2024-2025学年四川省南充市高一（上）期末数学试卷（含答案）

2024-2025学年四川省南充市高一（上）期末数学试卷
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.命题“，”的否定是( )
A. ， B. ，
C. ， D. ，
2.设全集为，集合，，则( )
A. B. C. D.
3.“”是“”的( )
A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件
C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件
4.已知扇形的圆心角为，面积为，则该扇形的弧长为( )
A. B. C. D.
5.设，，，则，，的大小关系为( )
A. B. C. D.
6.已知，则( )
A. B. C. D.
7.已知实数，满足，则下列结论正确的是( )
A. B. C. D.
8.设关于的方程有两个不相等的实数根，，且，则下列结论正确的是( )
A. B. C. D.
二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.下列说法正确的有( )
A. 函数的定义域为
B. 函数的最小值为
C. 函数且的图象恒过定点
D. 函数在区间上单调递减
10.已知角与角的顶点为原点，始边与轴的非负半轴重合，为钝角，，角的终边与角终边关于轴对称，则下列结论中正确的有( )
A. 角的终边与以原点为圆心的单位圆相交于点
B.
C.
D.
11.已知函数，函数，则下列结论正确的有( )
A. 是偶函数
B. 在区间上单调递增
C. 的最小值为
D. 若函数有三个不同零点，，，则
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.计算： ______．
13.通过实验数据可知，盛于某容器中的某液体的蒸发速度单位；升小时与液体所处的环境温度单位：近似满足函数关系为自然对数的底数，，为常数若该液体在环境温度为时的蒸发速度是升小时，在环境温度为时的蒸发速度是升小时，则该液体在环境温度为______时的蒸发速度为升小时．
14.已知函数是偶函数，则满足不等式的实数的取值范围为______．
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.本小题分
已知集合，集合．
求；
若集合，若，求实数的取值范围．
16.本小题分
已知，，，都是正实数，证明：；
已知，是正实数，，若恒成立，求实数的取值范围．
17.本小题分
已知函数，不等式的解集为．
若时，的最大值为，求的解析式；
若函数，解关于的不等式．
18.本小题分
已知函数且，若函数与函数互为反函数，且函数的图象经过点．
求函数与的解析式；
若，求的取值范围；
若，，，使成立，求实数的取值范围．
19.本小题分
很多函数的图象是弯曲的，有些向上弯曲，有些向下弯曲如图的函数称为下凸函数，图的函数称为上凸函数设点与点是函数的图象上不同两点，取线段的中点，过点作轴的平行线与的图象交于点，在图中，弦的中点始终在点的上方，于是我们可以得到下凸函数的定义：设的定义域为，，，时，，则叫做下凸函数显然下凸函数有如下性质：设，是下凸函数图象上任意两点，则直线段不含端点始终在曲线段不含端点的上方．
类比下凸函数的定义和性质，结合图，写出上凸函数的定义及相应性质；
设，
判断并用定义证明与是上凸函数还是下凸函数；
证明：，不等式成立．
参考答案
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13.
14.或
15.解：，或，
，；
，，且，
，解得，
的取值范围为：．
16.证明：，当且仅当时，等好成立；
解：，是正实数，，
则，当且仅当时，等号成立，
故，解得或，
故实数的取值范围为或．
17.解：因为，不等式的解集为．
由题意得，且，
在上是先减后增，对称轴为，
，，
；
和是方程的两根，
，，
即，，，
，
，
即，
所以，
当时，解得，
当时，解得或，
当时，解得或，
综上，时，解集为，
当时，解集为或，
当时，解集为或．
18.解：函数与函数且互为反函数，
，
又函数的图象经过点，
，即，
，．
由不等式，得：，
，
，
，
，
故解集为．
，，使成立，
时，的最大值大于时，的最大值，
又时，的值域为时，的值域为，
当时，，，，
，
则，解得：，
当时，，，，
，
则，此时无解，
当时，，，，
，
则，解得：．
综上，的取值范围为．
19.解：上凸函数的定义：设的定义域为，时，恒有，则叫做上凸函数．
性质：设，是上凸函数图象上的任意两点，则直线段不含端点始终在曲线段不含端点的下方．
是下凸函数，是上凸函数，证明如下：
的定义域为，设时，
，
由知：，
，即，
是下凸函数．
的定义域为，设，，时，
，
由知：，
，即，
是上凸函数．
证明：设，
，
，
，使，
与的图象存在一个交点，
又，
，
，使，
与的图象存在另一个交点，
设过，两点的一次函数的解析式为，
是下凸函数，是上凸函数，
由下凸函数及上凸函数的性质知：时，，
，
时，都有成立．

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