7.3.1 解一元一次不等式 课件（共40张PPT）2024-2025学年数学华师大版七年级下册

(共40张PPT)
7.3 解一元一次不等式
7.3.1 解一元一次不等式
不等式的基本性质
不等式的基本性质 2
不等式的基本性质 3
不等式的基本性质 1
不等式的基本性质 1
如果 a > b ，那么
a + c > b + c ，a – c > b – c .
不等式的两边都加上（或都减去）同一个数，不等号的方向不变.
不等式的基本性质 2
如果 a > b ，并且 c > 0 ，那么
ac > bc ， > .
不等式的两边都乘以（或都除以）同一个正数，不等号的方向不变.
不等式的基本性质 3
如果 a > b ，并且 c < 0 ，那么
ac < bc ， < .
不等式的两边都乘以（或都除以）同一个负数，不等号的方向改变.
有一次，鲁班的手不慎被一片小草叶子割破了，他发现小草叶子的边缘布满了密集的小齿，于是便产生联想，根据小草的结构发明了锯子.鲁班在这里运用了“类比”的思想方法，“类比”也是数学学习中常用的
一种重要方法.
我们之前学过的一元一次方程，你还记得它的定义吗？
只含有一个未知数、左右两边都是整式，并且含未知数的项的次数都是1的方程叫做一元一次方程.
试一试，根据一元一次方程的定义，类比推理出一元一次不等式的定义.
在前面我们遇到过一些含有未知数的不等式，
例如
5x＞1200，x+2＞5，x＜-1
等.
这些不等式有什么共同特点？
观察下面的不等式：
(1) x－7＞26 (2) 3x－7＞26
(4) -4x＞3
它们有哪些共同特征？
左右两边都是整式；
都只含有一个未知数；
未知数的次数是 1.
像这样，
只含有一个未知数、
左右两边都是整式，
并且未知数的次数都是1的不等式，
叫做一元一次不等式.
下列不等式中，哪些是一元一次不等式
(1) 3x＋2＞x－1 (2) 5x＋3＜ 0
(3) (4) x (x－1)＜2x




左边不是整式
化简后是x2 －x＜2x
解一元一次不等式
解不等式：
4x－1＜5x ＋15.
解方程：
4x －1 ＝ 5x ＋15.
解：移项，得
4x－5x＝15＋1.
合并同类项，得
－x＝16.
系数化为 1，得
x＝－16.
解：移项，得
4x－5x＜15＋1.
合并同类项，得
－x＜16.
系数化为 1，得
x＞－16.
解一元一次方程，要根据等式的性质，将方程逐步化为 x＝a 的形式；
与解方程类似，解不等式的过程，就是利用不等式的基本性质，将不等式进行适当的变形，得到 x > a 或 x < a的形式.
例1 解不等式：
（1）x-7<8；
（2）3x<2x-3.
利用不等式的性质解不等式
解： (1)不等式的两边都加上 7，不等号的方向不变，所以
x －7+7 < 8+7，
得 x < 15 .
根据不等式基本性质1
(2)不等式的两边都减去 2x（即都加上-2x），不等号的方向不变，所以
3x －2x < 2x－3－2x，
得 x < －3.
根据不等式基本性质1
这两道小题中不等式的变形与方程的什么变形类似？
由 (2) 可以看出，运用不等式基本性质 1 对 3x < 2x－3 进行化简的过程，就是对不等式 3x < 2x－3 作了如下变形：
这里的变形，与方程变形中的移项类似．试总结一下：怎样进行不等式的“移项”？
3
3x < 2x - 3
3x
<
2x
-
-
从变形前后的两个不等式可以看出，这种变形就是把不等式一边的某一项变号后移到另一边，我们把这种变形称为移项.
3
3x < 2x - 3
3x
<
2x
-
-
例2 解不等式：
（1）x＞－3;
（2）－2x＜6.
解：(1) 不等式的两边都乘以2，不等号的方向不变，所以
x×2＞（－3）×2，
得 x＞－6 .
（2）不等式的两边都除以 2(即都乘以 )，不等号的方向改变, 所以
－2x×＞6 ×
得 x＞－3.
这两小题中不等式的变形与方程的什么变形类似？
有什么不同？
这里的变形，与方程变形中的“将未知数的系数化为1”类似，
它依据的是不等式的基本性质2或不等式的基本性质3.
要注意不等式的两边都乘以(或都除以)的数是正数还是负数，从而确定变形时不等号的方向是否需要改变.
解下列一元一次不等式 ：
(1) 2－5x ＜ 8－6x ；
解：
原不等式为 2－5x ＜ 8－6x.
将同类项放在一起
即 x ＜ 6.
移项，得 －5x＋6x ＜ 8－2，
计算结果
(2)
首先将分母去掉
去括号，得 2x－10＋6≤9x.
去分母，得 2( x－5 )＋1×6≤9x.
移项，得 2x－9x≤10－6.
去括号
将同类项放在一起
合并同类项，得 －7x≤4.
系数化为 1，得
x≥ .
计算结果
运用不等式的性质3
例3 解下列不等式，并将解集在数轴上表示出来：
（1）2x-1<4x+13；
（2）2（5x+3）≤ x-3（1-2x）.
解：(1)移项，得
2x -4x < 13 +1.
合并同类项，得
-2x < 14.
两边都除以 －2，得
x>-7.
它在数轴上的表示如图所示.
-8
-7
-6
-5
-4
-3
-2
-1
0
1
2
一元一次不等式与一元一次方程的解法有哪些类似之处？有什么不同？
（2）去括号，得
10x + 6 ≤ x – 3 + 6x.
移项、合并同类项，得
3x ≤ -9.
两边都除以 3，得
x ≤ -3.
-4
-3
-2
-1
0
1
它在数轴上的表示如图所示.
例4 当x取何值时，代数式 与 的差大于1？
解: 根据题意， 得
去分母， 得
去括号， 得
移项、合并同类项，得
－
＞1.
2 (x +4) -3 (3x -1) > 6.
2x + 8 - 9x + 3 > 6,
-7x > -5.
两边都除以-7, 得
所以，当 x 取小于 的任何数时，
代数式 与 的差大于1.
回顾例3和例4的解答过程，总结一下解一元一次不等式的基本步骤，与你的同伴讨论和交流.
x < .
解一元一次不等式与解一元一次方程的依据和步骤有什么异同点？
它们的依据不相同。解一元一次方程的依据是等式的性质，解一元一次不等式的依据是不等式的性质.
它们的步骤基本相同，都是去分母、去括号、移项、合并同类项、未知数的系数化为1。
这些步骤中，要特别注意的是：不等式两边都乘(或除以)同一个负数，必须改变不等号的方向。这是与解一元一次方程不同的地方。
1.解下列不等式，并把解集在数轴上表示出来：
（1）2x+1>3；
（2）2-x<1；
（3）2（x+1）<3x；
（4）3（x+2）≥4（x-1)+7.
2.解不等式： .
1. 解下列不等式：
(1) －5x ≤ 10 ；
(2) 4x －3＜ 10x ＋ 7 .
x ≥ －2
x ＞
2. 解下列不等式：
(1) 3x－1 ＞ 2(2－5x) ；
(2) .
x ＞
x ≤
解一元一次不等式：
1.一元一次不等式的概念
只含有一个未知数、左右两边都是整式，并且未知数的次数都是1的不等式，叫做一元一次不等式.
2.解一元一次不等式的方法
与解方程类似，解不等式的过程，就是利用不等式的基本性质，将不等式进行适当的变形，得到 x > a 或 x < a的形式.