2024-2025学年湖南省长沙市长郡中学高二（上）期末数学试卷（含答案）

2024-2025学年湖南省长沙市长郡中学高二（上）期末
数学试卷
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.已知空间向量，，若与垂直，则等于( )
A. B. C. D.
2.若椭圆焦点在轴上且椭圆经过点，，则该椭圆的标准方程为( )
A. B. C. D.
3.已知可导函数的部分图象如图所示，，为函数的导函数，下列结论不一定成立的是( )
A.
B.
C.
D.
4.“太极图”因其形状如对称的阴阳两鱼互抱在一起，故也被称为“阴阳鱼太极图”如图是放在平面直角坐标系中的“太极图”，图中曲线为圆或半圆，已知点是阴影部分包括边界的动点，则的最小值为( )
A.
B.
C.
D.
5.甲、乙、丙、丁名同学去，，三个工厂做志愿者，每人只去一个工厂，每个工厂都要有人去若甲不去工厂，乙不去工厂，则不同的分配方式共有( )
A. 种 B. 种 C. 种 D. 种
6.已知数列为等差数列，为等比数列，，则( )
A. B. C. D.
7.如图，双曲线的左、右焦点分别为，，是上位于第一象限内的一点，且直线与轴的正半轴交于点，的内切圆在边上的切点为，若，则双曲线的离心
率为( )
A.
B.
C.
D.
8.已知函数，若存在，，使得成立，则实数的取值范围是( )
A. B. C. D.
二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.已知数列的首项为，前项和为，且，则( )
A. 数列是等比数列 B. 是等比数列
C. D. 数列的前项和为
10.已知圆，圆，圆，圆，直线：，则( )
A. 与圆，都外切的圆的圆心轨迹是双曲线的一支
B. 与圆外切、内切的圆的圆心轨迹是椭圆
C. 过点且与直线相切的圆的圆心轨迹是抛物线
D. 与圆，都外切的圆的圆心轨迹是一条直线
11.设曲线：，则( )
A. 曲线关于直线对称 B. 曲线的周长为
C. 曲线围成的图形的面积大于 D. 曲线上的两点之间距离不大于
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.在的二项展开式中，项的系数为______．
13.已知曲线与直线相切，则 ______．
14.已知为坐标原点，过作轴的垂线交直线于点，满足，过作轴的平行线交：于点在的右侧，若，则 ______．
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.本小题分
已知函数在处取得极值．
求实数的值；
求函数在区间上的最大值．
16.本小题分
如图，在四棱锥中，平面，，，，为棱的中点．
证明：平面；
若，求直线与平面所成角的正弦值．
17.本小题分
已知抛物线：的焦点为，点在抛物线上，且．
求抛物线的方程，并求的值；
过焦点的直线与抛物线交于，两点，若点满足，求直线的方程．
18.本小题分
设函数，．
求在点处的切线方程；
判断在区间上的零点个数，并说明理由；
若实数满足，，求实数的取值范围．
19.本小题分
卷积运算在图像处理、人工智能、通信系统等领域有广泛的应用一般地，对无穷数列，，定义无穷数列，记作，称为与的卷积卷积运算有如图所示的直观含义，即中的项依次为所列数阵从左上角开始各条对角线上元素的和，易知有交换律
若，，，求，，，；
对，定义如下：当时，；当时，为满足通项
的数列，即将的每一项向后平移项，前项都取为试找到数列，使得；
若，，证明：当时，．
参考答案
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15.解：由题意可得，因为在处取得极值，
所以，即，解得，
经检验，当时，在处取得极值，故．
由得，则，
由，得或；由，得．
故的单调递增区间为，，单调递减区间为．
所以在区间上的单调递增区间为，单调递减区间为
又，，所以函数在区间上的最大值为．
16.证明：因为，，且为棱的中点，
所以，，
所以四边形是平行四边形，
所以，
又平面，平面，
所以平面．
解：因为平面，且平面，
所以，
又，，所以，
以为原点建立如图所示的空间直角坐标系，
则，，，，
所以，，，
设平面的法向量为，则，
令，则，，所以，
设直线与平面所成角为，则，，
故直线与平面所成角的正弦值为．
17.解：抛物线：的准线方程为，
因为点在抛物线上，且，
所以，
解得，
所以抛物线的方程为，
又因为点在抛物线上，
所以，
即．
由可知抛物线的焦点，
显然直线的斜率不为，
设直线的方程为，，，
由，
消去整理得，
所以，
则，，
所以，，
又，
所以，，
因为，
所以，
即，
即，
解得，
所以直线的方程为，
即．
18.解：，
则，，又，
在点处的切线方程为．
有个零点，理由如下：
，
时，，单调递增，
时，，单调递减，
时，，单调递增，
，，
，
由零点存在定理，时，有一个零点，
又，在区间上有个零点．
设，
则，，
令，，，
当时，则存在使，，即在区间上单调递减，
，即在区间上单调递减，
，不合题意；
当时，令，，
又，则，
在区间上单调递增，
在区间上单调递增，，
在区间上单调递增，，满足题意．
实数的取值范围为．
19.解：因为，，所以，；，；
，；，，
因为，，
，，，．
对一般的
证明：记的前项和为，由卷积运算的交换律为，
故，
因此，
得，
故当时，．
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