2024-2025学年人教版高一数学寒假开学考模拟训练题
一、单选题
1.已知集合，集合，则（ ）
A． B． C． D．
2．下列关于命题“ x∈R，使得x2＋x＋1<0”的否定说法正确的是（ ）
A． x∈R，均有x2＋x＋1<0，假命题
B． x∈R，均有x2＋x＋1≥0，真命题
C． x∈R，使得x2＋x＋1≥0，假命题
D． x∈R，使得x2＋x＋1＝0，真命题
3．若“p：x>a”是“q：x>1或x<－3”的充分不必要条件，则a的取值范围是（ ）
A．a≥1 B．a>1
C．a≥－3 D．a≤－3
4．下列各组函数中表示同一个函数的是（ ）
A． B．
C． D．
5．下列运算正确的是（ ）
A． B．
C． D．
6．函数的图象大致为
A． B．
C． D．
7．若函数且满足对任意的实数都有成立，则实数的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
8.将函数的图象向右平移个单位与函数的图像重合，则可以是（ ）
A． B． C． D．
多选题
9．已知a，b，，则下列说法正确的是（ ）
A．若，则 B．若，则
C．若，则 D．若，则
10．关于函数下列结论正确的是（ ）
A．图像关于轴对称 B．图像关于原点对称
C．在上单调递增 D．恒大于0
11．下列命题为真命题的是（ ）
A．函数的图象关于点，k∈Z对称
B．函数是最小正周期为π的周期函数
C．设θ为第二象限角，则，且
D．函数的最小值为－1
三、填空题
12．教材必修1第87页给出了图象对称与奇偶性的联系：若为奇函数，则的图象关于点中心对称，易知：是奇函数，则图象的对称中心是 .
13.若实数x，y满足x＞y＞0，且log2x＋log2y＝1，则的最小值为 ．
14.若方程在有解，则的取值范围是 .
四、解答题
15．已知集合，，
（1）求，；
（2）若，求实数的取值范围．
16.已知函数f(x)＝a－.
（1）求证：不论a为何实数，f(x)总为增函数；
（2）确定a的值，使f(x)为奇函数；
（3）当f(x)为奇函数时，求f(x)的值域．
17.设函数f(x)＝.
（1）求f(x)的定义域，并判断f(x)的奇偶性；
（2）求证：f＝－f(2x)．
18.已知函数
（1）求的最小正周期；
（2）设求的值.
19.设函数，其中.已知.
（Ⅰ）求；
（Ⅱ）将函数的图象上各点的横坐标伸长为原来的2倍（纵坐标不变），再将得到的图象向左平移个单位，得到函数的图象，求在上的最小值.2024-2025学年人教版高一数学寒假开学考模拟训练题详解
一、单选题
1.已知集合，集合，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】先求解出分式不等式的解集，然后根据交集的概念求解出的结果.
【详解】因为，所以，
所以，所以
又因为，所以，
故选：D.
2．下列关于命题“ x∈R，使得x2＋x＋1<0”的否定说法正确的是（ ）
A． x∈R，均有x2＋x＋1<0，假命题
B． x∈R，均有x2＋x＋1≥0，真命题
C． x∈R，使得x2＋x＋1≥0，假命题
D． x∈R，使得x2＋x＋1＝0，真命题
【答案】B
【分析】根据存在量词命题的否定是全称量词命题，先将存在量词改为全称量词，然后否定结论，即可知道该命题的否定,再判断真假即可.
【详解】因为存在量词命题的否定是全称量词命题，先将存在量词改为全称量词，然后否定结论，
故该命题的否定为“ x∈R，均有x2＋x＋1≥0”，
因为x2＋x＋1＝2＋>0恒成立，所以原命题的否定是真命题．
故选:B.
3．若“p：x>a”是“q：x>1或x<－3”的充分不必要条件，则a的取值范围是（ ）
A．a≥1 B．a>1
C．a≥－3 D．a≤－3
【答案】A
【分析】根据必要性和充分性求得集合包含关系，借助数轴即可求得参数范围.
【详解】p是q的充分不必要条件，则p推出q且q无法推出 p．
设A＝{x|x>a}，B＝{x|x>1或x<－3}，则．
所以a≥1.
故选：A．
4．下列各组函数中表示同一个函数的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【解析】分别判断四个答案中与的定义域是否相同，并比较化简后的解析式是否一致，即可得到答案.
【详解】对于选项A：的定义域为，的定义域为，
两个函数的定义域不同，不是同一个函数；
对于选项B：的定义域为，的定义域为，
两个函数的定义域不同，不是同一个函数；
对于选项C：的定义域为，的定义域为，
两个函数的定义域不同，不是同一个函数；
对于选项D：，的定义域均为，对应法则相同，故两个函数是同一个函数；
故选：D.
5．下列运算正确的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【分析】根据对数的运算性质逐一计算各选项即可得出答案.
【详解】解：对于A，，故A错误；
对于B，，故B错误；
对于C，，故C错误；
对于D，，故D正确.
故选：D.
6．函数的图象大致为
A． B．
C． D．
【答案】A
【解析】判断奇偶性可排除两个选项，再确定函数值的变化趋势排除一个，得出正确选项．
【详解】解：函数的定义域为，
因为，
所以为偶函数，所以排除C,D,
又因为当时，，
当时，，所以排除B
故选：A.
7．若函数且满足对任意的实数都有成立，则实数的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】根据解析式及满足的不等式，可知函数是上的增函数，由分段函数单调性的性质，结合指数函数与一次函数单调性的性质，即可得关于的不等式组，解不等式组即可求得的取值范围.
【详解】函数满足对任意的实数都有，
所以函数是上的增函数，
则由指数函数与一次函数单调性可知应满足，
解得，
所以数的取值范围为，
故选：A
8.将函数的图象向右平移个单位与函数的图像重合，则可以是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】由题意可知平移后的解析式为，而，由于两函数图像重合，所以，从而可求出的值
【详解】解析：由题可知，，
而，
所以，
从而，取，知，
故选：.
多选题
9．已知a，b，，则下列说法正确的是（ ）
A．若，则 B．若，则
C．若，则 D．若，则
【答案】BD
【分析】对于AC，分别取、，即可推翻结论；对于BD，可以用作差法进行判断即可.
【详解】对于A，取，但，故A错误；
对于B，若，则，即，故B正确；
对于C，取，但，故C错误；
对于D，若，则，即，故D正确.
故选：BD.
10．关于函数下列结论正确的是（ ）
A．图像关于轴对称 B．图像关于原点对称
C．在上单调递增 D．恒大于0
【答案】ACD
【解析】利用函数的奇偶性,单调性直接求解.
【详解】解: 函数定义域为,
①因为
,
故函数为偶函数,所以A正确;
②由①知,函数为偶函数,所以B不正确;
③当时,,且在单调递减,
当时,,
且在单调递减,
而,故在单调递调减,
又由为偶函数,故在上单调递增,所以C正确;
④由①知, ,当,,,,
故此时.故D正确.
故选:ACD
11．下列命题为真命题的是（ ）
A．函数的图象关于点，k∈Z对称
B．函数是最小正周期为π的周期函数
C．设θ为第二象限角，则，且
D．函数的最小值为－1
【答案】AD
【分析】根据正切函数的性质可知函数的图象得对称中心判断A；
由函数的图象判断B；
由，则，，分为偶数，为奇数两种情况检验C；
由，，，结合二次函数的性质可判断D；
【详解】解：根据正切函数的性质可知函数的图象关于点对称，故A正确；
函数的图象如下所示；
故B错误；
设是第二象限角即，则，
当为偶数，，成立，
当为奇数时，，，故C错误；
函数，，，则当时，函数有最小值，故D正确；
故选：AD
三、填空题
12．教材必修1第87页给出了图象对称与奇偶性的联系：若为奇函数，则的图象关于点中心对称，易知：是奇函数，则图象的对称中心是 .
【答案】
【分析】利用奇函数的性质把变形成，即，再找出对称中心.
【详解】因为，
，
，
所以，
因为为奇函数，则也奇函数，
所以关于点对称，
故答案为：
13.若实数x，y满足x＞y＞0，且log2x＋log2y＝1，则的最小值为 ．
【答案】4
【详解】由log2x＋log2y＝1，得xy＝2，＝＝＝x－y＋≥4，则的最小值为4.
14.若方程在有解，则的取值范围是 .
【答案】
【分析】根据题意，将原式化为，由正弦函数的值域列出不等式，代入计算，即可得到结果.
【详解】由转化为，即，
因为，则，则，
所以，则，解得，
即的取值范围是.
故答案为：
四、解答题
15．已知集合，，
（1）求，；
（2）若，求实数的取值范围．
【答案】（1），；（2）.
【分析】（1）直接根据交集、并集、补集的概念即可得结果；
（2）分为，和三种情形，求出，结合集合的包含关系可得结果.
【详解】（1）∵，；
∴，或，.
（2）当时，，满足题意；
当时，，
由，得；
当时，，不合题意，
综上可得：实数的取值范围.
16.已知函数f(x)＝a－.
（1）求证：不论a为何实数，f(x)总为增函数；
（2）确定a的值，使f(x)为奇函数；
（3）当f(x)为奇函数时，求f(x)的值域．
【答案】（1）证明见解析；（2）a＝；（3）.
【分析】（1）利用单调性定义，即可容易证明；
（2）利用函数奇偶性的定义，即可求得参数值；
（3）根据（2）中所求，结合指数函数的单调性，即可求得函数值域.
【详解】（1）证明：∵f(x)的定义域为，设任意x1则f(x1)－f(x2)＝a－－a＋＝.
∵x1∴f(x1)－f(x2)<0，即f(x1)∴不论a为何实数，f(x)总为增函数．
（2）∵f(x)为奇函数，∴f(－x)＝－f(x)，
即a－＝－a＋，
解得a＝，∴f(x)＝－.
（3）由（2）知f(x)＝－，∵2x＋1>1，
∴0<<1，∴－1<－<0，∴－∴f(x)的值域为.
17.设函数f(x)＝.
（1）求f(x)的定义域，并判断f(x)的奇偶性；
（2）求证：f＝－f(2x)．
【答案】（1）{x|x≠±2}，f(x)为偶函数；（2）证明见解析.
【分析】（1）根据分母不为零，即可求得函数定义域；利用函数奇偶性定义，结合函数定义域，即可判断函数奇偶性；
（2）根据函数解析式，即可容易证明.
【详解】（1）要使原函数有意义，只需4－x2≠0，即x≠±2，
所以f(x)的定义域为{x|x≠±2}．
因为f(x)的定义域为{x|x≠±2}，所以定义域关于原点对称．
又f(－x)＝＝＝f(x)，所以f(x)为偶函数．
（2）证明：因为f＝＝，
f(2x)＝＝，
所以f＝－f(2x)．即证.
18.已知函数
（1）求的最小正周期；
（2）设求的值.
【答案】（1）；（2）.
【分析】（1）将化为即可得出答案；
（2）由条件求出、，然后利用可算出答案.
【详解】（1）因为
，
所以的最小正周期
（2）因为，即，由于，则，所以，即
又因为，即，由于，
所以，因为，则，所以
所以
=.
19.设函数，其中.已知.
（Ⅰ）求；
（Ⅱ）将函数的图象上各点的横坐标伸长为原来的2倍（纵坐标不变），再将得到的图象向左平移个单位，得到函数的图象，求在上的最小值.
【答案】(Ⅰ) .
(Ⅱ) .
【详解】试题分析：（Ⅰ）利用两角和与差的三角函数化简得到
由题设知及可得.
（Ⅱ）由（Ⅰ）得
从而.
根据得到，进一步求最小值.
试题解析：（Ⅰ）因为，
所以
由题设知，
所以，.
故，，又，
所以.
（Ⅱ）由（Ⅰ）得
所以.
因为，
所以，
当，
即时，取得最小值.
