2025北师大版数学七年级下册同步练习 4.3 第4课时　全等三角形的综合运用（含答案）

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2025北师大版数学七年级下册
第四课时　全等三角形的综合运用
知能演练提升
能力提升
1.(2024重庆沙坪坝区校级月考)如图,在Rt△ABC中,∠BAC=90°,AB=AC,分别过点B,C作过点A的直线的垂线BD,CE,垂足分别为D,E。
(1)试说明△ACE≌△BAD;
(2)若BD=3,CE=2,求DE的长。
2.(2024重庆沙坪坝区校级期末)如图,在△ABC中,D为BC边上的一点,AB=AC,且点E,F在线段AD上,且∠BED=∠DFC=∠BAC。
(1)试说明AF=BE;
(2)若BD=BC,S△BDE+S△AFC=6,求S△ABC。
拓展探究
3.(2024重庆沙坪坝区校级月考)如图,在Rt△ACB中,∠ACB=90°,△ABC的角平分线AD,BE交于点P,过点P作PF⊥AD交BC的延长线于点F,交AC于点H。
试说明(1)PA=PF;
(2)AB=AH+BD。
参考答案
知能演练·提升
能力提升
1.解 (1)因为∠BAC=90°,所以∠BAD+∠CAE=90°。因为BD⊥DE,所以∠D=90°,所以∠BAD+∠ABD=90°,所以∠ABD=∠CAE。因为CE⊥DE,所以∠E=90°。在△BAD和△ACE中,因为∠ABD=∠CAE,∠D=∠E,AB=AC,根据三角形全等的判定条件“AAS”,所以△BAD≌△ACE。
(2)因为△BDA≌△AEC,所以DA=CE=2,AE=DB=3,所以DE=DA+AE=5。
2.解 (1)因为∠BED=∠BAC,所以∠BAC-∠BAD=∠BED-∠BAD。又∠BED=180°-∠AEB=180°-(180°-∠BAD-∠ABE)=∠BAD+∠ABE,所以∠CAF=∠ABE。因为∠CFA+∠DFC=180°,∠AEB+∠BED=180°,且∠BED=∠DFC,所以∠CFA=∠AEB。在△AFC和△BEA中,因为∠CFA=∠AEB,∠CAF=∠ABE,CA=AB,根据三角形全等的判定条件“AAS”,所以△AFC≌△BEA,所以AF=BE。
(2)由(1)得△AFC≌△BEA,所以S△AFC=S△BEA,所以S△ABD=S△BDE+S△BEA=S△BDE+S△AFC=6。因为BD=BC,所以S△ABD=S△ABC,所以S△ABC=S△ABD=×6=21。
拓展探究
3.解 (1)因为∠ACB=90°,所以∠CAB+∠CBA=90°。又因为AD,BE分别平分∠BAC,∠ABC,所以∠BAD+∠ABE=(∠CAB+∠CBA)=45°,所以∠APB=135°,所以∠BPD=45°。又因为PF⊥AD,所以∠FPB=90°+45°=135°,所以∠APB=∠FPB。在△ABP和△FBP中,因为∠ABP=∠FBP,BP=BP,∠APB=∠FPB,根据三角形全等的判定条件“ASA”,所以△ABP≌△FBP,所以PA=PF。
(2)因为△ABP≌△FBP,所以∠BAP=∠F,PA=PF。因为∠BAP=∠CAD,所以∠F=∠CAD。在△APH和△FPD中,因为∠APH=∠FPD,PA=PF,∠PAH=∠F,根据三角形全等的判定条件“ASA”,所以△APH≌△FPD,所以AH=FD。又因为AB=FB,所以AB=FB=FD+BD=AH+BD。
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