5.1.2 轴对称 课件（共41张PPT）2024-2025学年数学湘教版七年级下册

(共41张PPT)
5.1 轴对称
5.1.2 轴对称
轴对称图形
定义
现象
一个图形具有的特殊形状
如果将一个图形沿着一条直线对折，直线两侧的部分能够互相重合，那么这个图形就是一个轴对称图形，这条直线就是它的一条对称轴
观察下面图形的特点？
观察与思考
如图：将一张长方形形的纸对折，然后用笔尖扎出“14”这个数字，将纸打开后铺平：
（1）两个“14”有什么关系？
（2）设折痕所在直线为l，连接点E和E′的线段和l有什么关系？
点F和F′呢？
打开
与直线l垂直.
成轴对称.
（3）线段AB与A′B′，CD与C′D′有什么关系？
（4）∠1与∠2有什么关系？∠3与∠4呢？
打开
AB∥A′B′，CD∥C′D′.
∠1=∠2，∠3=∠4.
在图中，△ABC和△A'B'C'关于直线l对称，
点P的对应点是点P'，线段PP'交直线l于点D.
线段PP'与对称轴l之间有什么关系？
线段PP'被对称轴l垂直平分.
因为△ABC和△A'B'C'关于直线l对称，
所以将△ABC连同直线l沿对称轴l折叠，就得到△A'B'C'连同直线l.
在这个轴对称下，点P的对应点是点P'，点D的对应点是点D自身.
于是线段PD与线段P'D重合，∠1与∠2重合，
从而PD=P'D， ∠ 1= ∠ 2=90°.
因此l⊥PP'，且l平分PP'，
即直线l垂直平分线段PP'.
由此得到轴对称的基本性质：
成轴对称的两个图形中，对应点的连线被对称轴垂直平分.
因此，若两个图形关于一条直线对称，则其中一个图形上的任意一个点P与另一个图形上的对应点P'的连线PP'被这条直线垂直平分.
反过来，若两个图形的任意一组对应点的连线都被同一条直线垂直平分，则这两个图形关于这条直线对称.
特别地，若点P与点P'关于一条直线对称，
则线段PP'被这条直线垂直平分.
反过来，若线段PP'被一条直线垂直平分，
则点P与点P'关于这条直线对称.
在图中，将△ABC沿直线l折叠，
在这个轴对称下，
点A的对应点是点A'，点B的对应点是点B'，点C的对应点是点C'.
通过比较可以发现：
AB=A'B'，BC=B'C'，∠ABC=∠A'B'C'.
从这个例子以及大量的实践经验可以得出：
轴对称保持任意两点间距离不变，保持角的大小不变.
右图是一个轴对称图形：
（1）找出它的对称轴.
（2）连接点A与点A1的线段与对称轴
有什么关系？连接点B与点B1的线段呢？
A
A1
B
C
D
D1
C1
B1
3
4
1
2
与对称轴垂直.
（3）线段AD与线段A1D1有什么关系？
线段BC与B1C1呢？
（4）∠1与∠2有什么关系 ∠3与∠4呢？
B
C
D
D1
C1
B1
3
4
1
2
A
A1
AD=A1D1，BC=B1C1.
∠1=∠2，∠3=∠4.
例1 如图，已知直线l及直线外一点P，画一点P'，使它与点P关于直线l对称.
解 可以按以下步骤来画：
（1）过点P作 PQ ⊥ l ，交l于点O；
（2）在射线 OQ 上截取OP'=OP，
则点P'即为点P关于直线l的对称点.
问题1：如何画一个点的轴对称图形？
如图，已知线段AB和直线l，画出线段AB关于直线l的对称图形.
问题2：如何画一条线段的轴对称图形？
（1）如图，过点A作直线l的垂线，垂足为点O.
O
（2）在垂线上截OA'=OA，点A'就是点A关于直线l的对称点.
（3）用同样的方法作出点B关于直线l的对称点B'.
B ′
A ′
O
（4）连接A'B'. 则线段A'B'即为所求作的图形.
B ′
A ′
O
A
B
l
A
B
l
A ′
A ′
(B ′)
B ′
变式：
例2 如图，已知△ABC和直线l，画出△ABC关于直线l的对称图形.
问题3：如果有一个图形和一条直线，如何画出与这个图形关于这条直线对称的图形呢？
分析 要画△ABC关于直线l的对称图形，
只要作出三角形的顶点A，B，C关于直线l的对称点A ' ，B ' ，C ' ，
连接这些对称点即可.
解（1）如图，过点A作直线l的垂线，垂足为点O，在垂线上截取OA'=OA，点A'就是点A关于直线l的对称点；
（2）类似地，分别画出点B，C关于
直线l的对称点B'，C'；
（3）连接A'B'，B'C'，C'A'，
所得到的△A'B'C'即为△ABC关于直线l的对称图形.
画好△A'B'C'后，若将纸沿直线l折叠，两个三角形会重合吗？
作轴对称图形的方法
几何图形都可以看作由点组成.
对于某些图形，只要作出图形中一些特殊点（如线段端点）的对称点，
连接这些对称点，就可以得到原图形的轴对称图形.
先过直线l外一点分别画直线l的垂线段与斜线段，再利用轴对称变换说明垂线段最短，并将结果与同学交流.
1 已知直线AB和直线l相交于点O，
画出直线AB关于直线l的对称图形.
解：如图所示.
2 如图，△ABC与△A'B'C'关于直线MN成轴对称.
指出它们的对应顶点，
并分别找出三对相等的边和相等的角.
解：对应顶点：A与A' ，B与B' ，C与C'.
相等的边：AB=A'B'，BC=B'C'，AC=A'C'.
相等的角： ∠ A= ∠ A'， ∠ B= ∠ B'，
∠ C= ∠ C'.
1.如图，把下列图形补成关于直线l的对称图形.
m
A
B
C
(A ′)
C ′
B ′
2.如图，画△ABC关于直线m的对称图形.
B
A
C
D
E
F
G
H
l
3. 如图给出了一个图案的一半，虚线 l 是这个图案的对称轴.整个图案是个什么形状？请准确地画出它的另一半.
4.下面两个轴对称图形分别只画出了一半，请画出它们的另一半(直线L为对称轴).
解：如图所示.
5.如图，在2×2的正方形格纸中，有一个以格点为顶点的三角形ABC，请你找出格纸中所有与三角形ABC成轴对称且以格点为顶点的三角形，在下面所给的格纸中一一画出（所给的格纸未必全用）．
A
B
C
A
B
C
A
B
C
A
B
C
A
B
C
A
B
C
A
B
C
这样的三角形共有_____个.
5
轴对称的性质
对应点所连的线段被对称轴垂直平分
轴对称变换
作图方法
（1）找特征点；
（2）作垂线；
（3）截取等长；
（4）依次连线.