8.1.2 三角形内角和与外角和 课件（共52张PPT）2024-2025学年数学华师大版七年级下册
文档属性
| 名称 | 8.1.2 三角形内角和与外角和 课件（共52张PPT）2024-2025学年数学华师大版七年级下册 |  | |
| 格式 | pptx | ||
| 文件大小 | 1.5MB | ||
| 资源类型 | 教案 | ||
| 版本资源 | 华师大版 | ||
| 科目 | 数学 | ||
| 更新时间 | 2025-02-09 22:17:10 | ||
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文档简介
(共52张PPT)
8.1 与三角形有关的边和角
8.1.2 三角形的内角和与外角和
三角形中的重要线段
高
钝角三角形两短边上的高的画法
中线
角平分线
是线段，不是射线
中线
会把原三角形的面积平分
一边上的中线把原三角形分成两个三角形，这两个三角形的周长差等于原三角形其余两边的差
如图，在小学我们曾剪下三角形的两个内角，将它们与第三个内角拼在一起，发现三个内角恰好拼成一个平角，得出了如下结论：
三角形的内角和等于180°.
现在我们尝试用说理的方式说明该结论正确.
如图，已知△ABC，分别用∠1、∠2、∠3
表示△ABC的三个内角，证明∠1+∠2+∠3=180°.
解 如图，延长边BC至点E，以点C为顶点，在BE的上侧作∠DCE=∠2，则CD//BA
（同位角相等，两直线平行）.
∵ CD//BA，
∴ ∠1=∠ACD（两直线平行，内错角相等）.
∵ ∠3+∠ACD+∠DCE=180°，
∴∠1+∠2+∠3=180°（等量代换）.
由此得到：
三角形的内角和等于180°.
你还能想出其它的方法推出这个结论吗？
如图，经过 △ABC 一顶点 A 作直线 B'C' ，
使得 B'C'∥BC.
则∠B' AB=∠2， ∠C' AC=∠3.
又∠B' AB+∠1+∠C' AC =180°，
所以 ∠2+∠1+∠3=180°.
思考：多种方法证明三角形内角和等于 180° 的核心是什么？
C
A
B
1
2
3
4
5
l
A
C
B
1
2
3
4
5
l
P
6
m
A
B
C
D
E
借助的平行线“移角”的功能，将三个角转化到一个平角上.
题1 在 △ABC 中，∠A 的度数是 ∠B 的度数的 3 倍，
∠C 比 ∠B 大15°，求 ∠A，∠B，∠C 的度数.
解: 设 ∠B 为 x°，则 ∠A 为(3x)°，
∠C 为 (x ＋ 15)°，
几何问题借助方程来解. 这是一个重要的数学思想.
从而有3x ＋ x ＋(x ＋ 15)＝ 180.
解得 x ＝ 33.
所以 3x ＝ 99 ， x ＋ 15 ＝ 48.
答： ∠A，∠B，∠C 的度数分别为 99°，33°， 48°.
题 2 如图，在△ABC 中， ∠BAC = 40°，∠B = 75°，
AD 是△ABC 的角平分线，求∠ADB 的度数.
解：由∠BAC = 40°，
AD 是△ABC 的角平分线，
得∠BAD = ∠BAC = 20°.
A
B
C
D
在△ABD 中，
∠ADB = 180°－∠B－∠BAD
= 180°－75°－20°
= 85°.
A
B
C
D
如图，在直角三角形ABC 中，∠C = 90°，∠A与∠B有什么关系？
由三角形的内角和等于180°，得
∠A +∠B +∠C = 180°.
由此可以推出
∠A + ∠B =180°-∠C= 90°，
即∠A与∠B互余.
直角三角形的内角性质
由此，你可以得到直角三角形有什么性质呢？
直角三角形的两个锐角互余.
直角三角形可以用符号“Rt△”表示，
直角三角形 ABC 可以写成 Rt△ABC .
A
B
C
例1 如图，AD是△ABC的边BC上的高，∠1=45°，
∠C=65°.求∠BAC的度数.
解 在Rt△ABD中，
∵∠1+∠B=90°（直角三角形的两个锐角互余），
∴∠B=90°-∠1（等式性质）.
又∵∠1=45°（已知），
∴∠B=90°-45°=45°（等量代换）.
在△ABC中，
∵∠B+∠C+∠BAC=180°
（三角形的内角和等于180°），
∴∠BAC=180°-∠B-∠C（等式性质）.
又∵∠B=45°（已求），∠C=65°（已知），
∴∠BAC=180°-45°-65°=70°（等量代换）.
我们已经知道，直角三角形的两个锐角互余.反过来，有两个角互余的三角形是直角三角形吗？
由三角形的内角和等于180°，容易得出下面的结论：
有两个角互余的三角形是直角三角形.
你能说明其理由吗？
现在我们讨论三角形的外角及外角和.
如图，一个三角形的每一个外角对应一个相邻的内角和两个不相邻的内角.
三角形的外角与内角有什么关系呢？
图中，显然有
∠CBD（外角）+∠ABC（相邻的内角）=180°.
那么外角∠CBD与其他两个不相邻的内角又有什么关系呢？
依据三角形的内角和等于180°，我们有
∠ACB+∠BAC+∠ABC=180°.
由上面两个式子，可以推出
∠CBD=180°-∠ABC，
∠ACB+∠BAC=180°-∠ABC.
因而可以得到外角∠CBD与两个不相邻的内角之间的关系：
∠CBD=∠ACB+∠BAC.
由此可知，三角形的外角有两条性质：
1.三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和.
2.三角形的一个外角大于任何一个与它不相邻的内角.
如图，∠CAD=100°，∠B=30°，求∠C 的度数。
解：因为∠B+∠C=∠CAD，
所以∠C=∠CAD－∠B，
所以∠C=100°－30°=70°.
与三角形的每个内角相邻的外角分别有两个，这两个外角是对顶角.
从与每个内角相邻的两个外角中分别取一个相加，得到的和称为三角形的外角和.
如图所示，∠1+∠2+∠3
就是△ABC的外角和.
在图中，有
∠1+ =180°，
∠2+ = 180°，∠3+ = 180°.
三式相加，可以得到
∠1+∠2+∠3 + + + = ，①
而∠ACB + ∠BAC + ∠ABC = 180°，②
将①与②相比较，你能得出什么结论？
可以得到
∠1+∠2+∠3=360°.
由此可知：三角形的外角和等于360°.
你能由右图说明这一结论吗？
例2 如图，D 是△ABC 的边BC 上一点，
∠B =∠BAD，∠ADC = 80°，∠BAC = 70°.
（1）求∠B 的度数；
（2）求∠C 的度数.
A
B
C
D
解 （1）∵∠ADC 是△ABD 的外角（已知），
∴∠B +∠BAD =∠ADC = 80°（三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和）.
又∵∠B = ∠BAD（已知），
∴∠B=80°× =40°（等量代换）.
A
B
C
D
（2）∵∠B +∠BAC +∠C = 180°（三角形的内角和等于180°），
∴ ∠C = 180°－∠B －∠BAC（等式的性质）.
又∵ ∠B=40°（已求）， ∠BAC = 70°（已知），
∴∠C = 180°－40°－70° = 70°（等量代换）.
(一题多解)如图，∠A = 51°，∠B = 20°，∠C = 30°，
求∠BDC 的度数.
A
B
C
D
(
(
(
51°
20°
30°
思路点拨：添加适当的辅助线将四边形问题转化为三角形问题.
解法一：连接 AD 并延长到点 E.
在△ABD 中，∠1 +∠B =∠3，
在△ACD 中，∠2 +∠C =∠4.
∵∠BDC =∠3 +∠4，
∠BAC =∠1 +∠2，
∴∠BDC =∠BAC +∠B +∠C
= 51°+20°+ 30°= 101°.
A
B
C
D
(
(
20°
30°
E
)
)
1
2
)
3
)
4
你发现了什么结论？
解法二：延长 BD 交 AC 于点 E.
在△ABE 中，∠1 =∠B +∠A，
在△ECD 中，∠BDC =∠1 +∠C.
∴∠BDC =∠A +∠B +∠C
= 51°+ 20°+ 30°= 101°.
A
B
C
D
(
(
(
51°
20°
30°
E
)
1
A
B
C
D
(
(
(
51°
20°
30°
解法三：连接 CD 并延长交 AB 于 F (解题过程同解法二).
)
2
F
总结：解题的关键是正确的构造三角形，利用三角形外角的性质及转化的思想，把未知角与已知角联系起来求解。
A
B
C
D
(
(
(
1
3
2
(
重要发现：
∠BDC = ∠1+∠2+∠3.
1.如图，∠A=40°，则∠1+∠2+∠3+∠4= .
2.在△ABC中，∠A+∠B=80°，∠C=2∠B.
求∠A、∠B和∠C的度数.
3.在△ABC中，∠B=∠A+30°，∠C=∠B+30°.求△ABC的各内角的度数.
4.如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，D、E分别是边CB、AB延长线上的点，∠A=∠D.
试说明△BDE是直角三角形.
5. （口答）一个三角形可以有两个内角都是直角吗？可以有两个内角都是钝角或都是锐角吗？为什么？
6.说出下列各图中∠1的度数.
① ② ③
7.如图，在Rt△ABC中，CD是斜边AB上的高，∠BCD=35°.
（1）求∠EBC的度数；
（2）求∠A的度数.
对于上述问题，在以下解答过程的空白处填上 适当的内容（理由或数学式）.
解 （1）∵CD⊥AB(已知），
∴∠CDB = .
∵∠EBC= ∠CDB +∠BCD（ ），
∴∠EBC= +35°= (等量代换).
（2）∵ ∠EBC=∠A+∠ACB（ ），
∴∠A=∠EBC－∠ACB（等式的性质）.
∵∠ACB=90°（已知），
∴∠A= -90°
= （等量代换）.
你还能用其他方法解决这一问题吗？
1. 已知 △ABC 中，∠A＝ 70°，∠C＝30°，∠B＝_____.
2. 直角三角形一个锐角为 70°，另一个锐角是_______.
3. 在△ABC 中，∠A=80°，∠B=∠C，则∠C=_______.
80°
20°
50°
4. 如图，AD 是△ABC 的角平分线，∠B= 36°，
∠C= 76°，则∠DAC 的度数为________.
34°
三角形的内角和
证明
了解添加辅助线的方法及其目的
内容
三角形的内角和等于 180°
三角形的外角
定义
角一边必须是三角形的一边，另一边必须是三角形另一边的延长线
性质
三角形的外角和
三角形的外角和等于 360°
三角形的外角的性质
1：三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和
2：三角形的一个外角大于任何一个与它不相邻的内角
8.1 与三角形有关的边和角
8.1.2 三角形的内角和与外角和
三角形中的重要线段
高
钝角三角形两短边上的高的画法
中线
角平分线
是线段，不是射线
中线
会把原三角形的面积平分
一边上的中线把原三角形分成两个三角形，这两个三角形的周长差等于原三角形其余两边的差
如图，在小学我们曾剪下三角形的两个内角，将它们与第三个内角拼在一起，发现三个内角恰好拼成一个平角，得出了如下结论：
三角形的内角和等于180°.
现在我们尝试用说理的方式说明该结论正确.
如图，已知△ABC，分别用∠1、∠2、∠3
表示△ABC的三个内角，证明∠1+∠2+∠3=180°.
解 如图，延长边BC至点E，以点C为顶点，在BE的上侧作∠DCE=∠2，则CD//BA
（同位角相等，两直线平行）.
∵ CD//BA，
∴ ∠1=∠ACD（两直线平行，内错角相等）.
∵ ∠3+∠ACD+∠DCE=180°，
∴∠1+∠2+∠3=180°（等量代换）.
由此得到：
三角形的内角和等于180°.
你还能想出其它的方法推出这个结论吗？
如图，经过 △ABC 一顶点 A 作直线 B'C' ，
使得 B'C'∥BC.
则∠B' AB=∠2， ∠C' AC=∠3.
又∠B' AB+∠1+∠C' AC =180°，
所以 ∠2+∠1+∠3=180°.
思考：多种方法证明三角形内角和等于 180° 的核心是什么？
C
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A
C
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4
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A
B
C
D
E
借助的平行线“移角”的功能，将三个角转化到一个平角上.
题1 在 △ABC 中，∠A 的度数是 ∠B 的度数的 3 倍，
∠C 比 ∠B 大15°，求 ∠A，∠B，∠C 的度数.
解: 设 ∠B 为 x°，则 ∠A 为(3x)°，
∠C 为 (x ＋ 15)°，
几何问题借助方程来解. 这是一个重要的数学思想.
从而有3x ＋ x ＋(x ＋ 15)＝ 180.
解得 x ＝ 33.
所以 3x ＝ 99 ， x ＋ 15 ＝ 48.
答： ∠A，∠B，∠C 的度数分别为 99°，33°， 48°.
题 2 如图，在△ABC 中， ∠BAC = 40°，∠B = 75°，
AD 是△ABC 的角平分线，求∠ADB 的度数.
解：由∠BAC = 40°，
AD 是△ABC 的角平分线，
得∠BAD = ∠BAC = 20°.
A
B
C
D
在△ABD 中，
∠ADB = 180°－∠B－∠BAD
= 180°－75°－20°
= 85°.
A
B
C
D
如图，在直角三角形ABC 中，∠C = 90°，∠A与∠B有什么关系？
由三角形的内角和等于180°，得
∠A +∠B +∠C = 180°.
由此可以推出
∠A + ∠B =180°-∠C= 90°，
即∠A与∠B互余.
直角三角形的内角性质
由此，你可以得到直角三角形有什么性质呢？
直角三角形的两个锐角互余.
直角三角形可以用符号“Rt△”表示，
直角三角形 ABC 可以写成 Rt△ABC .
A
B
C
例1 如图，AD是△ABC的边BC上的高，∠1=45°，
∠C=65°.求∠BAC的度数.
解 在Rt△ABD中，
∵∠1+∠B=90°（直角三角形的两个锐角互余），
∴∠B=90°-∠1（等式性质）.
又∵∠1=45°（已知），
∴∠B=90°-45°=45°（等量代换）.
在△ABC中，
∵∠B+∠C+∠BAC=180°
（三角形的内角和等于180°），
∴∠BAC=180°-∠B-∠C（等式性质）.
又∵∠B=45°（已求），∠C=65°（已知），
∴∠BAC=180°-45°-65°=70°（等量代换）.
我们已经知道，直角三角形的两个锐角互余.反过来，有两个角互余的三角形是直角三角形吗？
由三角形的内角和等于180°，容易得出下面的结论：
有两个角互余的三角形是直角三角形.
你能说明其理由吗？
现在我们讨论三角形的外角及外角和.
如图，一个三角形的每一个外角对应一个相邻的内角和两个不相邻的内角.
三角形的外角与内角有什么关系呢？
图中，显然有
∠CBD（外角）+∠ABC（相邻的内角）=180°.
那么外角∠CBD与其他两个不相邻的内角又有什么关系呢？
依据三角形的内角和等于180°，我们有
∠ACB+∠BAC+∠ABC=180°.
由上面两个式子，可以推出
∠CBD=180°-∠ABC，
∠ACB+∠BAC=180°-∠ABC.
因而可以得到外角∠CBD与两个不相邻的内角之间的关系：
∠CBD=∠ACB+∠BAC.
由此可知，三角形的外角有两条性质：
1.三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和.
2.三角形的一个外角大于任何一个与它不相邻的内角.
如图，∠CAD=100°，∠B=30°，求∠C 的度数。
解：因为∠B+∠C=∠CAD，
所以∠C=∠CAD－∠B，
所以∠C=100°－30°=70°.
与三角形的每个内角相邻的外角分别有两个，这两个外角是对顶角.
从与每个内角相邻的两个外角中分别取一个相加，得到的和称为三角形的外角和.
如图所示，∠1+∠2+∠3
就是△ABC的外角和.
在图中，有
∠1+ =180°，
∠2+ = 180°，∠3+ = 180°.
三式相加，可以得到
∠1+∠2+∠3 + + + = ，①
而∠ACB + ∠BAC + ∠ABC = 180°，②
将①与②相比较，你能得出什么结论？
可以得到
∠1+∠2+∠3=360°.
由此可知：三角形的外角和等于360°.
你能由右图说明这一结论吗？
例2 如图，D 是△ABC 的边BC 上一点，
∠B =∠BAD，∠ADC = 80°，∠BAC = 70°.
（1）求∠B 的度数；
（2）求∠C 的度数.
A
B
C
D
解 （1）∵∠ADC 是△ABD 的外角（已知），
∴∠B +∠BAD =∠ADC = 80°（三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和）.
又∵∠B = ∠BAD（已知），
∴∠B=80°× =40°（等量代换）.
A
B
C
D
（2）∵∠B +∠BAC +∠C = 180°（三角形的内角和等于180°），
∴ ∠C = 180°－∠B －∠BAC（等式的性质）.
又∵ ∠B=40°（已求）， ∠BAC = 70°（已知），
∴∠C = 180°－40°－70° = 70°（等量代换）.
(一题多解)如图，∠A = 51°，∠B = 20°，∠C = 30°，
求∠BDC 的度数.
A
B
C
D
(
(
(
51°
20°
30°
思路点拨：添加适当的辅助线将四边形问题转化为三角形问题.
解法一：连接 AD 并延长到点 E.
在△ABD 中，∠1 +∠B =∠3，
在△ACD 中，∠2 +∠C =∠4.
∵∠BDC =∠3 +∠4，
∠BAC =∠1 +∠2，
∴∠BDC =∠BAC +∠B +∠C
= 51°+20°+ 30°= 101°.
A
B
C
D
(
(
20°
30°
E
)
)
1
2
)
3
)
4
你发现了什么结论？
解法二：延长 BD 交 AC 于点 E.
在△ABE 中，∠1 =∠B +∠A，
在△ECD 中，∠BDC =∠1 +∠C.
∴∠BDC =∠A +∠B +∠C
= 51°+ 20°+ 30°= 101°.
A
B
C
D
(
(
(
51°
20°
30°
E
)
1
A
B
C
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(
(
51°
20°
30°
解法三：连接 CD 并延长交 AB 于 F (解题过程同解法二).
)
2
F
总结：解题的关键是正确的构造三角形，利用三角形外角的性质及转化的思想，把未知角与已知角联系起来求解。
A
B
C
D
(
(
(
1
3
2
(
重要发现：
∠BDC = ∠1+∠2+∠3.
1.如图，∠A=40°，则∠1+∠2+∠3+∠4= .
2.在△ABC中，∠A+∠B=80°，∠C=2∠B.
求∠A、∠B和∠C的度数.
3.在△ABC中，∠B=∠A+30°，∠C=∠B+30°.求△ABC的各内角的度数.
4.如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，D、E分别是边CB、AB延长线上的点，∠A=∠D.
试说明△BDE是直角三角形.
5. （口答）一个三角形可以有两个内角都是直角吗？可以有两个内角都是钝角或都是锐角吗？为什么？
6.说出下列各图中∠1的度数.
① ② ③
7.如图，在Rt△ABC中，CD是斜边AB上的高，∠BCD=35°.
（1）求∠EBC的度数；
（2）求∠A的度数.
对于上述问题，在以下解答过程的空白处填上 适当的内容（理由或数学式）.
解 （1）∵CD⊥AB(已知），
∴∠CDB = .
∵∠EBC= ∠CDB +∠BCD（ ），
∴∠EBC= +35°= (等量代换).
（2）∵ ∠EBC=∠A+∠ACB（ ），
∴∠A=∠EBC－∠ACB（等式的性质）.
∵∠ACB=90°（已知），
∴∠A= -90°
= （等量代换）.
你还能用其他方法解决这一问题吗？
1. 已知 △ABC 中，∠A＝ 70°，∠C＝30°，∠B＝_____.
2. 直角三角形一个锐角为 70°，另一个锐角是_______.
3. 在△ABC 中，∠A=80°，∠B=∠C，则∠C=_______.
80°
20°
50°
4. 如图，AD 是△ABC 的角平分线，∠B= 36°，
∠C= 76°，则∠DAC 的度数为________.
34°
三角形的内角和
证明
了解添加辅助线的方法及其目的
内容
三角形的内角和等于 180°
三角形的外角
定义
角一边必须是三角形的一边，另一边必须是三角形另一边的延长线
性质
三角形的外角和
三角形的外角和等于 360°
三角形的外角的性质
1：三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和
2：三角形的一个外角大于任何一个与它不相邻的内角