2024-2025学年湖南省多校联考高二（上）期末数学试卷（含答案）

2024-2025学年湖南省多校联考高二（上）期末数学试卷
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.若，则( )
A. B. C. D.
2.已知集合，，则( )
A. B. C. D.
3.已知向量，，且，则实数( )
A. B. C. D.
4.已知，直线：，：，若，则( )
A. B. C. D.
5.设为等差数列的前项和，若，则( )
A. B. C. D.
6.已知圆与，动圆与圆内切，且与圆外切，则动圆圆心的轨迹方程为( )
A. B. C. D.
7.如图，在长方体中，，，为棱的中点，是线段上的动点，则下列式子的值为定值的是( )
A. B. C. D.
8.已知过点可以作曲线的两条切线，则实数的取值范围是( )
A. B.
C. D.
二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.某快递公司年的快递业务量及其增长率如图所示，则( )
A. 该公司年快递业务量逐年上升
B. 该公司年快递业务量的极差为亿件
C. 该公司年快递业务量的增长率的中位数为
D. 该公司年快递业务量的增长率的平均数为
10.记等比数列的公比为，前项积为，已知，，，则( )
A. B. C. 的最大值为 D.
11.已知函数及其导函数的定义域均是，是的唯一零点，且，则( )
A. B.
C. D.
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.若，则 ______．
13.记数列的前项和为，且满足，则 ______．
14.已知，分别为双曲线的左、右焦点，为坐标原点，以点为圆心且与的渐近线相切的圆与在第一象限交于点，为的中点，若，则的渐近线的斜率为______．
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.本小题分
已知函数的最小正周期为，且的图象关于点对称．
求的解析式；
若，且，求的值．
16.本小题分
记数列的前项和为，已知．
证明：是等差数列；
若，证明：．
17.本小题分
如图，在四棱锥中，是边长为的等边三角形，，，．
求证：平面；
若，且，求平面与平面夹角的余弦值．
18.本小题分
已知椭圆的左、右焦点分别为，，抛物线：的焦点与重合，点是与在第一象限的交点，且．
求的方程．
设过点的直线与交于点，，交于点，，且，，，互不重合．
(ⅰ)若的倾斜角为，求的值；
(ⅱ)若为的准线上一点，设，，的斜率分别为，，，证明：为和的等差中项．
19.本小题分
已知函数，．
若，求曲线在点处的切线方程；
若对任意，不等式恒成立，求的值；
若实数，满足，证明：．
参考答案
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15.解：因为的最小正周期，所以，
因为的图象关于点对称，所以，即，
所以，，又，所以，
所以；
若，且，
即，
即，即，
因为，
又，所以，从而，
所以．
16.证明：数列的前项和为，，
可得，
两式相减可得，
即，
即，
可得是以为公差的等差数列．
由等差数列的通项公式可得，
由等差数列的求和公式可得，
则．
可得
．
17.证明：是边长为的等边三角形，且，
，．
又，．
此时，．
又，，、平面，
平面；
解：取的中点，连接并延长交于，则，
又，，平面，平面，
平面，平面，，
再由可知平面，平面，故AD，
又，，平面，
平面，可得，，两两互相垂直，
故以为原点，，，所在的直线分别为，，轴，建立如图所示的空间直角坐标系，

则，，，
，，
，，，
设平面的一个法向量为，
则，即，令，可得；
设平面的一个法向量为，
则，即，令，可得．
，
平面与平面夹角的余弦值为．
18.解：因为抛物线：的焦点与重合，
易知抛物线的焦点为，
即，
所以，
因为点是与在第一象限的交点，且，
所以，
解得，
因为点在椭圆上，
所以，
联立，
解得，，
则的方程为；
设，，，，
(ⅰ)因为直线的倾斜角为，
所以直线的方程为．
联立，消去并整理得，
由韦达定理得，
所以，
联立，消去并整理得，
由韦达定理得，，
所以，
则；
(ⅱ)证明：易知，，
若为的准线上一点，
设，直线的方程为，
联立，消去并整理得，
显然，
由韦达定理得，，
因为，，的斜率分别为，，，
所以，，，
，
因为，
即．
所以为和的等差中项．

19.解：若，则，定义域为，
，
则，又，
所以曲线在点处的切线方程为．
解：，令，得，
当时，，单调递减；
当时，，单调递增，
所以，
要使恒成立，需满足．
设，
则，令，得，
当时，，单调递增；
当时，，单调递减，
所以，
故，当且仅当时等号成立，
若满足，必有，
故．
证明：要证明，
即证明，
令，由，得，不等式化为．
由知，当时，，当且仅当时取等号，
所以，整理得，从而成立；
同理，要证明，即证明，
即，
令，因为，所以，
所以在上单调递减，所以，
即，整理得，从而成立．
综上，．
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