浙江省湖州市2024-2025学年高一上学期期末调研测试数学试题（含解析）

浙江省湖州市2024-2025学年高一上学期期末调研测试
数学试题
第I卷（选择题）
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.已知角的顶点与原点重合，始边与轴的非负半轴重合，它的终边过点，其中，则下列结论正确的是( )
A. B. C. D.
2.已知集合，，则下列结论正确的是( )
A. B. C. D.
3.将函数图象上每个点向右平移个单位长度，再将所得图象上每个点的横坐标伸长到原来的倍，所得图象的函数解析式是( )
A. B. C. D.
4.“”是“”的( )
A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件
C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件
5.已知函数在上单调递增，则实数的取值范围是( )
A. B. C. D.
6.某“激进型理财产品”是按复利的方式计算利息，即把前一期的利息与本金加在一起作为本金，再计算下一期的利息假设最开始本金为元，年利率为，约经过 年后，本息和能够“增倍”即为原来的倍．附参考公式：，当接近于时，参考数据：，，
A. B. C. D.
7.已知，则的值为( )
A. B. C. D.
8.已知函数满足，，集合，若，则的值为( )
A. B. C. D.
二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.已知函数的部分图象如图所示，下列结论正确的是( )
A.
B. 函数是奇函数
C. 是函数图象的一条对称轴
D. 函数在上的值域是
10.已知，，且，则( )
A. B.
C. D.
11.如图，正方形的边长为，，分别为边，上的点，当的周长为时，则( )
A. B. 的长度有最大值
C. 的面积有最大值 D. 的面积有最小值
第II卷（非选择题）
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.已知幂函数是常数满足，则 ．
13.已知单位圆上有一段圆弧的长是，且该弧所对圆周角的余弦值是，则 ．
14.已知函数，其图象与直线有两个交点若关于的方程有三个不等的实根，则实数的值为 ．
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.本小题分
已知集合，集合
求
若集合，且，求实数的取值范围．
16.本小题分
已知锐角满足方程．
当时，求的值
当时，求的值．
17.本小题分
已知函数．
判断函数的奇偶性，并说明理由
判断函数是否存在零点，若存在零点，请写出一个区间，满足，且若不存在零点，请说明理由．
18.本小题分
已知函数，可将其化成的形式．
求，，，的值
求函数的最小正周期，并求其图象的对称中心
若，，求的值．
19.本小题分
如图，湖州“飞凤大桥”是一座“双塔钢结构自锚式悬索桥”，悬索的形状是平面几何中的悬链线一般的，悬链线方程为为参数，为自然对数的底数，，当时，该方程就是双曲余弦函数．
求的值
若关于的不等式恒成立，求实数的取值范围
如果定义双曲正弦函数为，当时，试比较与的大小关系，并说明理由．
答案和解析
1.
【解析】
已知角的终边经过点，
当时，则，
当时，，
故选：．
2.
【解析】
，
所以，
故A．
故选：．
3.
【解析】
把函数的图象向右平移 个单位长度，
得 ，
把 的图象上所有点的横坐标伸长到原来的倍纵坐标不变，
得到 的图象，
故选：．
4.
【解析】
由，所以，
可得，故充分性成立；
由，可得，
取，，但是不成立，故必要性不成立，
所以“”是“”的充分不必要条件．
故选：．
5.
【解析】
由于在上单调递增，
所以，解得，
所以的取值范围是．
故选：．
6.
【解析】
设经过年后本息和能够“增倍”
依题意可得，，
即，
故的最小整数值为．
故选：．
7.
【解析】
先由，
得到，
即，
所以，
即，
所以，
则，故，，
得．
故选：．
8.
【解析】
由，
可得，
，
，
相加得，
所以，
所以，其周期为，
前项为，，
，，
设，即为，，，，
因为集合，且，
若，
则，则，
若
则，矛盾；
若
则，即，
若为奇数，则，，
则，
若为偶数，则，，
则，
若，
则，
则，得，即．
当为奇数，则，，
则，
若，
若，得，则，
则，矛盾，
若，
则，
则，同理可得，
若，同理可得出矛盾，
当，
则，则，同理可得，
综上所述，．
故选：．
9.
【解析】由函数的图象可得由，
解得，故 A正确；
，
又因为，解得，
从而，
所以，
即函数为偶函数，故 B错误；
当时，，所以 ，
函数的图象关于直线对称，故 C正确；
因为时，，
所以当时，，
当时，，
所以函数在上的值域是，故D错误．
故选：．
10.
【解析】
由题意，，
当且仅当时，取等号，
对于、
，
当且仅当时，取等号，故A正确；
对于、，
当且仅当时，取等号，故B正确；
对于、，
当且仅当时，取等号，故C正确；
对于、因为，且，
则，
当且仅当时，取等号，故D错误．
故选：．
11.
【解析】
设，，则，，，
则，，
，
在中，，又，
，即，
把代入可得，
，，故A正确；
，，
由基本不等式，当且仅当时取等号，
解得，当且仅当时，取等号，
，故B错误；
的面积为，
当且仅当时，取等号，故C正确
把绕顺时针旋转，得到，如图，
则在的延长线上，并且，，，
的周长为，，
而正方形的边长为，
，，
，
，
，
即面积的最小值为，故D正确．
故选：．
12.
【解析】
幂函数为常数，
，
，解得，
，

故答案为：．
13.
【解析】
设该弧所对圆周角为，
则该弧所对圆心角为，
由题意知，，则，
所以，
又，
所以．
故答案为：．
14.
【解析】
令，
显然时，等式不成立，故，
则或，
即，
因为与有两个交点，
所以与直线与直线有两个交点，
因为，所以，解得．
考虑，令，
则方程可化为，
由前面的分析可知，
当时，有两个不等正实根，
则，
则只需研究和根的个数，
方程的判别式为，
当时，，
则的图象有位于轴下方的部分，
保留其位于轴上方的部分，将位于轴下方的部分作关于轴的翻折，即得的图象，
此时的图象与直线，都至少有个交点，故共至少有个交点，
则至少个根，不合题意；
当时，，恒成立，
所以，
则，
要使得恰有个根，
需的图象与，共有个交点，
因为，
所以的图象与有一个交点，与有个交点，
所以，由，
可得，
所以，
则，
即，
所以，
所以，
整理得，
即，即，
化简得，解得或舍去．
综上所述，．
故答案为：．
15.解：由，解得，所以．
由，解得，所以
故A．
当时，，符合题意
当时，由，知，又，
所以，即
综上所述，，
即的取值范围为
16.解：当时，，
即，
所以；
当时，，
所以，
即，
因为为锐角，所以，
于是，
所以，，
故，
所以．
17.解：由，得，
所以的定义域为，
又，
所以为奇函数；
，，
又，，
故由函数零点存在定理可知，
函数在上存在零点，
此时，区间满足题意其中或，答案不唯一，写出满足题意的区间均可
18.解：
，
所以，，，；
，即的最小正周期为，
由，得，
所以图象的对称中心为；
由，得，
由，得，
由于，
所以，，
所以
．
19.解：由于，
，
所以；
由知，，
所以不等式等价于，
即，
其中，，
当且仅当即时取到等号，
所以恒成立，
令，，
则在上单调递增，
当时，取得最小值为，
即的最小值为，所以；
作差
，
当时，，
即，所以，
所以，即，
当时，，
即，所以，
所以，
即．
综上所述，当时，．
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