浙江省衢州市2024-2025学年高一上学期1月期末教学质量检测数学试题（含解析）

浙江省衢州市2024-2025学年高一上学期1月教学质量检测数学试题
第I卷（选择题）
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.已知集合，，则( )
A. B. C. D.
2.已知幂函数的图象过点，则( )
A. B. C. D.
3.“”是“”的( )
A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件
C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件
4.下列不等关系成立的是( )
A. B. C. D.
5.函数的部分图象大致为( )
A. B.
C. D.
6.已知函数，，的零点分别为，，，则，，的大小顺序为( )
A. B. C. D.
7.已知函数的图象关于点中心对称的充要条件是函数为奇函数，则函数图象的对称中心是( )
A. B. C. D.
8.已知是定义在上的偶函数，是定义在上的奇函数，且，在上单调递增，则下列不等关系恒成立的是( )
A. B.
C. D.
二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.若，，且，则下列结论正确的是( )
A. B.
C. D.
10.已知函数，则( )
A. 是奇函数 B. 图象有对称轴
C. 是周期函数 D.
11.已知正实数，满足，则( )
A. B. C. D.
第II卷（非选择题）
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.若，则 ．
13.玉璜，是一种佩戴饰物在中国古代，玉璜与玉琮、玉璧、玉圭、玉璋、玉琥等总称为“六瑞”，被周礼一书称为是“六器礼天地四方”的玉礼器，多作为宗教礼仪挂饰现有一弧形玉璜呈扇环形，已知，弧长为，弧长为，此玉璜的面积为
14.已知函数在上有个不同零点，则实数的取值范围是 ．
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.本小题分
在平面直角坐标系中，角是第二象限角，且终边与单位圆交于点
求实数及的值
求的值．
16.本小题分
已知函数且．
若，求函数的定义域及值域
若函数在上单调递增，求实数的取值范围．
17.本小题分
已知函数在区间上的值域为．
求函数的解析式
若对任意，存在使得，求实数的取值范围．
18.本小题分
已知函数，
讨论函数的单调性无需证明
若，解关于的不等式
若关于的方程有两个不同的解，求实数的取值范围．
19.本小题分
设点集是集合，的一个非空子集，若按照某种对应法则，中的每一点都有唯一的实数与之对应，则称为上的二元函数，记为当二元函数满足对任意，，，均有：成立，则称二元函数具有性质．
试判断二元函数是否具有性质，并说明理由
若具有性质，证明：函数具有性质
对任意具有性质的函数，均可推出具有性质，求实数的取值范围．
答案和解析
1.
【解析】，，
．
故选B．
2.
【解析】设，
由，得，
，
则．
故选D．
3.
【解析】由，得，反之也成立，
所以“”是“”的充要条件．
故选C．
4.
【解析】对于、，，则，故A错误；
对于、，，则，故B正确；
对于、，，则，故C错误；
对于、，，则，故D错误．
故选B．
5.
【解析】因为函数，
由，得或，
当或时，，当时，，
由选项可知，只有满足题意，
故选A．
6.
【解析】由题得，，分别为方程 ， ， 的根，
在同一直角坐标系中作出 ， ， ，的图象，
由图可得，
故选B．
7.
【解析】令，
则定义域为，
且，
则是奇函数，则函数图象的对称中心是，
故选C．
8. 【解析】由题意，得在递减，在上递增，且，
对于、因为，则，故A错误；
对于、因为，则，故B错误；
对于、因为，则，故C正确；
对于、因为，若，则，故D错误，
故选C．
9.
【解析】对于、，故A正确；
对于、，当且仅当时，取等号，故B正确；
对于、，
当且仅当时，取等号，故C错误；
对于、，
当且仅当时，取等号，故D正确．
故选ABD．
10.
【解析】函数的定义域为，
，
则函数是偶函数，图像关于轴对称，故A错误，B正确
因为，，
所以，
故函数是周期函数，选项C正确；
因为，所以，
又因为，所以，
因此，，
所以，选项D正确．
故选BCD．
11.
【解析】由，
可得，
又，则，故，故A正确；
，则，则，即，
令，，
则正实数为的解，即为的零点，
，
，，且函数与都单调递增，
故在时单调递增，
，，
故在上存在零点，即，故B正确；
，，则，
令，，则，
，
由，，且函数，均单调递增，
故在单调递增，
时，，
由，可知，即此时，
故，故C错误；
由，得，即
由，可得，
故，即，即，
又时，单调递增，且，，故，故D正确．
故选ABD．
12.
【解析】由得，所以
故答案为．
13.
【解析】玉璜的面积为，
故答案为．
14.
【解析】由得，
若无零点，则，得，此时满足条件的零点最多个，不合题意；
若只一个零点，则，此时满足条件的零点最多个，不合题意；
若有两个零点，一个正数，另一个为零，则，此时满足条件的零点只个，不合题意；
若有两个正零点，则，则，此时满足条件的零点有个，不合题意；
若有两个零点，一个正零点，另一个为负零点，，此时，
则满足条件的零点必须有个，得．
综上：．
故答案为．
15.解因为角与单位圆交于点，所以，，
又角为第二象限角，且，
所以，所以．
．
16.解：当时，，
令，
所以函数定义域为，
又，
所以，所以函数的值域为．
设，因为在上为增函数，
所以当时，在上为增函数且在上恒成立，
所以
当时，在上为减函数且在上恒成立，
所以无解．
综上所述，实数的取值范围为
17.解：因为，所以，
则，
又，故，
依题意则，解得，
故；
由题意可知，
因为，
所以，
则，
故，
则即，
又所以，
则，解得，
故的取值范围为．
18.解：定义域为，
当时，在和上单调递减
当时，在和上单调递减
当时，在和上单调递增
在和上单调递减
由的定义域知，，得且，
又由知当时，在上单调递减
故，
则或，即或，
所以不等式的解集为或或．
令，则其在上单调递增，且．
则方程有两个不同解等价于方程在上有两个不同解，
在上有两个不同解．
即在上有两个不同解．
令，则，
故在上有两个不同解，
又在上递减，上递增，
则，即．
19.解：具有性质，
所以，
，
，
故具有性质．
因为
下证，
即证，
，，
又具有性质，故，
结合，知式成立，
故成立，
所以函数具有性质．
先证具有性质时，必有成立．
因为具有性质，由知，
由知，故，即成立．
若，当有性质时，知，且也有性质，
故F，从而恒成立，
故，即，
取得与矛盾，故不满足题意．
若，则，故，得与矛盾，
故不满足题意．
若，由，
，从而性质满足，
下面考虑性质记，，，
易知，，，
下证当时，均有，
令，则，
由复合函数单调性可知在单调递增，
若，之中至少有一个大于，不妨，故，
即，又，
故成立．
若，均不超过，即，，
则，
从而时，恒有成立，
即此时具有性质，
故满足题意．
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