2024-2025学年湖南省张家界市高一上学期期末联考数学试卷（含答案）

2024-2025学年湖南省张家界市高一上学期期末联考数学试卷
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.已知集合，，则 ( )
A. B. C. D.
2.“且”是“”的 ( )
A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件
C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件
3.命题“，”的否定是 ( )
A. ， B. ，
C. ， D. ，
4.使式子有意义的的取值范围是 ( )
A. B.
C. D. 且
5.下面四组函数中，表示相同函数的一组是( )
A. ， B. ，
C. ， D. ，
6.已知，，则 ( )
A. B. C. D.
7.已知，，，则 ( )
A. B. C. D.
8.若当时，函数与的图象有且仅有个交点，则的取值范围是 ( )
A. B. C. D.
二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.下列说法中正确的是( )
A. 第一象限角都是锐角
B.
C. 一个扇形半径扩大一倍，圆心角减小一半，则面积不变
D. 终边在直线上的角的集合是
10.已知函数的部分图象如图所示，下列说法正确的是 ( )
A. 函数的图象关于对称
B. 函数的图象关于直线对称
C. 函数在上单调递增
D. 该图象向右平移个单位长度可得的图象
11.已知函数的定义域为，且，，则 ( )
A.
B. 为偶函数
C. 为函数的一个周期
D.
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.已知幂函数的图象过点，则 ．
13.已知函数，且在区间上单调递增，则的取值范围是 ．
14.若对任意，不等式恒成立，则实数的值是 ．
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.本小题分
已知全集，集合或，．
求，；
若集合，且，求实数的取值范围．
16.本小题分
已知函数．
当时，解关于的不等式；
若关于的方程在上有两个不相等实根，求实数的取值范围．
17.本小题分
为了贯彻落实“绿水青山就是金山银山”的发展理念，某县抓住机遇，利用得天独厚的绿色资源天然氧吧，大力开发旅游康养游玩项目，助力脱贫．当地某旅游公司计划在年全年投入固定成本万元，若该项目在年有游客万人，则需另投入成本万元，且该游玩项目的每张门票售价为元．为吸引游客，该公司实行门票五折优惠活动．当地政府为鼓励企业更好发展，每年给该游玩项目财政补贴万元．
求年该项目的利润万元关于游客人数万人的函数关系式利润收入成本；
当年的游客人数为多少时，该项目所获利润最大？最大利润是多少？
18.本小题分
公元前世纪，古希腊的毕达哥拉斯学派通过研究正五边形和正十边形的作图，发现了黄金分割值约为，这一数值也可以表示为三倍角公式是把形如，等三角函数用单倍角三角函数表示的恒等式，广泛应用于数学、物理、天文等学科．
记，试写出此三倍角公式的具体内容，并证明；
若角满足，求的值；
试用三倍角公式并结合三角函数相关知识，求出黄金分割值．
19.本小题分
已知函数，，满足且为增函数．
求函数，的解析式；
存在使得不等式成立，求实数的取值范围；
若，且关于的方程有四个不同的实数解，求实数的取值范围．
参考答案
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15.解：由，，
由
所以，
所以；
因为，所以，
当，解得，
当，解得，
所以的取值范围为：或．

16.解：当时，，解不等式得：或
原不等式解集为或．
在上有两个不相等实根，
则，解得或 ，
所以实数的取值范围为或．
17.解：该项目的门票收入为万元，财政补贴收入为万元，共万元收入，
当时，，
当时，，
当时，，
综上所述，
当时，单调递增，
当时，对应二次函数的图象开口向下，对称轴为，
则；
当时，，
当且仅当即时，等号成立，
．
综上，当年的游客人数为万时，利润最大，最大利润为万元．
18.解：
．
由及已知得：，
解得，
同理易得：，
，
由得：，
．
，
即
，
两边除去得：，
即，
化简得：，
解得：负舍，
由题意知黄金分割值为．
19.解：因为为增函数，所以，
由，
整理得，
解得或舍去，
所以，；
由是增函数，
所以当时，
存在
不等式成立，
所以
成立，
即成立，
令
所以存在
不等式成立，
即成立，
设，
则，
，
当且仅当时，等号成立，
所以，
所以实数的取值范围是；
，
则为偶函数，令，
当时，关于的方程只有一个实数解，
当时，关于的方程有两个不同的实数解，
当时，
关于的方程没有实数解，
所以要使关于的方程有四个不同的实数解，
需关于的方程有两个不同的正实数根，
则
解得或，
所以的取值范围是．

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