4.5.2 垂线段与点到直线的距离 课件（共45张PPT）2024-2025学年数学湘教版七年级下册

(共45张PPT)
4.5 垂 线
4.5.2 垂线段与点到直线的距离
1.垂线的定义
当两条直线相交所成的四个角中，有一个角是直角时，这两条直线互相垂直，其中一条直线叫另一条直线的垂线，它们的交点叫垂足.
2.垂线的性质
在平面内垂直于同一条两条直线平行.
在平面内，如果一条直线垂直于两条平行线中的一条，那么这条直线必垂直于另一条.
在灌溉时，要把河中的水引到农田P处，如何挖掘能使渠道最短？请画出图来，并说明理由.
(1)画已知直线的垂线能画几条
(2)过直线上的一点画直线的垂线，这样的垂线能画几条
(3)过直线外的一点画直线的垂线，这样的垂线能画几条
.
.
任画一条直线 l，用三角板或量角器过任意一点 P 画直线 l 的垂线.
l
若直线l经过点P，
l
P
a
1.放
2.靠
3.移
4.画
问题：这样画 l 的垂线可以画几条？
若直线l不经过点P，
l
P
b
1.放
2.靠
3.移
4.画
问题：这样画 l 的垂线可以画几条？
若直线 l 经过点 P，
则直线 l 的垂线 a 的画法如图所示.
若直线l不经过点P，
则直线l的垂线b的画法如图所示.
由此可知，
无论点P在直线l上还是在直线l外，
过点P都只能画直线l的一条垂线.
理由如下：
假如过点P还有一条直线c，能使c⊥l，
则c//a（或c//b）.
又直线c与直线a（或直线b）有公共点P，
因此这是不可能的.
于是，可得关于垂线的基本事实：
在同一平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直.
注意：
（1）“过一点”中的点，可以在已知直线上，也可以在已知直线外；
（2）“有且只有”中，“有”指存在，“只有”指唯一性.
如图，设 PO 垂直于直线 l ，O 为垂足，线段 PO 叫作点 P 到直线 l 的垂线段.
经过点 P 的其他直线分别交直线 l 于点 A，B，C，D，…，线段 PA，PB，PC，PD，…都不是垂线段，称为斜线段.
比较图中 PA，PB，PO，PC，PD 五条线段的长度，哪条线段最短？
通过比较，我发现垂线段PO最短.
数学上已经证明这一发现是正确的.
你能用一句话表示这个结论吗？
通过比较，我发现垂线段PO最短.
直线外一点与直线上各点连接的所有线段中，垂线段最短.
通常简单说成：垂线段最短.
从直线外一点到这条直线的垂线段的长度，
叫作点到直线的距离，
例如，图中，垂线段PO的长度叫作点P到直线l的距离.
让我们回到本节课开始时提出的问题：
在灌溉时，要把河中的水引到农田P处，如何挖掘能使渠道最短？
m
垂线段最短
如图，三角形ABC中，∠C＝90°.
（1）分别指出点A到直线BC，点B到
直线AC的距离是哪些线段的长？
（2）三条边AB、AC、BC中哪条边最长？
为什么？
（1）点A到直线BC的距离是线段AC的长，
点B到直线AC的距离是线段BC的长.
（2）三条边AB、AC、BC中AB最长.
理由：连接线段外一点与线段上各点
的所有线段中，垂线段最短.
（1）量出图中点P到直线AB的距离.
（2）某单位要在河岸l上建一个水泵房引水到C处，如图所示，问建在哪个位置才最节省水管？
为什么？
如图所示，过点C作CA⊥l，垂足为A，这时在河岸l上的A处建一个水泵房引水到C处，才最节省水管.
直线外一点与直线上各点连接
的所有线段中，垂线段最短.
（3）由（1）（2）你会发现可以怎样求点到直线的距离？
由（1）（2）可知，
求点到直线的距离可以转化为求点到点的距离.
例3 如图，在△ABC中，∠ABC=90°，BD⊥AC，垂足为点D，AB=5，BC=12，AC=13.求：
（1）点A到直线BC的距离；
（2）点B到直线AC的距离.
解（1）因为∠ABC=90°，
所以AB⊥BC，点B为垂足，
所以线段AB即为点A到直线BC的垂线段.
因为AB=5，
所以点A到直线BC的距离为5.
（2）因为BD⊥AC，垂足为点D，
所以线段BD的长度即为点B到直线AC的距离.
因为S△ABC = ·BC·AB = ·AC·BD，
所以BD = = = .
所以点B到直线AC的距离为 .
1 如图，在△ABC中，∠A=90°，AB=3，AC=4，BC=5，求点A到
BC的距离，点C到AB的距离.
解：过点A作AD⊥BC，垂足为D，所以线段AD的长度即为点A到BC的距离.
因为 AB·AC= AD·BC,
所以AD= = .
D
因为∠BAC=90°，所以CA⊥AB.
所以线段AC的长度
即为点C到AB的距离.
所以点A到BC的距离是 ，点C到AB的距离是4.
D
2 某公园的4条纵横交错的人行道和一喷泉的示意图如图所示（比例
尺为1：5000），其中直线a，b，c，d表示人行道，点P表示喷泉.
量出点P到4条直线的距离，
并求出其实际距离.
3 如图，体育课上应该怎样测量同学们的跳远成绩？
解：体育课上，测量同学们的跳远成绩的方法是先过落地点作起跳线的垂线，
然后量取落地点到起跳线的垂线段的长度，
此长度就是同学们的跳远成绩.
1.过点P 向线段AB 所在直线引垂线，正确的是（ ）
A B C D
C
2.如图， AB⊥CD，∠ACB=90°，线段AC、BC、CD中最短的是 ( )
A. AC
B. BC
C. CD
D. 不能确定
D
A
B
C
C
3. P 是直线 AB 外一点，过点 P 作 PO⊥AB ，垂足为 O ，若 C 为直线 AB 上任意一点，则线段 PC 与线段 PO 的大小关系是（ ）
A. PC ＞ PO B. PC ＜ PO
C. PC ≥ PO D. PC ≤ PO
C
A
B
C
D
D
4.下列说法正确的是（ ）
A.线段AB叫做点B到直线AC的距离
B.线段AB的长度叫做点A到直线AC的距离
C.线段BD的长度叫做点D到直线BC的距离
D.线段BD的长度叫做点B到直线AC的距离
A
B
C
D
M
N
5.一辆汽车在直线形的公路AB上由A向B行驶，C、D 是分别位于公路AB两侧的加油站.
（1）设汽车行驶到公路AB上点M的位置时，
距离加油站C最近；行驶到点N的位置时，距离
加油站D最近，请在图中分别画出点M、N的位置；
（2）当汽车从A出发向B行驶时，在公路AB的哪一段路上距离C、D两加油站都越来越近？在哪一段路上距离加油站D越来越近，而离加油站C却越来越远？
在公路 AB 的 AM 段距离 C、D 两加油站都越来越近，在 MN 段距离加油站 D 越来越近，而加油站 C 却越来越远.
A
B
C
D
M
N
6.如图，平原上有A，B，C，D 四个村庄，为解决当地缺水问题，政府准备修建一个蓄水池.
（1）不考虑其他因素，请你画图确定蓄水
池H 点的位置，使它到四个村庄距离之和最小；
（2）计划把河水引入蓄水池 H 中，怎样开渠最短并说明根据.
H
解：（1）∵两点之间线段最短，
∴连接AD，BC 交于 H ，
则 H 为蓄水池位置，
它到四个村庄距离之和最小.
（2）过 H 作 HG⊥EF ，垂足为 G .
“过直线外一点与直线各点的连线中，垂线段最短”是把河水引入蓄水池 H 中开渠最短的根据.
G
H
1.垂线的画法
2.垂线的性质
（1）过一点有且只有一条直线与已知直线垂直；
一、放；二、靠；三、移 ；四、画.
3.点到直线的距离
（2）垂线段最短.