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学 科 数学 年 级 七 设计者
教材版本 沪科版 册、章 下册第6章
课标要求 ①了解无理数和实数，知道实数由有理数和无理数组成，了解实数与数轴上的点一一对应。 ②能用数轴上的点表示实数，能比较实数的大小。 ③能借助数轴理解相反数和绝对值的意义，会求实数的相反数和绝对值。 ④了解平方根、算术平方根、立方根的概念，会用根号表示数的平方根、算术平方根、立方根。 ⑤了解乘方与开方互为逆运算，会用平方运算求百以内完全平方数的平方根，会用立方运算求千以内完全立方数(及对应的负整数)的立方根，和会用计算器计算平方根立方根。 ⑥能用有理数估计一个无理数的大致范围。 ⑦了解近似数，在解决实际问题中，能用计算器进行近似计算，会按问题的要求进行简单的近似计算。
内容分析 本章是初中数学沪科版七年级下册第6章《实数》，属于《义务教育数学课程标准》中的“数与代数”领域中的“数与式”。教材通过平方根、立方根、无理数与实数等概念的引入，扩展了学生的数系认知，从有理数扩展到实数。这些内容是后续学习二次根式、一元二次方程以及函数等知识的基础。 教材通过生活实例，如正方形面积与边长的关系，引出平方根的概念，并通过类似的方法引出立方根。无理数的引入则通常通过探究学习的方式，让学生体验到“开不尽”的数的存在，从而建立无理数的概念。实数与数轴上的点的一一对应关系也是本章的重点内容，这有助于学生理解数形结合的思想。
学情分析 七年级学生在思维上正处于从具体形象思维向抽象逻辑思维的过渡阶段。他们对有理数的概念和运算有了较深的认识，但对无理数这一抽象概念的理解可能存在一定的困难。因此，在教学过程中，需要通过具体的例子和形象的教学手段，逐步建立起学生对实数的抽象概念。 学生的学习习惯上，已经具备了一定的独立思考和自主探究能力，但在合作交流方面可能还需要进一步的引导。此外，学生的运算水平有所提高，但在推理能力和数感方面仍有待加强。
单元目标 （一）教学目标 1.了解算术平方根、平方根、立方根的概念，会用根号表示数的平方根、立方根。 2.了解开方与乘方互为逆运算，会用平方运算求某些非负数的平方根，会用立方运算求某些数的立方根，会用计算器求平方根和立方根。 3.了解无理数和实数的概念，知道实数与数轴上的点一一对应，有序实数对与平面上的点一一对应，培养学生数形结合的能力。 4.能用有理数估计一个无理数的大致范围，培养学生的数感。 （二）教学重点、难点 重点：平方根、立方根的概念和实数与数轴上的点的一一对应关系 难点：平方根的概念、无理数的概念。
单元知识结构框架及课时安排 （一）单元知识结构框架 （二）课时安排 课时编号单元主要内容课时数6.1平方根、立方根26.2无理数和实数2第6章小结与复习1
达成评价 课题课时目标达成评价评价任务6.1.1 平方根1.了解平方根、算术平方根的概念，会用根号表示数的平方根、算术平方根。 2.了解乘方与开方互为逆运算，会用平方运算求百以内完全平方数的平方根。 3.会用计算器求一个正数的算术平方根或它的近似值。1.能求各数的平方根和算术平方根。 2.会用计算器求一个正数的算术平方根或它的近似值。任务一：新知导入，通过探究生活实例引入平方根的概念。 任务二：合作交流，探究算术平方根和开平方。 任务三：例题探究，求各数的平方根和算术平方根 任务四：巩固练习，课堂小结6.1.2 立方根1.学生需要了解立方根的概念，能够用根号表示一个数的立方根。 2.能够类比平方根的方法学习立方根及开立方运算，并区分立方根与平方根的不同。 3.会用计算器求一个数的立方根或它的近似值。1.能够用根号表示一个数的立方根。 2.会求一个数的立方根。任务一：复习导入，并通过探究生活实例引入立方根的概念。 任务二：探究新知，探究如何求立方根。 任务三：例题探究，求各数的立方根。 任务四：巩固练习，课堂小结6.2.1 实数的概念及其分类1.了解无理数和实数的意义，掌握实数的分类 2.能够判断一个数是有理数还是无理数。能够判断一个数是有理数还是无理数。任务一：复习导入，回顾有理数的概念。 任务二：探究新知，探究无理数与实数。 任务三：探究实数的分类6.2.2 实数大小比较及运算1.了解实数与数轴上的点一一对应。能用数轴上的点表示实数，能比较实数的大小。 2.理解实数的大小比较方法，能够熟练地进行大小比较。1.能用数轴上的点表示实数，能比较实数的大小。 2.能运用实数的大小比较方法进行大小比较。任务一：问题驱动，合作交流。 任务二：探究新知，了解实数与数轴上的点一一对应。探究实数的大小比较方法。 任务三：例题探究，比较大小。 任务四：巩固练习，课堂小结第6章 小结与复习1.复习巩固算术平方根、平方根、立方根的概念，会用根号表示数的平方根、立方根。 2.会用平方运算求某些非负数的平方根，会用立方运算求某些数的立方根，会用计算器求平方根和立方根。 3.深入理解无理数和实数的概念，知道实数与数轴上的点一一对应，有序实数对与平面上的点一一对应，培养学生数形结合的能力。1.会求平方根、立方根。 2.能用数轴上的点表示实数，能比较实数的大小。任务一：回顾与思考，回顾本章学习了什么。 任务二：自评与互评，检测知识是否过关。 任务三：巩固练习，进行习题自测。
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第六章 实数
6.2.1实数的概念及其分类
01
教学目标
02
新知导入
03
新知讲解
04
课堂练习
05
课堂小结
06
作业布置
01
教学目标
了解无理数和实数的意义，掌握实数的分类。
01
能够判断一个数是有理数还是无理数。
02
培养学生的逻辑思维能力、分类能力和数形结合思想。
03
02
新知导入
有理数包括整数和分数，整数和分数可统一写成分数的形式（整数可以看作分母为1的分数）.
有理数总可写成(m,n是整数，且m≠0)的形式.例如，
2=，0.5= ，0. =.
任何有限小数和无限循环小数都可以写成分数的形式.
任何整数、分数都可以化为有限小数和无限循环小数，因此有理数是有限小数或无限循环小数.
03
新知探究
下图是由4条横线，5条竖线构成的方格网，它们相邻的行距、列距都是1．从这些纵横线相交得出的20个点（称为格点）中，我们可以选择其中４个格点作为顶点连接成一个正方形，叫做格点正方形．
（１）有面积分别是1,4,9 的格点正方形吗？
（２）有面积是2的格点正方形吗？把它画出来．
思考：还有与这些面积不相同的格点正方形吗？
03
新知探究
我们看到四个边长为1的相邻正方形的对角线就围成 一个面积为2的格点正方形，这种正方形的边长应是多少？
设这种正方形的边长为x，则x2=2．
因为x>0，所以x=．
新知探究
是一个怎样的数呢？
因为12=1<2，22=4>2，所以1<<2． ①
这说明不可能是整数．
请将1、2、用“<”连接起来.
在1和2之间的一位小数有1.1，1.2，，1.9，那么在哪两个一位小数之间呢？
因为1.42=1.96<2,1.52=2.25>2,所以1.4< <1.5②
新知探究
在1.4与1.5 之间的两位小数有1.41，1.42，…，1.49，那么在哪两个两位小数之间呢？
因为1.412=1.9881<2，1.422=2.0164>2，所以1.41<<1.42． ③
类似地，可得1.414< <1.415． ④
像上面这样一直（无限）做下去，我们可以得到：
=1.414213562… 。
新知探究
是一个无限不循环小数，因此它不是有理数．
此外， =1.732050807，
=1.442249570…，
π=3.141592653… ．
这些数都是无限不循环小数．
03
新知探究
无限不循环小数叫做无理数
无理数可分为正无理数与负无理数，如,π 是正无理数； , π是负无理数．
03
新知探究
探究二
实数
有理数和无理数统称为实数.
你能将实数进行分类吗？
实数
有理数
无理数
正有理数
零
负有理数
正无理数
负无理数
有限小数或无限循环小数
无限不循环小数
03
新知探究
有理数和无理数都有正负之分，因此实数也可以分类为：.
实数
正实数
负实数
零
正有理数
正无理数
负有理数
负无理数
03
新知讲解
把下列各数分类填入图中：
0，3，1，，，0. ，0.25，3.14，π，，，，，，，0.181 881 888(两个1之间依次增加一个8)
实数
有理数
无理数
0，3，1，，，0. ，0.25，3.14， ，
π， ，， ， ，0.181 881 888
04
课堂练习
【知识技能类作业】必做题：
1.下列各数中,为无理数的是 ( )
A.-1 B. C. D.π
2.已知均属于同一类数，不一定属于该类数，则这类数可以是（ ）
A．正有理数 B．负实数 C．整数 D．无理数
D
D
04
课堂练习
【知识技能类作业】必做题：
3.下列说法中,正确的是 ( )
A.无理数包括正无理数、零和负无理数
B.无限小数都是无理数
C.正实数包括正有理数和正无理数
D.实数可以分为正实数和负实数
C
04
课堂练习
【知识技能类作业】选做题：
4.在3.14,,4π,,-,0.123 45…中,无理数有________________个.
5.写出一个无理数，使它在和之间 ．
6.若|a-2|=2-a,则a= (请写出一个符合条件的无理数).
3
（答案不唯一）
（答案不唯一）
04
课堂练习
【综合拓展类作业】
7.把下列各数分别填入相应的大括号里.
+1.99，-5，-，0，-3.14，，6，π，-12.101 001…（相邻两个1之间逐次增加一个0）.
正数：｛ …｝；
整数：｛ …｝；
分数：｛ …｝；
无理数：｛ …｝.
+1.99，，6，π,
-5，0，6，
+1.99，-，-3.14，,
π，-12.101 001…（相邻两个1之间逐次增加一个0），
05
课堂小结
无限不循环小数叫做无理数.
有理数和无理数统称为实数.
实数
有理数
无理数
正有理数
零
负有理数
正无理数
负无理数
有限小数或无限循环小数
无限不循环小数
05
课堂小结
实数
正实数
负实数
零
正有理数
正无理数
负有理数
负无理数
06
作业布置
【知识技能类作业】
1.下面各正方形的边长是无理数的是 （ ）
A. 面积为25的正方形
B. 面积为的正方形
C. 面积为27的正方形
D. 面积为1.44的正方形
C
06
作业布置
【知识技能类作业】
2.下列说法正确的有（ ）.
（1）不存在绝对值最小 的无理数.
（2）不存在绝对值最小的实数.
（3）不存在与本身的算术平方根相等的数.
（4）比正实数小的数都是负实数.
（5）非负实数中最小的数是0.
A. 2个 B. 3个 C. 4个 D.5个
A
06
作业布置
【知识技能类作业】
3.若实数是一个有理数，则满足条件的x的最大负整数是________．
-7
06
作业布置
【综合拓展类作业】
4.如图,这是一个无理数筛选器的工作流程图.
(1)当x为9时,y的值为 .
(2)如果输入x值后,没有算术平方根,筛选器的屏幕显示“该操作无法运行”,请写出此时输入的x满足的条件: .
(3)当输出的y的值是时,输入x的值并不唯一,请写出两个满足要求的x的值: .
x<0
x=2或x=4
07
板书设计
无理数：
实数：
实数的分类：
6.2.1实数的概念及其分类
习题讲解书写部分
Thanks!
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分课时教学设计
第一课时《6.2.1实数的概念及其分类》教学设计
课型 新授课 复习课 试卷讲评课 其他课
教学内容分析 《实数的概念及其分类》是沪科版七年级下册第6章《实数》的第二节第一课时的内容。它扩展了学生对数的认识范围，从有理数拓展到了实数，包括有理数和无理数两大类。教材通过引入无理数的概念，揭示了现实空间中无限不循环小数的存在，并从本质上理解了无理数与有理数的区别。
学习者分析 学生在进入《实数的概念及其分类》这一课前，已经对有理数和平方根有了初步的了解，也掌握了计算器的简单运用。但七年级的学生思维仍较直观，无理数对他们来说显得比较抽象，难以理解。特别是无理数的“无限不循环”特性，这是学生需要克服的学习难点。因此，在教学过程中，教师需要注重启发式教学，引导学生通过自主思考、小组讨论等方式，逐步掌握实数的概念和分类。
教学目标 1.了解无理数和实数的意义，掌握实数的分类 2.能够判断一个数是有理数还是无理数。 3.通过问题导入、自主探究、合作交流等方式，激发学生的学习兴趣和探究欲望。 4.培养学生的逻辑思维能力、分类能力和数形结合思想。 5.培养学生严谨的数学态度和实事求是的科学精神。
教学重点 实数和无理数的概念及其分类。
教学难点 无理数的理解和识别，特别是其“无限不循环”的特性。
学习活动设计
教师活动学生活动环节一：新知导入教师活动1： 回顾： 有理数包括整数和分数，整数和分数可统一写成分数的形式（整数可以看作分母为1的分数）. 有理数总可写成(m，n是整数，且m≠0)的形式.例如， 2=，0.5= ，0. =. 任何有限小数和无限循环小数都可以写成分数的形式. 任何整数、分数都可以化为有限小数和无限循环小数，因此有理数是有限小数或无限循环小数.学生活动1： 跟随教师的讲授回顾旧知 举手回答问题，认真听讲活动意图说明：复习导入有利于衔接新旧知识，提高学习效率。通过旧知识引入新的知识有利于活跃课堂教学氛围，激发学生学习动机。环节二：讲授新知教师活动2： 思考 下图是由4条横线，5条竖线构成的方格网，它们相邻的行距、列距都是1．从这些纵横线相交得出的20个点（称为格点）中，我们可以选择其中4个格点作为顶点连接成一个正方形，叫做格点正方形． （1）有面积分别是1，4，9 的格点正方形吗？ （2）有面积是2的格点正方形吗？把它画出来． 思考：还有与这些面积不相同的格点正方形吗？ 我们看到四个边长为1的相邻正方形的对角线就围成一个面积为2的格点正方形，这种正方形的边长应是多少？ 探究一：无理数 是一个怎样的数呢？ 教师讲授：因为12=1<2，22=4>2，所以1<<2．①这说明不可能是整数． 教师提问：在1和2之间的一位小数有1.1，1.2，，1.9，那么在哪两个一位小数之间呢？ 教师讲授：因为1.42=1.96<2，1.52=2.25>2，所以1.4< <1.5② 教师提问：在1.4与1.5 之间的两位小数有1.41，1.42，…，1.49，那么在哪两个两位小数之间呢？ 教师讲授：因为1.412=1.9881<2，1.422=2.0164>2，所以1.41<<1.42． ③ 类似地，可得1.414< <1.415． ④ 像上面这样一直（无限）做下去，我们可以得到： =1.414213562… 。 教师讲授：是一个无限不循环小数，因此它不是有理数． 此外， =1.732050807， =1.442249570…， π=3.141592653… ． 这些数都是无限不循环小数． 定义：无限不循环小数叫做无理数. 教师讲授：无理数可分为正无理数与负无理数，如，π 是正无理数； ， π是负无理数． 探究二：实数 有理数和无理数统称为实数. 问题：你能将实数进行分类吗？ 教师讲授： 有理数和无理数都有正负之分，因此实数也可以分类为：. 学生活动2： 认真思考，合作交流 认真思考，举手回答问题 认真思考，举手回答问题 合作交流，经历探究无理数的过程 认真听讲，了解常见的无限不循环小数 认真听讲，了解什么是无理数 认真听讲，了解什么是事实 认真听讲，掌握实数的分类活动意图说明：学生通过合作探究不仅促进了学生的合作意识，还有利于提高学生解决问题的能力，能促进学生的全面发展。环节三：例题精析教师活动3： 1.把下列各数分类填入图中： 0，3，1，，，0. ，0.25，3.14，π，，，，，，，0.181 881 888(两个1之间依次增加一个8) 解: 有理数：0，3，1，，，0. ，0.25，3.14， ， 无理数：π， ，， ， ，0.181 881 888 2.判断正误(在题后的括号内打“√”或“×”): （1）无限小数都是无理数。（ ） （2）无限不循环小数是无理数。（ ） （3）无理数是带根号的数。（ ） （4）分数是无理数。（ ） 3.在， ， ， 和中，介于3和4之间的无理数有__________________.学生活动3： 学生认真思考，独立完成习题 学生认真听讲 学生认真思考，独立完成习题 学生认真听讲 活动意图说明：让学生通过具体例题的教学理解和巩固数学基础知识，把数学理论与实践相结合，掌握数学基础知识理论的用途和方法，从而达到提高分析问题解决问题的能力的目标。环节四：课堂总结教师活动4： 教师提问： 1.什么是无理数？ 2.什么是实数？ 3.怎么将实数进行分类？学生活动4： 学生跟随教师对学习内容进行归纳梳理 活动意图说明：对课堂教学进行归纳梳理，给学生一个整体印象，促进学生掌握知识总结规律。
板书设计
课堂练习 【知识技能类作业】 必做题： 1.下列各数中，为无理数的是 ( ) A.-1 B. C. D.π 2.已知均属于同一类数，不一定属于该类数，则这类数可以是（ ） A．正有理数 B．负实数 C．整数 D．无理数 3.下列说法中，正确的是 ( ) A.无理数包括正无理数、零和负无理数 B.无限小数都是无理数 C.正实数包括正有理数和正无理数 D.实数可以分为正实数和负实数 选做题： 4.在3.14，，4π，，-，0.123 45…中，无理数有________________个. 5.写出一个无理数，使它在和之间 ． 6.若|a-2|=2-a，则a= (请写出一个符合条件的无理数). 【综合拓展类作业】 7.把下列各数分别填入相应的大括号里. +1.99，-5，-，0，-3.14，，6，π，-12.101 001…（相邻两个1之间逐次增加一个0）. 正数：｛ …｝； 整数：｛ …｝； 分数：｛ …｝； 无理数：｛ …｝.
作业设计 【知识技能类作业】 必做题： 1.下面各正方形的边长是无理数的是 （ ） A. 面积为25的正方形 B. 面积为的正方形 C. 面积为27的正方形 D. 面积为1.44的正方形 2.下列说法正确的有（ ）. （1）不存在绝对值最小的无理数. （2）不存在绝对值最小的实数. （3）不存在与本身的算术平方根相等的数.[] （4）比正实数小的数都是负实数.[] （5）非负实数中最小的数是0. A. 2个 B. 3个 C. 4个 D.5个 3.若实数是一个有理数，则满足条件的x的最大负整数是________． 【综合拓展类作业】 4.如图，这是一个无理数筛选器的工作流程图. (1)当x为9时，y的值为 . (2)如果输入x值后，没有算术平方根，筛选器的屏幕显示“该操作无法运行”，请写出此时输入的x满足的条件: . (3)当输出的y的值是时，输入x的值并不唯一，请写出两个满足要求的x的值: .
教学反思 1.对于无理数概念的讲解可能过于抽象，导致学生理解不够深入。 2.课堂氛围不够活跃，部分学生参与度不高，需要进一步加强课堂互动。 3.对于实数大小的比较方法，部分学生掌握不够熟练，需要加强练习和巩固。
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