江苏省射阳县第二中学2015-2016学年高二下学期第一次学情调研（期中考试）数学（理）试题

射阳县第二中学2015－2016学年度第二学期期中测试
高二数学（理科）试题
一、填空题：（本大题共14小题，每小题5分，共70分。请将答案写在答题纸对应的位置上）
1、已知z=1-2i，则的虚部是 ▲ .
2、一质点按规律s=2t3运动, 则在t=2时的瞬时速度为 ▲
3、函数，若，则 ▲ .
已知复数的实部与虚部互为相反数，则= ▲
5、函数的单调増区间为 ▲
6、曲线在点处的切线斜率为 ▲ ．
7、已知函数，当时，有极大值, 则a+b的值为 ▲
8、已知某生产厂家的年利润y(单位：万元)与年产量x(单位：万件)的函数关系式为
y＝－x3＋81x－234，则使该生产厂家获得最大年利润的年产量为____▲____万件．
9、函数的最小值是 ▲
10、用数学归纳法证明等式“1+2+3+---+（n+3）=”，当n=1时，等式应为_____________▲_________________.
11、有一段演绎推理是这样的：“直线平行于平面,则平行于平面内所有直线；已知直线
平面，直线平面，直线∥平面，则直线∥直线”的结论显然是错误的，这是因为 ▲ 。
12、若曲线f(x)＝ax2＋lnx存在垂直于y轴的切线，则实数a的取值范围是 ▲ .
13. 设平面内有n条直线(n≥3)，其中有且仅有两条直线互相平行，任意三条直线不过同一点，若用f(n)表示这n条直线交点的个数，当n＞4时，f(n)＝ ▲ (用n表示)．
14、已知函数是定义在R上的奇函数，，，，则不等式的解集是 ▲
二．解答题：（本大题共6小题，共计90分，请在答题纸上相应的区域内作答，并写出必要的文字说明和解题步骤）
15、（满分14分）实数m取什么数值时，复数分别是：
（1）实数？ （2）虚数？ （3）纯虚数？
16、（满分14分）已知函数f(x)＝x2＋aln x.
(1)当a＝－2时，求函数f(x)的单调区间和极值；
(2)若g(x)＝f(x)＋在[1，＋∞)上是单调增函数，求实数a的取值范围
17、（满分15分）
已知数列的前项和为，通项公式为，，
（1）计算的值；
（2）比较与1的大小，并用数学归纳法证明你的结论.
18．(满分15分)
若函数在时取得极值，且当时， 恒成立.
（1）求实数的值；
（2）求实数的取值范围.
19、（满分16分）如图，在半径为的圆形（为圆心）铝皮上截取一块矩形材料，其中点在圆弧上，点、在两半径上，现将此矩形铝皮卷成一个以为母线的圆柱形罐子的侧面（不计剪裁和拼接损耗），设矩形的边长，圆柱的体积为.
（1）写出体积关于的函数关系式，并指出定义域；
（2）当为何值时，才能使做出的圆柱形罐子体积最大？最大体积是多少？
20、（满分16分）已知函数f(x)＝.
(1)求函数f(x)的单调区间；
(2)设a>0，求函数f(x)在[2a,4a]上的最小值；
(3)某同学发现：总存在正实数a、b(a ( http: / / www.21cnjy.com )射阳县第二中学2015－2016学年度第二学期期中测试
高二数学（理科）试题答题卷
一、填空题：（14题，每题5分，共70分）1、____________ 2、____________ 3、____________ 4、____________ 5、____________ 6、____________ 7、____________ 8、____________ 9、____________ 10、____________ 11、____________ 12、____________ 13、____________ 14、____________二、解答题: 15、（本题满分14分）
16、（本题满分14分）17、（本题满分15分）18、（本题满分15分）19、（本题满分16分）20、（本题满分16分）
高二数学（理科）试题（参考答案）
一、填空题：（14题，每题5分，共70分）
1、 -2 2、 24 3、 3 4、 1 5、 6、1
7、 3 8、 9 9、 0 10、1+2+3+4= 11、大前提错误 12、 13、f(n)= 14、
15、（满分14分）
16、（满分15分）解：(1)由题意f(x)的定义域为(0，＋∞)，当a＝－2时，f′(x)＝，
令f′(x)＝0得x＝1或x＝－1(舍去)，当01时，f′(x)>0；
所以f(x)的递减区间为(0,1)，递增区间为(1，＋∞)，极小值为f(1)＝1，无极大值．
-----------------------7分
(2)由g(x)＝x2＋aln x＋得g′(x)＝2x＋－，
若函数g(x)为[1，＋∞)上的单调递增函数，则g′(x)≥0在[1，＋∞)上恒成立．
即a≥－2x2在[1，＋∞)上恒成立，令h(x)＝－2x2，则h′(x)＝－－4x<0
所以h(x)在[1，＋∞)上为减函数，因此h(x)有最大值h(1)＝0，所以a的取值范围是
[0，＋∞)． ---------------------15分
17、（1）由已知，
，
； ……3分
（2）由（Ⅰ）知；下面用数学归纳法证明：
当时，．
（１）由（Ⅰ）当时，； ……5分
（２）假设时，，即
，那么
，所以当时，也成立.……13分
由（1）和（2）知，当时，．
所以当，和时，；当时，． ……15分
18、解：（1）由题意，是方程的一个根，设另一个根是，则
，所有
（2）所以，，
令，解得
+ 0 - 0 +
极大值 极小值
又，所以，当时，。所以，
所以，的取值范围是.
19、解：（1）连结OB，∵，∴，
设圆柱底面半径为，则， 即，
所以 其中。
（2）由，得
因此在（0，）上是增函数，在（，30）上是减函数。
所以当时，V有最大值。
20、解：(1)定义域为(0，＋∞)，f′(x)＝，令f′(x)＝＝0，则x＝e，当x变
化时，f′(x)，f(x)的变化情况如下表：
x (0，e) e (e，＋∞)
f′(x) ＋ 0 －
f(x) ? ?
∴f(x)的单调增区间为(0，e)；单调减区间为(e，＋∞)．----------4分
(2)由(1)知f(x)在(0，e)上单调递增，在(e，＋∞)上单调递减，所以，
当4a≤e，即a≤时，f(x)在[2a,4a]上单调递增，∴f(x)min＝f(2a)；
当2a≥e，即a≥时，f(x)在[2a,4a]上单调递减，∴f(x)min＝f(4a)
当2a∴f(x)min＝min{f(2a)，f(4a)}．下面比较f(2a)，f(4a)的大小，∵f(2a)－f(4a)＝，
∴若则f(2a)－f(4a)>0，此时f(x)min＝f(4a)＝，
综上得：当01时，f(x)min＝f(4a)＝.
------------------------10分
(3)正确，a的取值范围是1注:理由如下,考虑几何意义,即斜率,当x→＋∞时， f(x)→0.
( http: / / www.21cnjy.com )
又∵f(x)在(0，e)上单调递增，在(e，＋∞)上单调递减
∴f(x)的大致图象如上图所示，∴总存在正实数a、b且1使得f(a)＝f(b)，即＝，即ab＝ba.-----------------------------------16分
(第19题图)
(第19题图)