2025北师大版数学七年级下册同步练习 4.2 第1课时　等腰三角形的性质（含答案）

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2025北师大版数学七年级下册
2　简单的轴对称图形
第一课时　等腰三角形的性质
知能演练提升
能力提升
1.如图,在等腰三角形ABC中,AB=AC,点D为AC上一点,且AD=BD=BC,则∠A等于多少度
2.如图,AB与CD交于点O,且OA=OD,OB=OC。试说明AD∥CB。
3.如图,△ABC是等边三角形,△ACE是等腰三角形,∠AEC=120°,AE=CE,F为BC的中点,连接AF。
(1)求∠BAE的度数;
(2)判断AF与CE的位置关系,并说明理由。
4.如图,△ABC是等边三角形,D,E,F分别是AB,BC,AC上的点,且∠DEF=60°。
图(1)
图(2)
(1)若∠1=50°,求∠2的度数;
(2)连接DF,若DF∥BC,试说明∠1=∠3。
拓展探究
5.数学课上,张老师给出下面的例题:
【例1】在等腰三角形ABC中,∠A=110°,求∠B的度数。(答案:35°)
【例2】在等腰三角形ABC中,∠A=40°,求∠B的度数。(答案:40°或70°或100°)
张老师启发同学们进行变式,小敏编的题目如下:
【变式题】在等腰三角形ABC中,∠A=80°,求∠B的度数。
(1)请你解答上面的变式题。
(2)请继续探索,完成下面填空:在等腰三角形ABC中,∠A=60°,则∠B的度数为　　　　。
(3)根据以上探索,我们发现,在等腰三角形ABC中,∠A的度数不同,得到的∠B的度数的情况也可能不同。请你直接写出当∠A满足什么条件时,∠B能得到三个不同的度数。
参考答案
知能演练·提升
能力提升
1.解 设∠A=x°,因为AD=BD,所以∠ABD=∠A=x°,所以∠BDC=180°-∠ADB=180°-(180°-∠A-∠ABD)=∠A+∠ABD=2x°。因为BD=BC,所以∠C=∠BDC=2x°。因为AB=AC,所以∠ABC=∠C=2x°。在△ABC中,∠A+∠ABC+∠C=180°,所以x+2x+2x=180,解得x=36,所以∠A=36°。
2.解 因为OA=OD,所以∠A=∠D。因为OB=OC,所以∠C=∠B。因为∠AOD=∠BOC,∠AOD+∠A+∠D=180°,∠BOC+∠C+∠B=180°,所以∠A+∠D=∠C+∠B,即2∠A=2∠B,所以∠A=∠B,所以AD∥CB。
3.解 (1)因为△ABC是等边三角形,所以∠BAC=∠ACB=60°。因为EA=EC,∠AEC=120°,所以∠EAC=∠ECA=30°,所以∠BAE=∠BAC+∠CAE=90°。
(2)AF∥EC,理由如下:
因为AB=AC,BF=CF,所以AF⊥BC。因为∠ACB=60°,∠ACE=30°,所以∠BCE=90°,即EC⊥BC,所以AF∥EC。
4.解 (1)因为△ABC是等边三角形,所以∠B=∠A=∠C=60°。因为∠B+∠1+∠DEB=180°,∠DEB+∠DEF+∠2=180°,∠DEF=60°,所以∠1+∠DEB=∠2+∠DEB,所以∠2=∠1=50°。
(2)因为DF∥BC,所以∠2=∠3,由(1)可知,∠1=∠2,所以∠1=∠3。
拓展探究
5.解 (1)若∠A=80°为顶角,则∠B==50°;
若∠B是顶角,则∠A是底角,则∠B=180°-80°-80°=20°;
若∠C是顶角,则∠B与∠A都是底角,则∠B=∠A=80°。
综上所述,∠B的度数为50°或20°或80°。
(2)因为有一个角为60°的等腰三角形为等边三角形,所以∠B=60°,故答案为60°。
(3)分两种情况:设∠A=x°,
①当90≤x<180时,∠A只能为顶角,所以∠B的度数只有一种情况。
②当0若∠A为顶角,则∠B=()°;
若∠A为底角,∠B为顶角,则∠B=(180-2x)°;
若∠A为底角,∠B为底角,则∠B=x°。
当≠180-2x且180-2x≠x且≠x,即x≠60时,∠B有三个不同的度数。
综上所述,可知当0°<∠A<90°且∠A≠60°时,∠B有三个不同的度数。
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