河北省石家庄市2024-2025学年高二上学期期末教学质量检测数学试题（含解析）

河北省石家庄市2024-2025学年高二上学期期末教学质量检测数学试题
第I卷（选择题）
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.抛物线的焦点坐标为( )
A. B. C. D.
2.若等比数列满足，，则公比( )
A. B. C. D.
3.过点且与圆相切的直线方程为( )
A. B. C. D.
4.已知圆与圆，则两圆的公切线条数为( )
A. B. C. D.
5.已知平面，其中点，平面的法向量，则下列各点中在平面内的是( )
A. B. C. D.
6.若椭圆的弦的中点则弦长( )
A. B. C. D.
7.设，分别是双曲线的左、右焦点，过点作双曲线的一条渐近线的垂线，垂足为，若为焦距，设双曲线的离心率为，则( )
A. B. C. D.
8.在棱长为的正方体中，以为原点，、、所在直线分别为轴，轴，轴建立空间直角坐标系，若直线上的点到直线的距离最短，则点坐标为( )
A. B. C. D.
二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.数列的前项和为，，则下列结论正确的是( )
A. B. 为等差数列 C. D. 是递增数列
10.三棱锥，，，两两垂直，为的重心，，，分别为棱，，的中点，，，，下列叙述正确的是( )
A. B. 在面上的投影向量为
C. 异面直线与所成的角为 D. 点到平面的距离为
11.平面内到两定点距离之积为常数此常数不为的点的轨迹称为卡西尼卵形线已知在平面直角坐标系中，，，动点满足，其轨迹为一条连续的封闭曲线，如图所示，则下列结论正确的是( )
A. 曲线与轴交点的坐标为，
B. 周长的最小值为
C. 若直线与曲线只有一个交点，则的取值范围是
D. 面积的最大值为
第II卷（非选择题）
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.直线，若直线与垂直，则直线的斜率为 ．
13.已知为抛物线的焦点，为抛物线上一点，为轴上一点，且，则 ．
14.已知数列满足，，，成等比数列，为其前项和，则的前项和 ．
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.本小题分
已知等差数列的前项和为，且，．
Ⅰ求的通项公式
Ⅱ若，且的前项和为，求．
16.本小题分
平行四边形的两条邻边，所在的直线分别为，，两条对角线交点为．
Ⅰ求边所在直线方程
Ⅱ求平行四边形的面积．
17.本小题分
已知圆过点，，且圆心在上．
Ⅰ求圆的方程
Ⅱ已知平面内两点，，为圆上的动点，求的最小值．
18.本小题分
如图，在三棱锥中，是以为斜边的等腰直角三角形，是以为斜边的等腰直角三角形。，，分别是，，的中点，，
Ⅰ证明：平面平面
Ⅱ求点到平面的距离
Ⅲ求平面与平面夹角的余弦值．
19.本小题分
已知双曲线的离心率为，其虚轴长为．
Ⅰ求双曲线的方程
Ⅱ直线与双曲线的右支交于、两点，
求实数的取值范围
若直线也与双曲线的右支交于、两点，且与垂直，求四边形面积的最小值．
答案和解析
1.【答案】
【解析】抛物线 的焦点坐标是
故选C．
2.【答案】
【解析】等比数列满足，，
两式相减，得，
又
所以，
故选B．
3.【答案】
【解析】圆的标准方程为：，
故圆心，
点在圆上，
过点的切线与垂直，且 ，
过点的切线斜率为，
故所求直线方程为： ，
整理，得：．
故选A．
4.【答案】
【解析】由题意得两圆的圆心的距离为，等于两圆的半径之和，
所以两圆外切，
所以有条公切线．
故选C．
5.【答案】
【解析】对各个选项进行逐一验证，
对于选项A， ，则 ，则此点在平面 内；
对于， ，则 ，则此点不在平面 内；
对于， ，则 ，则此点不在平面 内；
对于， ，则 ，则此点在不平面 内；
故选A．
6.【答案】
【解析】设，，
因为为的中点，
所以，，
又，两点在椭圆上，
则，，
两式相减，得，
所以，
由题意可知
所以，
所以，
即有直线的方程为，
即为，代入椭圆方程，可得，
可得或，
即有，，
则．
故选D．
7.【答案】
【解析】由双曲线的方程可得双曲线渐近线方程：，右焦点，
到渐近线的距离，
由渐近线的对称性，设渐近线为，
则直线方程为：，
由可得，，则，
左焦点，
所以，
因为，
所以，得，
所以，
则的离心率为．
故选B．
8.【答案】
【解析】
以为原点，、、所在直线分别为轴，轴，轴建立空间直角坐标系，
则，
设，，即，
，
在上的投影为，
点到直线的距离为，
当时，点到直线的距离最短所以点的坐标为．
故选C．
9.【答案】
【解析】数列的前项和为，可得
当时，，
上式对也成立，所以，
则，故A错误
由，可得为首项为，公差为的等差数列，故B正确
，，，故C错误
由，可得，
则，
所以是递增数列，故D正确．
故选BD．
10.【答案】
【解析】对于，为的重心，，
所以，
所以，A错误；
对于，易证平面，在平面上的投影向量为，B正确；
对于，，分别为棱，的中点，，
所以异面直线与所成的角也就是与成的角，
易证平面，平面，从而，
异面直线与所成的角为，C错误；
对于，易证平面，
所以就是到平面的距离，，
又，，共线，是的重心，，
所以点到平面的距离为点到平面的距离的，即，D正确．
故选：．
11.【答案】
【解析】设，则由，
可得，
整理得，
令，则有，
即，
整理得，解得或，
即曲线与轴交点的坐标为，，故A正确；
对于，因为，
所以，
当且仅当时，等号成立，
此时点坐标为，，三点共线，
所以周长，故B错误；
联立
消去可得，
即，
整理得，
要使直线与曲线只有一个交点，
则方程只有一个解，
故，解得，
则实数的取值范围是，故C正确；
设，
则，
所以，
故面积的最大值为，故D正确．
故选：．
12.【答案】
【解析】直线：的斜率为，
直线与直线：垂直，
直线的斜率为．
故答案为：．
13.【答案】
【解析】易知焦点的坐标为，准线方程为，如图：
设抛物线准线与轴交点为，作于，于，
，
则，
由，得，
又，，
所以，
解得，，
又，
所以．
故答案为：．
14.【答案】
【解析】因为
则，，
因为，，成等比数列，
所以，
即，
解得，即，
当时，，不符合题意，
所以，
所以，，，，，，，，，
且当为偶数时，数列为等比数列，公比为，
当为奇数时，数列为等差数列，公差为，
所以．
故答案为：．
15.解：Ⅰ设等差数列的公差为，
由等差数列求和公式得，
，，
；
Ⅱ由Ⅰ知：，
则，
则
．
16.解：Ⅰ联立，得，，
为对角线的交点，即的中点，
由中点坐标公式得，
，，
由点斜式直线方程可得，
即；
Ⅱ联立，得，，
，
由点到直线的距离公式可得点到直线的距离，
．
17.解：Ⅰ，，由中点坐标公式得的中点坐标为，
，
的中垂线方程为：，即，
，
，，
圆的方程为；
Ⅱ设，
，
即点到原点的距离的平方，
，
，
．
18.解：Ⅰ证明：是以为斜边的等腰直角三角形，
且，，
是以为斜边的等腰直角三角形，，
中，，，
，，即，
，，、平面，
平面，
平面，
平面平面；
Ⅱ取中点，连接，，
由可知平面平面，
又，平面平面，
平面，，，
，以为原点，，，所在直线为轴，轴，轴建立空间直角坐标系，
，，，，，
，
设平面的法向量为，
，
取，得，
故平面的一个法向量为，
，
到平面的距离为；
Ⅲ，，，，，，
设平面的法向量为，
，
令，得，；
故平面的一个法向量为，
设平面与平面的夹角为，
．
故平面与平面夹角的余弦值为．

19.解：Ⅰ由题意可得得，
故双曲线的方程为：
Ⅱ
直线与双曲线右支有两个交点，
，得
由可得，，
，
同理可得，
，
由可知，，且，
，，
，
，
，
当且仅当，即时取到等号，
四边形面积的最小值为．
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