浙江省台州市2024-2025学年高二上学期期末质量评估数学试题（含解析）

浙江省台州市2024-2025学年高二上学期期末质量评估数学试题
第I卷（选择题）
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.在空间直角坐标系中，点在坐标平面内射影的坐标为( )
A. B. C. D.
2.已知直线的一般式方程为，则( )
A. 直线的截距式方程为 B. 直线的截距式方程为
C. 直线的斜截式方程为 D. 直线的斜截式方程为
3.已知椭圆的标准方程为，下列说法正确的是( )
A. 椭圆的长轴长为 B. 椭圆的焦点坐标为，
C. 椭圆关于直线对称 D. 当点在椭圆上时，
4.设等比数列的前项和为，若，则的值为( )
A. B. C. D.
5.台州学子黄雨婷夺得巴黎奥运会米气步枪比赛金银两块奖牌后，米气步枪射击项目引起了大家的关注在米气步枪比赛中，瞄准目标并不是直接用眼睛对准靶心，而是通过觇孔式瞄具来实现这种瞄具有前后两个觇孔觇孔的中心分别记为点，，运动员需要确保靶纸上的黑色圆心记为点与这两个觇孔的中心对齐，以达到三圆同心的状态若某次射击达到三圆同心，且点，点，则点的坐标为( )
A. B. C. D.
6.在四面体中，，，若直线与平面所成角为，则( )
A. B. C. D.
7.已知等差数列的首项为，公差为，前项和为，数列满足：，则下列说法正确的是( )
A. ，数列为递增数列
B. ，使得数列为递减数列
C. 及正整数，，，使得，，成等比数列
D. ，数列的最小项为
8.已知椭圆的左右焦点分别为，，点是椭圆上第一象限的一点，的内心为，若，则椭圆的方程为( )
A. B. C. D.
二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.关于曲线，下列说法正确的是( )
A. 若，则曲线表示圆 B. 若，则曲线表示抛物线
C. 若，则曲线表示椭圆 D. 若，则曲线表示双曲线
10.对于数列，若存在正整数，使得对于任意正整数，都有，则称数列为周期数列下列数列中为周期数列的是( )
A. B. ，
C. D. ，
11.已知正方体的棱长为，为的中点，为的中点，为平面内的动点，则( )
A. 平面
B. 平面与平面所成角的正切值为
C. 若与所成角为，则点的轨迹为圆
D. 周长的最小值为
第II卷（非选择题）
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.已知双曲线的离心率为，则 ．
13.已知曲线，则该曲线的一条对称轴方程为 写出满足条件的一个方程即可
14.用表示两数，中的较大者，记，，若，则的取值范围是 ．
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.本小题分
已知直线，圆．
若直线把圆分成面积相等的两部分，求实数的值
若直线与圆相切，求实数的值．
16.本小题分
如图，在直三棱柱中，，，．
用，，表示
求直线与直线所成角的余弦值．
17.本小题分
设函数，，数列，满足：，，，．
若，求数列的通项公式
求数列的前项和．
18.本小题分
动点到直线与直线的距离之积为，记点的轨迹为曲线．
求曲线的方程
若点为曲线与抛物线的一个公共点，点．
求的取值范围
当，且时，求直线斜率的取值范围．
19.本小题分
把元有序实数组称为维向量，类似平面向量与空间向量，对于维向量，，也可定义两个向量的加法运算和减法运算数乘运算，向量的长度模两个向量的数量积表示向量，的夹角，向量在向量上的投影向量的模维向量为我们解决数学问题提供了更为广阔的思维空间．
已知，，求向量，的夹角的余弦值
已知维向量，，，，，且，求的最小值
，，求的最大值用含的式子表示．
注：
答案和解析
1.
【解析】
在空间直角坐标系中，点在坐标平面的射影坐标是．
故选：．
2.
【解析】
因为直线的一般式方程为，
所以直线的截距式方程为，故A正确，B错误；
直线的斜截式方程为，故C，D错误．
故选A．
3.
【解析】
对于、椭圆的标准方程为，
其中，，则其长轴长，故A错误；
对于、椭圆的标准方程为，
其中，，则，
则其焦点坐标为、，故B错误；
对于、椭圆的标准方程为，其中，，
则其焦点在轴上，关于直线不对称，故C错误
对于、椭圆的标准方程为，其中，，
则的最大值为，则必有，故D正确．
故选：．
4.
【解析】
设等比数列的公比为，
当时，满足，则，
当时，，则，矛盾，
综上，的值为．
故选：．
5.
【解析】
根据题意可设，
因为，，三点共线，
则，
即，
则
则点的坐标为．
故选：．
6.
【解析】
由题可知，，，
以为原点，，，所在直线分别为轴，轴，轴建立空间直角坐标系，
设，
则，，，，
则，，
设平面的法向量为，
由，可得，
令，则，，
所以平面的一个法向量为，
直线的一个方向向量为，
已知直线与平面所成角为，
则有，
即，化简得：，
又因为，所以，即．
故选：．
7.
【解析】
选项A，显然当时，为先减后增数列，故A错误；
选项B，由题意，可得
，
又，可得，
则，
所以数列是公差为的等差数列，且为递增数列，故B错误；
选项C，假设，，成等比数列，则，
因为，
所以有，
可得：，
整理可得，可知不恒为，
因此及正整数，，，
使得，，成等比数列，故C正确；
选项D，，，
则
，
可看成关于的二次函数，
图象开口向上，对称轴，
因此当时，对称轴，此时的最小项为，
而，故D错误．
故选：．
8.
【解析】
如图所示：设内切圆的切点分别为，，，
则，
得，
由椭圆的焦半径公式得，
得，
则，
得，
又因为，所以，
而，得，
即，
故椭圆的方程为．
故选：．
9.
【解析】
对于、若，则方程可化为，
表示以为圆心，为半径的圆，故A正确；
对于、若，取，，
则方程可化为，不表示抛物线，故B错误；
对于、若，取，
则方程可化为，不表示椭圆，故C错误；
对于、若，则方程可化为，表示双曲线，故D正确．
故选：．
10.
【解析】
对于，，，
从而数列是周期为的周期数列，故A正确；
对于，，
从而数列是周期为的周期数列，故B正确；
对于，当为偶数时，，满足，
当为奇数时，，从而不存在正整数，使得，故C错误；
对于，当为奇数时，，
则，，，
当为偶数时，，，，，
由得数列是周期为的周期数列，故D正确．
故选：．
11.
【解析】
对于项，如图
连接，显然四边形为平行四边形，
则，而平面，平面，
所以平面，
而，
故不会与平面平行，故A错误；
对于项，因为平面平面，
所以平面与平面所成角即为平面与平面所成角，
连接交于点，连接，如图所示，
得，
则即为平面与平面所成角的平面角或其补角，
在中，则，故B正确；
对于项，连接，
以为原点，，，所在直线为，，轴，建立如图所示的空间直角坐标系，
则，，，，
则，
得，
则，
而平面，
得平面，
连接交于点，连接，则，
得平面，且与所成角为，
即与所成角为，
，则，
故点的轨迹是以点为圆心，半径为的一个圆，故C正确
对于项，
延长交的延长线与点，
显然四边形为平行四边形，则，
得点为的中点，如图所示：
由于平面，
则点关于平面的对称点为，
连接，交平面于点，连接，，
此时周长的最小，
其最小值为
，故D正确．
故选：．
12.
【解析】
由双曲线方程可知 又离心率为，
可得 ，
代入可得 ，
则 ．
故答案为：．
13.答案不唯一，，，均可
【解析】
因为曲线，
则也成立，
故若点在曲线上，也在曲线上，
故该曲线的一条对称轴方程为．
故答案为：答案不唯一，，，均可．
14.
【解析】
由题意可知：，，，，，
当，即时，
，
不满足题意；
当，即时，
，
解得，则；
当，即时，
，
解得，所以；
当，即时，
，
解得，所以；
当，即时，
，满足条件．
综上，的取值范围是
故答案为：
15.解：由题意得，圆心在直线上，即，即；
圆的半径为，
圆心到直线的距离，
解得或．
16.解：
；
设直线与直线所成角为，
且
，
，
，
所以，
所以直线与直线所成角的余弦值为．
17.解：，
得，又，
所以数列是以为首项，为公比的等比数列，
所以，
则，
因为，所以的通项公式为
，
所以数列是以为首项，为公差的等差数列，
，
，
，
，
两式相减得，
所以，
故．
18.解：由题意得．，
化简得，故曲线的方程为：或；
由可知，或，
当时，由得，
因为时，无解舍去
当时，由得，
由，得，
故的取值范围为；
直线的斜率，
令，则，所以，
当时，，
当时，，
所以直线的斜率取值范围为，
19.解：，
，，
所以，
所以向量，的夹角的余弦值为
由
设，
则有，
由，
得，
故的最小值为；
当且仅当，，，时取等；
解法设，，，
，表示向量在上投影向量的模．
下求该投影向量模的最大值，
设以为法向量的“平面”为，
因为，所以在“平面”内，
设与“平面”夹角为，
向量在上投影向量模的最大值为在“平面”投影，
故
，
，
所以，
故的最大值为，
解法因为，所以对任意恒成立，
取，
由，
得，
当且仅当时取等号，
故的最大值为．
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