2024-2025学年广东省湛江市高二上学期期末调研考试数学试卷（含答案）

2024-2025学年广东省湛江市高二上学期期末调研考试
数学试卷
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.已知抛物线的焦点为，点为抛物线上一点，若，则( )
A. B. C. D.
2.圆的圆心到直线的距离为( )
A. B. C. D.
3.已知直线与直线平行，则( )
A. B. 或 C. D. 或
4.若，，则( )
A. B. C. D.
5.已知圆，直线上存在点，过点作圆的两条切线，切点为，，使得，则的取值范围( )
A. B. C. D.
6.在平行六面体中，点，分别在棱，上，且，若，则( )
A. B. C. D.
7.类比椭圆的方程我们可以得到一个新的曲线方程，曲线上的点到原点的距离平方最大值为( )
A. B. C. D.
8.在棱长为的正方体中，若，则平面与平面夹角的余弦值( )
A. B. C. D.
二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.在直四棱柱中，，，，分别为，的中点，则( )
A. B.
C. D.
10.已知直线与圆，则( )
A. 直线的方程可转化为，即直线过定点．
B. 若直线与圆有公共点，则实数的取值范围为
C. 若圆上恰有个点到直线的距离为，则
D. 若直线与圆相交于，两点，则的取值范围为
11.已知椭圆的离心率为，双曲线的顶点与椭圆的焦点重合，一条渐近线与椭圆的一个交点为，则( )
A. 椭圆的方程为
B. 双曲线的离心率为
C. 过椭圆右顶点且垂直于轴的直线被双曲线截得的弦长为
D. 椭圆上到直线为原点距离最大的点有个。
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.，，函数的最小值为
13.已知是空间的一组基底，其中，，若，，，四点共面，则
14.由双曲线的光学性质可得，过双曲线上任意一点的切线，平分该点与两焦点连线的夹角已知、分别为双曲线的左、右焦点，过右支上一点作双曲线的切线交轴于点，交轴于点，过点作，垂足为，为原点，求
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.本小题分
设，直线，直线
若直线与的距离为，求的值。
若直线与两坐标轴的正半轴所围成的三角形的面积为，求的值。
16.本小题分
已知圆的方程．
求的取值范围。
若圆与直线相交于，两点，且，求的值。
17.本小题分
在平面直角坐标系中，椭圆的左、右焦点分别为，，为椭圆的右顶点，为椭圆的上顶点，为椭圆上与椭圆顶点不重合的动点，直线与轴交于点，直线与轴交于点。
求的值。
求面积最大值。
18.本小题分
如图，在棱长为的正方体中，是棱的中点，是棱上的动点含端点。
若是棱的中点，求过，，的平面截正方体表面所得的截面图形的周长。
若与平面所成的角为，求的取值范围。
19.本小题分
已知抛物线的方程，现将抛物线绕其顶点分别逆时针旋转、、后得另外三条曲线，四条曲线相交围成如图阴影区域的封闭图形，、分别为曲线在第一象限和第四象限的交点。
求的长度。
求直线被第一象限封闭图形截的弦长最大值。
求证：阴影区域的面积不大于。
参考答案
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15.解：因为直线与平行且距离为，所以，，
所以，
所以或．
直线，
令，则，
令，则，
因为直线与两坐标轴正半轴相交，所以，
由直线与两坐标轴的正半轴所围成的三角形的面积为，
解得或，
因为，所以．
16.解：方程，可化为，
此方程表示圆，
，即．
圆的方程化为 ，圆心 ，半径 ，
则圆心到直线：的距离为 ，
由于，则，有，
，得．
17.解：设点，有，
又由，，
直线的方程为，
令，可得点的纵坐标为，
直线的方程为，
令，可得点的横坐标为，
有
．
由，得直线的斜率为，方程为，
当过点的切线与平行时，以为底，距离最大时，即面积最大，
设与平行直线方程为，
联立椭圆方程消去得，
，解得，
经检验当时两直线相距最远，距离最大，
直线与直线相距最大，
则面积最大．
18.解：如图，四边形为过，，的平面截正方体所得的截面图形，
因为平面平面，且平面平面，平面平面，
根据面面平行的判断定理知，，
又因为，为中点，所以为四等分点，
则四边形的周长为：．
以为坐标原点，建立如下图所示空间直角坐标系，
则，，，，，
则，，，
设平面的法向量，
则，
令，则，故，
则，
，
当时，，
当时，
，
当且仅当时等号成立，
又，
综上可知，

19.解：由，可解得，或，即，代入可得，
由图象的对称性，可得、，故；
设直线与抛物线相切，
联立可得，
由可得，且方程，
即为，解得，，此时，切点坐标为，
设直线与抛物线相切，
联立可得，
由可得，
此时方程即为，
解得，，此时，切点坐标为，
两切点连线的斜率为，即切点的连线与直线垂直，
故当、时，取最大值，
且其最大值为；
根据对称性，每个象限的花瓣形状大小相同，
故可以先求部分面积的近似值，如图，抛物线，
在点处的切线方程为，
该切线交轴于点，所以，半个花瓣的面积必小于，
故原图中的阴影部分面积必小于．

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