4.3 平行线的性质 课件（共56张PPT）2024-2025学年数学湘教版七年级下册

(共56张PPT)
4.3 平行线的性质
1.平移前后的图形的形状和大小完全相同;
2.对应线段平行且相等.
平移的概念
平移的性质
平移
问题1 同一平面内两条直线的位置关系有哪几种？
问题2 直线平行的定义是什么？
问题3 你学了平行线的哪些内容？
相交（包括垂直）、重合和平行.
在同一平面内，不相交的两条直线平行.
平行于同一条直线的两条直线平行.
过直线外一点有且只有一条直线与这条直线平行.
如图，已知AB∥CD.
（1）图中有几对同位角？
（2）比较其中一对同位角的大小，
由此你能猜想出什么结论？
由图可知，图中有4对同位角.
经比较，可以发现每对同位角都相等，
并由此猜想：
如果两条平行直线被第三条直线所截，那么同位角相等.
下面来说明这个猜想是真的.
如图，直线AB与直线CD平行，
它们被直线EF所截，
交点分别为点M，N，
则∠EMB和∠END是一对同位角，
分别记作∠α和∠β.
将直线AB平移，
移动方向为点M到点N的方向，
移动距离等于线段MN的长度，
则点M的对应点是点N，
射线ME的像是射线NE，
直线AB的像是与它平行且经过点N的直线.
又已知CD∥AB且CD经过点N，
根据平行线的基本事实得，
直线AB的像是直线CD，
从而射线MB的像是射线ND，
于是∠α的像是∠β.
根据平移的知识得，∠α=∠β.
若AB与CD不平行，则∠α与∠β还会相等吗？
A
B
C
D
α
β
由此可得平行线的性质1：
两条平行直线被第三条
直线所截，同位角相等.
通常简单说成：
两直线平行，同位角相等.
b
1
2
a
c
∴∠1=∠2
（两直线平行，同位角相等）
∵a∥b（已知）
应用格式:
小明在纸上画了一个角∠A，准备用量角器测量它的度数时，因不小心将纸片撕破，只剩下如图的一部分，如果不能延长DC、FE的话，你能帮他测出∠A的度数吗？
D
C
E
F
A
A
G
G
1
2
两条平行直线被第三条直线所截，一对内错角的大小有什么关系？
之前的学习中，我们利用“同位角相等，两直线平行”推出了“内错角相等，两直线平行”.
类似的，已知两直线平行，同位角相等， 那么能否推出内错角之间的数量关系？
如图，两条平行直线AB，CD被直线EF所截， ∠ 1与∠ 2是内错角.
因为AB∥CD，
所以∠ 1= ∠ 4（两直线平行，同位角相等）.
又因为∠ 2= ∠ 4（对顶角相等），
所以∠ 1= ∠ 2（等量代换）.
A
B
C
D
E
F
由此可得平行线的性质2：
两条平行直线被第三条
直线所截，内错角相等.
通常简单说成：
两直线平行，内错角相等.
b
1
2
a
c
3
∴∠2=∠3
（两直线平行，内错角相等）
∵a∥b（已知）
应用格式:
如图，AB//CD，你能确定∠B、∠D与∠BED 的大小关系吗？
B
D
C
E
A
解：过点E 作EF//AB．
∴∠B=∠BEF．
∵AB//CD．
∴EF//CD．
F
B
D
C
E
A
∴∠D =∠DEF．
∴∠B＋∠D＝∠BEF＋∠DEF
＝∠DEB．
即∠B＋∠D＝∠DEB．
F
A
B
C
D
E
当左边有两个角，右边有一个角时：
∠A+∠C= ∠E
变式：如图，AB∥CD， 则：
如图，AB∥CD， 则：
当左边有两个角，右边有两个角时：
∠A+∠F= ∠E +∠D
C
A
B
D
E
F
如图，AB∥CD， 则：
当左边有三个角，右边有两个角时：
∠A+∠F1 +∠C =∠ E1+∠E2
E1
C
A
B
D
E2
F1
如图，AB∥CD，若左边有n个角，右边有m个角；你能找到规律吗？
当左边有n个角，右边有m个角时：
∠A+∠F1 + ∠ F2 +…+ ∠Fn= ∠E1 +∠E2 +…+ ∠Em+ ∠D
C
A
B
D
E1
F1
E2
Em
F2
Fn
两条平行直线被第三条直线所截，
一对同旁内角有什么关系？
为什么？
如图， ∠ 1与∠ 3是同旁内角.
因为AB//CD，
所以∠ 1= ∠ 4（两直线平行，同位角相等）.
又因为∠ 3+ ∠ 4=180°，
所以∠ 1+ ∠ 3=180°（等量代换）.
A
B
C
D
E
F
由此可得平行线的性质3：
两条平行直线被第三条
直线所截，同旁内角互补.
通常简单说成：
两直线平行，同旁内角互补.
b
1
2
a
c
4
∴∠2+∠4=180°
（两直线平行，同旁内角互补）
∵a∥b（已知）
应用格式:
1.如图，是一块梯形铁片的残余部分，量得∠A=100°，∠B=115°，梯形的另外两个角分别是多少度？
A
B
C
D
解：因为梯形上、下底互相平行，所以
∠A与∠D互补， ∠B与∠C互补.
于是∠D=180 °-∠A=180°-100°=80°.
∠C= 180 °-∠B=180°-115°=65°.
解：过点E 作EF//AB．
∴∠B+∠BEF＝180°．
∵AB//CD．
∴EF//CD．
F
2.如图，AB//CD，探索∠B、∠D与∠DEB的大小关系 .
∴∠D +∠DEF＝180°．
∴∠B＋∠D+∠DEB
＝∠B＋∠D+∠BEF＋∠DEF
＝360°．
即∠B＋∠D＋∠DEB＝360°．
F
变式：如图所示，AB∥CD，则 :
C
A
B
D
E
当有一个拐点时：
∠A+∠E+∠C= 360°
如图所示，AB∥CD，则 :
A
C
D
B
E2
E1
当有两个拐点时：
∠A+∠ E1 + ∠ E2 +∠C = 540°
如图所示，AB∥CD，则 :
当有三个拐点时：
∠A+∠ E1 + ∠ E2 +∠ E3 +∠C = 720°
A
B
C
D
E1
E2
E3
如图所示，AB∥CD，若有n个拐点，你能找到规律吗？
…
A
B
C
D
E1
E2
En
当有n个拐点时：
∠A+∠ E1 + ∠ E2 +…+
∠ En +∠C = 180°（n+1）
例1 如图，直线AB，CD被直线EF所截，
AB//CD， ∠ 1=100°，试求∠ 3的度数.
解 因为AB//CD，
所以∠ 1= ∠ 2=100°
（两直线平行，同位角相等）.
又因为∠ 2+ ∠ 3=180°，
所以∠ 3=180°- ∠ 2=180°-100°=80°.
在例1中，分别利用平行线的性质2和性质3求出∠ 3的度数.
①如图所示，因为AB∥CD，
所以∠ 5= ∠ 1=100°
（两直线平行，内错角相等）.
因为∠ 5+ ∠ 3=180°，
所以∠ 3=180°- ∠ 5=180°-100°=80°.
②如图所示，因为AB//CD，
所以∠ 1+∠ 4=180°
（两直线平行，同旁内角互补）.
因为∠ 1=100°，所以∠ 4=180°-100°=80°.
因为∠ 3= ∠ 4（对顶角相等），所以∠ 3=80°.
例2 如图，AD//BC， ∠ B= ∠ D，
试问∠ A与∠ C相等吗？为什么？
解 因为AD//BC，
所以根据平行线的性质3可得：
∠ A+ ∠ B=180°， ∠ D+ ∠ C=180°.
又因为∠ B= ∠ D（已知），
所以∠ A= ∠ C.
1 填空：
（1）如图，因为AB//CD，所以∠1= ，
理由是 ；
（2）如图，因为AB//CD，所以∠D= ，
理由是 .
∠ A
∠ 2
两直线平行，同位角相等
两直线平行，内错角相等
2 如图，AB//CD//EF，BC//ED， ∠ B=70°，求∠ C， ∠ D和∠ E的度数.
∠ C=70°，
∠ D=110°，
∠ E=110°.
3 如图，直线AB，CD被直线EF所截，AB//CD，
∠ 1=105°，求∠ 2， ∠ 3， ∠ 4的度数.
∠ 2 =105°，
∠ 3=75°，
∠ 4=105°.
4 如图，已知AB//CD，AP平分∠ BAC，CP平分∠ ACD，
∠ 1+ ∠ 2=90°吗？
∠ 1+ ∠ 2=90°.
1.如图，已知平行线AB、CD被直线AE所截.
(1)从 ∠1=110o可以知道∠2 是多少度,为什么？
(2)从∠1=110o可以知道 ∠3是多少度,为什么？
(3)从 ∠1=110o可以知道∠4 是多少度,为什么？
2
3
E
1
4
A
B
D
C
解：( 1 ) ∠2=110o
∵两直线行，内错角相等；
（2）∠3=110o
∵两直线平行， 同位角相等；
（3） ∠4=70o
∵两直线平行，同旁内角互补.
2
3
E
1
4
A
B
D
C
解：∠C=142o
∵两直线平行，内错角相等.
B
C
2.如图，一条公路两次拐弯前后两条路互相平行.
第一次拐的∠B是142o，第二次拐的∠C是多少度？为什么？
3.如图直线 a ∥ b,直线 b 垂直于直线 c ，
则直线 a 垂直于直线c 吗
a
b
c
解： a ⊥ c .
∵两直线平行, 同位角相等.
4.如果有两条直线被第三条直线所截，那么必定有（ ）
A.内错角相等.
B.同位角相等.
C.同旁内角互补.
D.以上都不对.
D
5.如图1，若AB∥DE ，AC∥DF，
请说出∠A和∠D之间的数量关系，并说明理由.
解: ∠A =∠D.理由：
∵ AB∥DE( 　)
∴∠A=_______ ( )
P
F
C
E
B
A
D
图１
已知
∠CPE
两直线平行，同位角相等
∵AC∥DF( )
∴∠D=______ ( )
∴∠A=∠D ( )
P
F
C
E
B
A
D
图１
已知
∠CPE
两直线平行，同位角相等
等量代换
如图2，若AB∥DE ，AC∥DF，
请说出∠A和∠D之间的数量关系，并说明理由.
解: ∠A+∠D=180o. 理由：
∵ AB∥DE( 　)
∴∠A= ______ ( )
图2
F
C
E
B
A
D
P
已知
∠CPD
两直线平行，同位角相等
∵AC∥DF( )
∴∠D+ _______=180o( )
∴∠A+∠D=180o（ ）
图2
F
C
E
B
A
D
P
已知
∠CPD
两直线平行，同旁内角互补
等量代换
平行线的性质：
两直线平行，同位角相等；
两直线平行，内错角相等；
两直线平行，同旁内角互补.