这个梯形上底和下底的长度。设下底长为 x cm，则下面所列方程正确的是 ( )
C
3. 根据图中给出的信息，可得正确的方程是 (　　)
A
A. π×42x = π×32×(x+5) B. π×42x = π×32×(x-5)
C. π×82x = π×62×(x+5) D. π×82x = π×62×(x-5)
应用一元一次方程
图形等长变化
应用一元一次方程解决实际问题的步骤
图形等积变化
③列
⑤检
④解
②设
①审
⑥答