7.1.1 不等式 课件（共29张PPT）2024-2025学年数学华师大版七年级下册

(共29张PPT)
7.1 认识不等式
7.1.1 不等式
1. 在很多实际问题中，都存在着一些等量关系，因此我们往往可以借助列方程组的方法来处理这些问题。
2. 这种处理问题的过程可以进一步概括为：
3. 要注意的是，处理实际问题的方法往往是多种多样的，应根据具体问题灵活选用。
某班27名学生去参观艺术展，票价每张50元；一次购票满30张，每张票可优惠10元.
方案一：购买27张票；
方案二：购买30张票.
怎么买票划算？
这里涉及数学上的不等式！
现实生活中，数量之间存在着相等与不相等的关系.对于不相等的关系问题，我们如何用式子来表示它们呢？
例如，小明的身高为 155cm，小聪的身高为156cm，我们可以用不等号“>” 或“<”来表示他们的身高之间的关系.
即：156 > 155 或 155 < 156.
本章将类比一元一次方程，研究一元一次不等式的解法，并应用这些知识解决一些实际问题，感受不等式在研究不等关系问题中的重要作用.
问题 艺术展的票价是每张 50 元，一次购票满 30 张，每张票可优惠 10 元.某班有 27 名学生去参观艺术展.当领队小华准备到售票处买 27 张票时，爱动脑筋的小敏喊住了小华，提议买 30 张票.但有的同学不明白，明明我们只有 27 个人，买 30 张票，岂不是“浪费”吗？
那么，究竟小敏的提议对不对？是不是真的“浪费”呢 ？
我们不妨一起来算一算：
买 27 张票，要付款
50×27＝1350（元）.
买 30 张票，按优惠价每张40元，要付款
40×30＝1200（元）.
显然 1200 < 1350.
解决这个问题的关键是比较两种方式所付款的多少.
这就是说，买 30 张票比买 27 张票付款要少，表面上看是“浪费”了 3 张票，实际上反而节省了.
当然，如果去参观艺术展的人数较少（例如 10 人），显然不值得去买 30 张票，还是按实际人数买票为好.现在的问题是：少于 30 人时，有多少人去参观艺术展，买 30 张票反而划算呢？
我们一起来分析上面提出的问题：
设有 x 人要去参观艺术展.
如果 x < 30，那么按实际人数买票 x 张，要付款 50 x 元；
买 30 张票，要付款40×30 =1200 元.
如果买 30 张票划算，那么应有
1200 < 50 x，
即50 x＞1200.
现在的问题就是：x 取哪些数值时，上式成立？
前面已经算过，当 x =27时，上式成立.让我们再取一些值试一试，将结果填入下表：
aa，它们是一样的.
x 50 x 比较50x与1200的大小 50x＞1200是否成立
21
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26
27
28
29
1050
1100
1150
1200
1250
1300
50x＜1200
不成立
1350
不成立
不成立
不成立
50x＜1200
50x＜1200
50x＝1200
成立
成立
成立
50x＞1200
50x＞1200
50x＞1200
成立
成立
50x＞1200
50x＞1200
1400
1450
由上表可见，当 x＝ 时，50 x ＞1200 成立.
也就是说，少于30人时，至少要有 人参观艺术展，买 30 张票反而划算.
25，26，27，28，29
25
观察这几个表示大小关系的式子：
1200 < 1350、x < 30、50 x < 1200、50 x > 1200，
它们有什么共同的特点？
左右不相等
像上面出现的 1200 < 1350、x < 30、
50 x < 1200、50 x > 1200 那样，用不等号“<”“>”或“≤”“≥”表示不等关系的式子，叫做不等式.
像 a + 2 ≠ a - 2 这样用符号“≠”表示不等关系的式子也是不等式.
“≤”读作“小于或等于”，即“不大于”；“≥”读作“大于或等于”，即“不小于”.
1.判断下列式子是不是不等式：
(1) -3 ＞ 0； (2) 4x ＋ 3y ＜ 0；
(3) x = 3； (4) x2 ＋ xy ＋ y2；
(5) x ＋ 2 ＞ y ＋ 5.
(1) (2) (5)是不等式；(3) (4)不是不等式.
2.如图所示，处于平衡状态的托盘天平的右盘放上一质量为 50 g 的砝码，左盘放上一个圆球后向左倾斜，问圆球的质量 x g 与质量为 50 g 的砝码之间
具有怎样的大小关系？
圆球的质量大于砝码的质量，即 x＞50.
3.一辆轿车在一条规定车速应高于 60 km/h 且低于100 km/h 的高速公路上行驶，如何用式子来表示该轿车行驶的路程 s (km)与行驶时间 x (h) 之间的关系呢？
根据路程与速度、时间之间的关系可得：
s ＞ 60 x，且 s ＜ 100 x.
本章一开始提出的问题，引出的不等式 50 x > 1200，它含有未知数 x .我们感兴趣的是，未知数 x 取怎样的值，能使不等式成立.
能使不等式成立的未知数的值，叫做不等式的解.
如上面的问题中，由表格可以看出，x ＝ 25，26，27，… 都是不等式 50 x ＞ 1200 的解，而 x ＝ 24，23，22，21 等都不是它的解.
例 用不等式表示下列关系，并分别写出两个满足不等
式的值：
(1) x 的一半不小于－1；
(2) y 与 4 的和大于0.5；
(3) a 是负数；
(4) b 是非负数.
解 (1) x ＜－1.如 x =－3，－4.
(2) y + 4 > 0.5. 如 y = 0，1.
(3) a < 0 . 如 a=－3，－4.
(4) b 是非负数，即 b 不是负数，所以 b ≥ 0（即 b ＞0或 b = 0）.如 b ＝ 0，2.
b ＞ 0 或 b = 0，通常可表示成 b ≥ 0.
用不等式表示：
（1）x的3倍大于5； （2）y与2的差小于-1；
（3）x的2倍大于x； （4）y的与3的差是负数；
（5）a是正数； （6）b不是正数.
1. 用不等式表示下列数量关系：
（1）x 比 -3 小；
（2）两数 m 与 n 的差大于 5.
x < -3
m - n > 5
2. 雷电的温度大约是 28000℃，比太阳表面温度的 4.5 倍还要高。设太阳表面温度为 t ℃，那么 t 应该满足怎样的关系式？
4.5 t < 28000
不等式
实际问题中不等式的表示
不等式的解
概念
用不等号“<”“>”或“≤”“≥”表示不等关系的式子
能使不等式成立的未知数的值