4.5.1 垂线 课件（共49张PPT）2024-2025学年数学湘教版七年级下册

(共49张PPT)
4.5 垂 线
4.5.1 垂 线
内错角相等，两直线平行.
同位角相等，两直线平行.
内错角相等，两直线平行.
同旁内角相等，两直线平行.
同旁内角相等，两直线平行.
同位角相等，两直线平行
内错角相等，两直线平行
同旁内角互补，两直线平行
平行于同一直线的两直线平行
平行线的定义
判定两条直线是否平行
的方法
下图两条直线的位置关系在日常生活中很常见，你能再举出其他例子吗？
活动：在相交线的模型中，固定木条a，转动木条b，
当b的位置变化时，a、b所成的角α也会发生变化.
）
α
a
b
b
b
b
b
）
α
将宣传栏的上下边框与两侧边框均看作直线，如图所示，则上下两条直线与左右两条直线分别相交成多少度的角？
都相交成90°的角
如图，当∠AOC＝90°时，
∠BOD、∠AOD、∠BOC等于多少度？
为什么？
A
B
C
D
O
解：由对顶角和邻补角的性质，
当∠AOC＝90°时，∠BOD=∠AOD=∠BOC=90°.
如图，
在同一平面内的两条直线相交所成的四个角中，
若有一个角是直角
（此时可知其余三个角也是直角），
则称这两条直线互相垂直.
其中一条直线叫作另一条直线的垂线，
它们的交点叫作垂足.
垂直用符号“⊥”表示.
如图，直线AB与CD互相垂直（O为垂足），
记作“AB⊥CD”，
读作“AB垂直于CD”.
如果用l、m表示这两条直线，
那么直线l与直线m垂直，
可记作：l⊥m（或m ⊥ l）.
读作“l垂直于m”（或m垂直于l ）.
l
m
垂直的表示法
注意：
两条线段互相垂直是指这两条线段所在的直线互相垂直.
你能借助三角尺在一张白纸上画出两条互相垂直的直线吗？
如果只有直尺，你能在方格纸上画出两条互相垂直的直线吗？
你能用纸折出两条互相垂直的直线吗
A
B
C
D
O
符号语言：
如图，当直线AB与CD相交于O点，∠AOD=90°时，
AB⊥CD，垂足为O.
①判定：∵∠AOD=90°,（已知）
∴AB⊥CD.（垂直的定义）
A
B
C
D
O
符号语言：
反之，若直线AB与CD垂直，垂足为O，那么∠AOD=90°.
②性质：∵ AB⊥CD ,（已知）
∴ ∠AOD=90° .（垂直的定义）
(∠AOC=∠BOC=∠BOD=90°)
（1）如图1，若直线m、n相交于点 O，
∠1＝90°, 则 ；
（2）若直线AB、CD相交于点O，
且AB⊥CD，那么∠BOD =______；
O
n
1
m⊥n
90°
图1
m
（3）如图2，BO⊥AO，
∠BOC与∠BOA的度数之比为1∶5，
那么∠COA＝____，
∠BOC的补角为 .
B
C
A
O
72°
162°
图2
两条直线互相垂直的情形在生活中随处可见.
举出教室内一些互相垂直的实例，并与同学交流.
若两条直线相交所成的四个角中没有直角，
则称其中一条直线为另一条直线的斜线.
如图，直线CD是AB的斜线，
同样，直线AB也是CD的斜线.
（1）如图，在同一平面内，如果直线a⊥l，b⊥l，那么a//b 吗？
（1）如图，因为a⊥l，b⊥l，
所以∠1=∠2=90°，
所以a∥b
（同位角相等，两直线平行）.
解法2：如图，
因为 a⊥l，b⊥l (已知)，
所以∠3=∠4=90°(垂直定义)，
所以a∥b (内错角相等，两直线平行).
3
4
解法3：如图，
因为 a⊥l，b⊥l(已知)，
所以∠3=∠2=90°(垂直定义)，
所以∠3+∠2=180°，
所以a∥b(同旁内角互补，两直线平行).
3
4
（2）如图，在同一平面内，如果直线a∥b，l⊥a，那么l⊥b吗？
（2）如图，因为l⊥a，
所以∠ 1=90°.
因为a//b，
所以∠ 2= ∠ 1=90°（两直线平行，同位角相等），
因此l⊥b.
例1 在如图所示的简易屋架中，BD，AE，HF都垂直于CG.
若∠ 1=60°，求∠ 2的度数.
解 因为BD，AE都垂直于CG，
所以BD//AE
（在同一平面内，垂直于同一条直线的两条直线平行），
从而∠ 2= ∠ 1=60°
（两直线平行，同位角相等）.
例2 如图，在△ABC中，CD⊥AB于点D.
∠ 1= ∠ 2，求∠ BEF的度数.
解 因为CD⊥AB，
所以∠ BDC=90°.
又因为∠ 1= ∠ 2，
所以DC//EF（同位角相等，两直线平行）.
所以∠ BEF= ∠ BDC=90°（两直线平行，同位角相等）.
题1 如图，直线BC与MN相交于点O，AO⊥BC，∠BOE＝∠NOE，若∠EON＝20°，求∠AOM和∠NOC的度数．
解：∵∠BOE＝∠NOE，
∴∠BON＝2∠EON＝40°，
∴∠NOC＝180°－∠BON
＝180°－40°＝140°，
∠MOC＝∠BON＝40°.
∵AO⊥BC，
∴∠AOC＝90°，
∴∠AOM＝∠AOC－∠MOC＝90°－40°＝50°，
∴∠NOC＝140°，∠AOM＝50°.
题2 如图，为了说明示意图中的平安大街与长安街是互相平行的，在地图上量得∠1=90°，
你能通过度量图中已标出的其他
的角来验证这个结论吗？说出你的理由.
解：方法1：测出∠3=90°，
理由是同位角相等，两直线平行.
方法2：测出∠2=90°，
理由是同旁内角互补，两直线平行.
方法3：测出∠5=90°，
理由是内错角相等，两直线平行.
方法4：测出∠2，∠3，∠4，∠5中任意一个角为90°，
理由是垂直于同一直线的两直线平行.（答案不唯一）
1 如图，直线AB，CD相交于点O，EO⊥CD， ∠ BOE=60°，
求∠ AOC的度数.
解：因为EO⊥CD，所以∠ EOD=90°.
因为∠ BOE=60°， ∠ BOD+ ∠ BOE= ∠ EOD，
所以∠ BOD= ∠ EOD- ∠ BOE=90°-60°=30°.
所以∠ AOC= ∠ BOD=30°.
2 如图，DA⊥AB，CD⊥DA， ∠ B=56°，求∠ C的度数.
解：因为DA⊥AB，CD⊥DA，
所以DC//AB.所以∠ B+ ∠ C=180°.
因为∠ B=56°，
所以∠ C=180°- ∠ B=180°-56°=124°.
1.两条直线相交所成的四个角，
下列条件中能判定两条直线垂直的是( )
A. 有两个角相等 B.有两对角相等
C. 有三个角相等 D.有四对邻补角
C
2.找出图中互相垂直的线段：
AO ⊥ CO
BO ⊥DO
A
B
C
D
O
3.已知：如图，AB⊥CD，垂足为O，EF为过点O的一条直线，
则∠1与∠2的关系一定成立的是（ ）
A.相等 B.互余
C.互补 D.互为对顶角
A
B
C
D
E
F
O
1
2
D
4.如图，已知直线AB、CD都经过O 点，OE为射线，
若∠1＝35°,∠2=55°，则OE与AB的位置关系是 .
垂直
D
C
A
B
O
E
1
2
1.垂线的定义
当两条直线相交所成的四个角中，有一个角是直角时，这两条直线互相垂直，其中一条直线叫另一条直线的垂线，它们的交点叫垂足.
2.垂线的性质
在平面内垂直于同一条两条直线平行.
在平面内，如果一条直线垂直于两条平行线中的一条，那么这条直线必垂直于另一条.