7.4 解一元一次不等式组 课件（共45张PPT）2024-2025学年数学华师大版七年级下册

(共45张PPT)
7.4 解一元一次不等式组
一元一次不等式的实际应用
实际问题
↓
根据题意列不等式
↓
解一元一次不等式
→
→
根据实际问题找出符合条件的解集或特殊解
↑
得出解决问题的答案
同学们，你能根据对话片断估计出这头大象的体重范围吗 请说说你的理由!
看，这头大象好大呀，体重肯定不少于 3 吨!
嗨，我听说管理员说，这头大象的体重不足 5 吨呢！
若设大象的体重为 x 吨，则
x ≥ 3 ①
x ＜ 5 ②
看，这头大象好大呀，体重肯定不少于 3 吨!
嗨，我听说管理员说，这头大象的体重不足 5 吨呢！
问题 用每分钟可抽 30 t 水的抽水机来抽污水管道里积存的污水，估计积存的污水不少于 1200 t 且不超过 1500 t ，那么需要多少时间能将污水抽完？
分析 设需要 x min 能将污水抽完，则总的抽水量为30x t .由题意，应有
30x ≥ 1200 ，
并且 30x ≤ 1500 .
在这个实际问题中，未知量 x 应同时满足这两个不等式．我们把这两个一元一次不等式合在一起，就得到一个一元一次不等式组：
30x ≥ 1200 ， ①
30x ≤ 1500 . ②
思考：怎样确定上面的不等式组中 x 的取值范围呢？
类比方程组的求解，不等式组中的各个不等式解集的公共部分，就是不等式组中的未知数的取值范围.
求不等式组的解集的过程，叫做解不等式组。
分别求这两个不等式的解集，得
同时满足不等式①②的未知数 x 应是这两个不等式解集的公共部分.
x ≥ 40，
x ≤ 50.
思考：通常我们运用数轴表示不等式的解集，那么我们能用它直接表示不等式组的解集吗？
试一试：用数轴表示出不等式组 的解集.
x ≥ 40，
x ≤ 50
如图，在同一数轴上表示出这两个不等式的解集，可知其公共部分是40和50之间的数（包括40和50），
记作 40 ≤ x ≤ 50 .
所提问题的答案为：需要40~50min能将污水抽完.
0
10
20
30
40
50
60
不等式组中几个不等式的解集的公共部分，叫做这个不等式组的解集.例如前面问题所列出的不等式组的解集为 40≤ x ≤ 50 .
解一元一次不等式组，通常可以先分别求出不等式组中每个不等式的解集，再求出它们的公共部分.利用数轴可以帮助我们得到一元一次不等式组的解集.
解由两个一元一次不等式所组成的不等式组，在取各不等式的解的公共部分时，有以下几种情况：
a b
a b
同大取大
同小取小
x＞b
x＜a
x
x
解由两个一元一次不等式所组成的不等式组，在取各不等式的解的公共部分时，有以下几种情况：
a b
a b
大小 小大中间找
大大 小小无处找
a＜x＜b
无解
x
x
1.填表：
不等式组
不等式组的解集
x＞-3
-5＜x ≤-3
x＜ -3
无解
一个长方形足球场的宽为 70 m，如果它的周长大于 350 m，面积小于 7630 m2，求这个足球场的长的取值范围，并判断这个足球场是否可以进行国际足球比赛.
(注：用于国际比赛的足球场的长在 100 至 110 m 之间，宽在 64 至 75 m之间).
设足球场的长为 x m，它的周长为 2(x＋70) m，面积为 70x m2.
根据已知条件，我们知道 x 的取值范围要使
2(x+70) ＞ 350 和 70x ＜ 7630
这两个不等式同时成立.
为此，我们用大括号把上述两个不等式联立起来，得
分别求这两个不等式的解集，得
①
②
x ＞ 105，
x ＜ 109.
我们在同一数轴上把 x＞105 与 x＜109 表示出来，如图所示：
由图容易发现它们的公共部分是105 ＜ x ＜ 109，这就是由不等式 ①② 组成的不等式组的解集.
0
105
109
x
由此可知，这个足球场的长度在 105 至 109 m 之间，从场地的大小方面来说，可以进行国际足球比赛。
例1 解不等式组：
解 解不等式 ①，得 x ＞2.
解不等式 ②，得 x ＞4.
如图，在同一数轴上表示出不等式 ①② 的解集，
①
②
可知所求不等式组的解集是
x＞ 4.
2
0
4
1
3
例2 解不等式组：
解 解不等式 ①，得 x ＜-1.
解不等式 ②，得 x ≥ 2.
如图，在同一数轴上表示出不等式 ①② 的解集.
①
②
0
-1
2
1
容易看出，这两个不等式的解集没有公共部分.因此， 这个不等式组无解.
2.解不等式组：
解：解不等式 ①，得 x ＞－2.
解不等式 ②，得 x ＞6.
把不等式 ①② 的解集在数轴上表示出来，如图：
①
②
由图可知，不等式 ①② 的解集的公共部分是 x ＞6，所以这个不等式组的解集是 x＞6.
0
－2
6
3.解不等式组：
解：解不等式 ①，得 x ＜－2.
解不等式 ②，得 x ＞3.
把不等式 ①② 的解集在数轴上表示出来，如图：
①
②
由图可以看出，这两个不等式的解集没有公共部分.所以，这个不等式组无解.
0
-2
3
等号与不等号的由来
等号“=”与不等号“>”“<”，从小学用到现在，已经是我们熟悉的符号了.
你知道它们的由来吗？人们是从什么时候开始使用这些符号的呢？
说来话长.16世纪中叶之前的数学书中，都还是用单词表示两个量的相等关系的.直到1557年，英国数学家雷科德（1510—1558）在他的论文《智慧的磨刀石》中提出：“为了避免枯燥地重复‘等于’这个单词，我认真比较了许多图形与记号，觉得世界上再也没有比两条平行而
又等长的线段，意义更相同了.”这位伟大的数学家很有创见地用两条平行且相等的线段“=”表示“相等”，“=”叫做等号.
当时，也有人用其他符号表示过相等关系，数学家笛卡儿（1596—1650）在1637年出版的《几何学》中，还
曾用“ ”表示相等关系.
17世纪，德国数学家莱布尼兹（1646—1716），在各种场合大力倡导使用符号“=”，在他和其他数学家的共同努力下，这一符号才逐渐被世人所公认.
至于不等号“>”和“<”，其“经历”就更多了.
1629年，法国数学家吉拉尔（1595—1632）在他的《代数教程》中，用象征的符号“ ”表示“大于”，用“ ”表示“小于”.例如，A大于B，记作：“A B”；A小于B，记作：“A B”.
1631年，英国数学家哈里奥特（1560—1621）创造了
符号“>”和“<”，分别表示“大于”和“小于”，这就是我们使用的不等号.
那时，还有数学家创造过其他符号.例如，数学家奥特雷德（1575—1660）曾于1631年采用“ ”和
“ ”分别表示“大于”和“小于”.又如，法国数
学家厄里岗（ 1580—1643 ）曾在1634年采用一些看来并不简便的符号表示不等关系，如用“ a3 | 2b ”表示“ a > b”，用“ b2 | 3a ”表示“ b < a ”.
那些繁琐的记号，逐渐被人们所淘汰，只有哈里奥特创造的符号“>”和“<”，由于它们的简便性，在数学
中广为传用，最终为人们所接受和认可.
由等号“=”和不等号“>”“<”，还引申出一些其他数学符号.例如，全等“≌”、恒等“ ”、相似“∽”、近似“ ”、近似“ ”、不等于“≠”、大于或等于“≥”、小于或等于“≤”、远大于“ ”、远小
于“ ”、不大于“≯”、不小于“≮”等.
数学中的符号太多了，它们的出现，都是为了数学表达的简捷方便，有了这些符号，我们就能简单明了地表达数学推理与求解过程.
1.填表：
2.解下列不等式组，并把它们的解集在数轴上表示出来：
（1） （2）
（3）
4x-1>2x+3，
x+1>2；
x-1>6（x+3），
5（x-2）-1≤4（1+x）；
0，
4 - ≤ - x .
3.试求不等式组 的所有整数解.
x+2 > 0，
x-6 ≤ 0
解下列不等式组：
1 ＜ x ＜ 5
－4 ＜ x ≤1
x ＜
无解
一元一次不等式组的概念
↓
↓
一元一次不等式组的解集在数轴上的表示
解一元一次不等式组
一元一次不等式组
→
一元一次不等式组的解集
↓
把未知量 x 同时满足的两个一元一次不等式合在一起，就得到一元一次不等式组.
↓
利用公共部分确定不等式组的解集
在数轴上分别表示各个不等式的解集
解每个不等式
一元一次不等式组的解集在数轴上的表示