4.1.2 相交直线所成的角 课件（共57张PPT）2024-2025学年数学湘教版七年级下册

(共57张PPT)
4.1 平面内两条直线的位置关系
4.1.2 相交直线所成的角
1.在同一平面内，不相交的两条直线叫做平行线.
2.过直线外一点有且只有一条直线与这条直线平行.
3.平行于同一条直线的两条直线平行.
你发现了什么？
直线与直线相交于一点，并形成了四个角.
如图，随着剪刀的两个把手之间的角度变化，
剪刀刃之间的角也相应变化.
如果把剪刀的构造看作两条相交的直线，
这就关系到两条相交直线所成的角的问题.
将一把剪刀张开一定的角度，则可以构成4个角，
将其抽象，就可得到如图所示的几何图形.
在图中，∠1与∠3有共同的顶点O，
且其中一个角的两边分别是另一个角两边的反向延长线，
这样的一对角叫作对顶角.
对顶角：如果一个角的两边分别是另一个角两边的 ，
那么这两个角互为对顶角.
图中∠1的对顶角是______.
概念
1
2
3
4
A
B
C
D
O
反向延长线
∠3
下列各图中，∠1与∠2是对顶角的是（ ）
1
2
C
1
2
D
D
1
2
A
1
2
B
方法总结：对顶角是由两条相交直线构成的，只有两条直线相交时，才能构成对顶角．
比较图中∠1与∠3的大小，它们的大小之间有怎样的关系？
在上学期我们已经知道互为补角的两个角和为180°，
因而互为邻补角的两个角和为180°.
猜想：对顶角相等
你能利用有关知识来验证∠1 与∠3的大小关系吗？
已知：直线AB与CD相交于O点(如图),试说明:∠1=∠3， ∠2=∠4.
解：∵直线AB与CD相交于O点,
∴∠1+∠2=180°，∠2+∠3=180°，
∴∠1=∠3.
同理可得∠2=∠4.
应用格式：∵直线AB与CD相交于O点，
∴∠1=∠3.
从图中可以看出，∠1与∠ 2互补， ∠ 3与∠ 2也互补，
即∠ 1与∠ 3都是∠ 2的补角.
由“同角的补角相等”，可以得出∠ 1= ∠ 3.
类似地， ∠ 2= ∠ 4.
综上可得对顶角的性质：对顶角相等.
想一想：
图中是对顶角量角器，你能说出用它测量角的原理吗？
对顶角相等
1.如图，直线a，b相交，∠1=40°，求∠2，∠3，∠4的度数.
∴∠2=180°－∠1=140°,
∵∠3=∠1,
∠1=40°,
∴∠3=40°,
解:
∴∠4=∠2=140°.
掌握对顶角的性质是解题的关键!
方法
变式训练：①若∠1+∠3= 60 ，则∠1，∠2，∠3，∠4各个角的度数分别为________________________
②若∠2是∠1的 3倍，则∠1，∠2，∠3，∠4各个角的度数分别为________________________
③若 1: 2 = 2: 7 ，则∠1，∠2，∠3，∠4各个角的度数分别为________________________
30 、150 、30 、150
45 、 135 、 45 、 135
40 、140 、40 、140
2.如图，直线AB、CD、EF相交于点O，∠1＝40°，∠BOC＝110°，求∠2的度数.
解：因为∠1＝40°，∠BOC＝110°(已知)，
所以∠BOF＝∠BOC－∠1
＝110°－40°＝70°.
因为∠BOF＝∠2(对顶角相等)， 所以∠2＝70°(等量代换)．
注意：隐含条件“对顶角相等”.
3.如图，直线AB、CD、EF相交，若∠1 +∠5=180°，找出图中与∠1 相等的角.
D
B
E
O
A
C
F
解：∵ ∠1= ∠3（对顶角相等）
1
2
3
4
5
6
8
7
∠5+∠8=180 °且∠1 +∠5=180°
∴∠8= ∠1
∵ ∠8= ∠6（对顶角相等）
∴∠6= ∠1.
4.如图，直线AB、CD、EF、MN相交，若∠2=∠5，
找出图中与∠2 互补的角.
F
N
C
E
A
B
D
M
1
2
3
4
5
8
6
7
解：∵ ∠1+∠2=180°，∠2+∠3= 180°，
∴∠2的补角有∠1和∠3，
∵ ∠5+∠8=180°，∠5+∠6=180 °且∠2=∠5，
∴∠2的补角有∠6和∠8.
设直线AB，CD都与第三条直线MN相交（有时也说直线AB，CD被第三条直线MN所截），则可以构成8个角，如图所示.
（1） ∠ 1和∠ 5的位置有什么关系？
（2） ∠ 3和∠ 5， ∠ 3和∠ 6的位置分别
有什么关系？
简称“三线八角”
可以发现，在图中，
∠ 1和∠ 5分别在直线AB，CD的同一方（上方），
并且都在直线MN的同侧（右侧）.
具有∠ 1和∠ 5这种位置关系的一对角叫作同位角.
下列图形中，∠1和∠2是同位角的是（ ）
A.(1)，(2) B.(3)，(4)
C.(1)，(2)，(3) D.(2)，(3) ，(3)
A
1
2
1
2
1
2
1
2
（1） （2） （3） （4）
图形特征：在形如字母“F”的图形中有同位角.
1
2
1
2
1
2
1
2
变式图形：图中的∠1与∠2都是同位角.
∠ 3和∠ 5都在直线AB，CD之间，
并且分别在直线MN的两侧
（ ∠ 3在直线MN左侧， ∠ 5在直线MN右侧）.
具有∠ 3和∠ 5这种位置关系的一对角叫作内错角.
如图，与∠1是内错角的是（ ）
A. ∠2 B. ∠3
C. ∠4 D. ∠5
1
3
2
4
5
B
图形特征：在形如“Z”的图形中有内错角.
1
2
1
1
1
2
2
2
变式图形：图中的∠1与∠2都是内错角.
∠ 3和∠ 6都在直线AB，CD之间，
但它们在直线MN的同一旁（左侧）.
具有∠ 3和∠ 6这种位置关系的一对角叫作同旁内角.
1
1
A
B
C
D
1
2
2
2
1
2
A
下列图形中，∠1和∠2是同旁内角的是（ ）
变式图形：图中的∠1与∠2都是同旁内角.
图形特征：在形如“U”的图形中有同旁内角.　
1
1
1
1
2
2
2
2
图中还有其他的同位角、内错角和同旁内角吗？如有，将它们分别找出来，并将你的结果与同学的结果进行比较.
同位角：∠2和∠6；∠3和∠7；∠4和∠8.
内错角：∠4和∠6.
同旁内角 ：∠4和∠5.
例1 如图，直线EF与直线AB，CD分别相交，构成8个角.
指出图中所有的对顶角、同位角、内错角和同旁内角.
解 由图可知，其中对顶角有：
∠ 1和∠ 3， ∠ 2和∠ 4，
∠ 5和∠ 7， ∠ 6和∠ 8.
同位角有： ∠ 2和∠ 5， ∠ 1和∠ 8，
∠ 3和∠ 6，∠ 4和∠ 7.
内错角有： ∠ 1和∠ 6， ∠ 4和∠ 5.
同旁内角有： ∠ 1和∠ 5， ∠ 4和∠ 6.
例2 如图，直线AB，CD被直线MN所截，
同位角∠ 1与∠ 2相等，那么内错角∠ 2与∠ 3相等吗？
解 因为∠ 1= ∠ 3（对顶角相等），
∠ 1= ∠ 2（已知），
所以∠ 2= ∠ 3（等量代换）.
由上可知：
两条直线被第三条直线所截，
如果有一对同位角相等，则内错角相等.
1.如图，直线DE截AB ，AC，构成8个角，指出所有的同位角，内错角，同旁内角.
解：两条直线是AB，AC，截线是DE，
同位角：∠2与∠5，∠4与∠7，∠1与∠8, ∠6和∠3；
内错角：∠4与∠5，∠1与∠6；
同旁内角：∠1与∠5，∠4与∠6.
E
D
C
B
A
8
7
6
5
4
3
2
1
E
D
C
B
A
8
7
6
5
4
3
2
1
变式：∠A与∠8是哪两条直线被哪条直线所截的角
它们是什么关系的角
∠A与∠5呢
∠A与∠6呢
1
2
(1)
同位角
1
2
(2)
1
2
(3)
1
2
(4)
1
2
(5)
同位角
同位角
同位角
2.识别哪些角是同位角、内错角、同旁内角.
1
2
(6)
1
2
(7)
1
2
(8)
1
2
1
2
(9)
(10)
同位角
内错角
同旁内角
2.识别哪些角是同位角、内错角、同旁内角.
3.如图，直线DE,BC被直线AB所截.
（1）∠1与∠2， ∠1和∠3，∠1和∠4各是什么角？
4
3
2
1
F
E
D
C
B
A
解：（1）∠1与∠2是内错角，
∠1和∠3同旁内角，
∠1和∠4是同旁内角.
温馨提示：解题之前要明确哪两条直线被哪条直线所截.
（2）如果∠1=∠4，那∠1与∠2相等吗？∠1与∠3互补吗？ 为什么？
解：(2)如果∠1=∠4，
由对顶角相等，得∠2=∠4，那么∠1=∠2.
因为∠3和∠4互补，即∠4+∠3=180°，
又因为∠1=∠4,所以∠4+∠3=180°,
即∠1与∠3互补.
4
3
2
1
F
E
D
C
B
A
截线 被截线 结构特征 相同点 公共特征
同位角
内错角
同旁内角
之间
之间
同侧
同旁
两旁
同旁
F
Z
U
都在截线同侧
都在被截线之间
这三类角都没有公共顶点
1 请举出生活中对顶角的例子.
2 如图，工人师傅用对顶角量角器量工件a，b边所夹的角，其中∠ 1的度数可以从仪器上读出.
试说明∠ 1的大小就是a，b边所夹角的大小的理由.
3 如图，直线a，b被直线c所截，
试找出图中所有的对顶角、同位角、内错角和同旁内角.
若∠ 1= ∠ 5=107°，求其他角的度数.
(
)
1
2
(
)
1
2
(
)
2
1
不是
是
不是
1.下列各图中， ∠1 ，∠2是对顶角吗？
2.如图，直线AB，CD，EF相交于点O.
(1)写出∠AOC, ∠BOE的补角；
解 ∠AOC的补角是∠AOD和∠COB;
∠BOE的补角是∠EOA和∠BOF.
A
E
D
B
F
C
O
(2)写出∠DOA, ∠EOC的对顶角；
∠DOA的对顶角是∠COB;
∠EOC的对顶角是∠DOF.
(3)如果∠AOC =50°,求∠BOD ，∠COB的度数.
∠BOD=∠AOC= 50°；∠COB=180°-∠AOC=130°.
A
E
D
B
F
C
O
C
A
D
B
C
E
3.如图，∠DAB和∠ABC的位置关系是（ ）
A.同位角
B.同旁内角
C.内错角
D.以上结论都不对
4.如图，∠1和∠2不能构成同位角的图形是（ ）
D
5. （1）如图1，若ED，BF被AB所截，则∠1与____是同位角.
（2）如图2，若ED，BC被AF所截，则∠3与___ 是内错角.
∠2
∠4
图1
图2
(3)如图3，∠1与∠3是AB和AF被_____所截构成的 __ 角；
(4)如图4，∠2与∠4是 和 被BC所截构成的______角.
DE
内错
AB
AF
同位
图3
图4
A
B
C
D
E
O
解：∵OA平分∠EOC,
∴∠AOC= ∠EOC=35°,
∴∠BOD=∠AOC=35°.
6.如图，直线AB,CD相交于点O， ∠EOC=70°，OA平分∠EOC，
求∠BOD的度数.
7.学校与游乐场所在的角
形成一对（　　　）角；
学校与超市所在的角
形成一对（　　　　）角；
学校与飞机场所在的角
形成一对（　　　）角.
同位
同旁内
内错
生活中的数学：三线八角手势记忆法
同位角
内错角
同旁内角
相交直线所成的角
对顶角
对顶角相等
三线八角
同位角、内错角、同旁内角