安徽省马鞍山市2010届高二上学期学业水平测试（数学理）

马鞍山第二中学2010届高三第一学期期中素质测试
高三数学（理科）试题
命题人： 聂晓峰 审题人： 唐万树
一、选择题（本大题共10小题，在每小题给出的四个选项中，只有一个是正确的，请你将正确答案前面的英文字母填入答题卷答题栏内。每小题5分，计50分）
1．如果实数b与纯虚数z满足关系式(2-i)z=4-bi (其中i是虚数单位），那么b等于
A、-8 B、8 C、-2 D、2
2．已知集合M={x|}，N={x|x≤-3}，则?R(M∪N)等于
A、{x|x≤1} B、{x|x≥1} C、{x|x<1} D、{x|x>1}
3．给出下面结论：①命题p：“?x∈R，x2-3x+2≥0”的否定为?p：“?x∈R，x2-3x+2<0”； ②命题：“?x∈M，P(x)”的否定为：“?x∈M，P(x)”； ③若?p是q的必要条件，则p是?q的充分条件； ④“M>N”是“㏒aM>㏒aN”的充分不必要条件。其中正确结论的个数为
A、4 B、3 C、2 D、1
4．已知三个互不相等的实数a，b，c成等差数列，那么关于x的方程ax2+2bx+c=0
A、一定有两个不相等的实数根 B、一定有两个相等的实数根
C、一定没有实数根 D、一定有实数根
5．已知tan(α+β+)=，tan(β-)=-，则tan(α+)等于
A、1 B、 C、2 D、
6．已知等比数列{an}满足an>0，n=1,2,…,且a5?a2n-5=22n (n≥3)，则当n≥1时，log2a1+log2a3+…+log2a2n-1=
A、n(2n-1) B、(n+1)2 C、n2 D、(n-1)2
7．函数f(x)=(x-3)ex的单调递增区间是
A、(2,+∞) B、(0,3) C、(1,4) D、(-∞,2)
8．在⊿ABC中，若(a-c?cosB)sinB=(b-c?cosA)sinA，则这个三角形是
A、等腰三角形 B、直角三角形
C、等腰或直角三角形 D、等腰直角三角形
9．设函数f(x)定义如下表，数列{xn}满足x0=5，且对任意的自然数n均有xn+1=f(xn)，则x2009等于
x
1
2
3
4
5
f(x)
4
1
3
5
2
A、1 B、2 C、4 D、5
10．定义在R上的偶函数f(x)满足f(x+2)=f(x)，且f(x)在[-3，-2]上是减函数，又α、β是锐角三角形的两个内角，则
A、f(sinα)>f(sinβ) B、f(cosα)C、f(sinα)f(cosβ)
二、填空题（本大题5小题，每小题5分，计25分）
11．设等差数列的前项和为，若则 ；
12．已知点P(x,y)满足条件，则x2+y2的值域为 ；
13．把函数的图象向右平移个单位，再把所得图象上各点的横坐标变为原来的(纵坐标不变)，则所得图象的解析式为 ；
14．已知向量与的夹角为120o，若向量=+，且⊥，则的值为 ；
15．函数f(x)=为奇函数，则实数a的取值范围是 ；
三、解答题（本大题共6小题，计75分）
16．（12分）已知函数f(x)=sinωxcosωx-cos2ωx-（x∈R，ω>0）。
（1）若f (x)的图象中相邻的两条对称轴之间的距离不小于，求ω的取值范围；
（2）若f (x)的最小正周期为，求函数f (x)的最大值，并且求出使f (x)取得最大值的x的集合。
17．（12分）已知向量=(,-1)，=(,)且存在实数k和t使=+(t2-3)，=-k+ t，若⊥，试求的最小值。
18．（12分）已知不等式mx2-2mx+m-1<0。
（1）若对所有的实数x不等式恒成立，求m的取值范围；
（2）设不等式对于满足|m|<2的一切m的值都成立，求x的取值范围。
19．（12分）某处森林发生火灾，火势正以每分钟100m2的速度顺风蔓延，消防站接到警报立即调派消防员赶往火场，在火灾发生后五分钟到达救火现场，已知消防队员在现场平均每人每分钟灭火50m2，所消耗的灭火材料、劳务津贴等费用为每人每分钟125元，另附加每次救火所耗损的车辆、器械和装备等费用平均每人100元，而烧毁1m2森林损失费为60元，问应该派多少消防队员前去救火，才能使总的损失最少？
20．（13分）已知各项均为正数的数列{n }的前n项和Sn满足S1>1，且6Sn=(n +1)(n +2) (n为正整数）。
（1）求{n}的通项公式；
（2）设数列{bn}满足bn=，求Tn=b1+ b2+…+bn；
21．（14分）已知函数f (x)=。
（1）若函数f (x)在[1，+∞）上为增函数，求正实数的取值范围；
（2）当=1时，求f (x)在[，2]上的最大值和最小值。
（3）求证：对于大于1的正整数n，。
高三理科数学答案
一、ABCD,ACAC,BC
二、9 [2，10）y=sin4x 1/2 （0，1]
16．解：化简得 f (x)=sin(2ωx-)-1 ……
（1）依题有，ω≤1，所以ω的取值范围是（0，1] ……
（2）由得，ω=4，所以f (x)=sin(4x-)-1，故f (x)的最大值为0 ……
此时，令4x-=2kπ+（k∈Z），得x=， ……
故所求集合为{x|x=，k∈Z} ……
17．解：依题有，|a|=2，|b|=1，且a?b=0。 ……
由x⊥y，得x?y=0，即[a+(t2-3)b](-ka+tb)=0，化简得：k=， ……
∴=(t2+4t-3)=(t+2)2-，故t=-2时，有最小值为-。 ……
18．解：（1）记f (x)=mx2-2mx+m-1 依题，函数f (x)的图象全部在x轴下方。
当m=0时，有-1<0，恒成立 ……
当m≠0时，依题有，无解 ……
∴m的取值范围是m=1 ……
（2）记h (m)=m(x2-2x+1)-1（|m|<2），这是一个关于m的一次函数，其图象为一条线段（不含端点），依题当-2∴，即，解得≤ x ≤ ……
∴x的取值范围是[，] ……
19．解：设派出x名消防队员，用时t分钟，则总的费用W满足
W=100(5+t)×60+125xt+100x（x∈N，t>0）*，其中 50xt=100(5+t) ……
整理后代入*式得，W=≥2500+31450=33950
当且仅当，即x=27时，等号成立，此时总的费用最少 ……
故应派出27名消防队员前往灭火，可使总费用最少。 ……
20．解：（1）f ′(x)= 依题≥0在[1，+∞）上恒成立
即a≥在[1，+∞）上恒成立，∴a≥1 ……
（2）当a=1时，f ′(x)=，其中x∈[,2]， 而x∈[,1)时，f ′(x)<0；x∈(1,]时，f ′(x)>0， ∴x=1是f (x)在[，2]上唯一的极小值点，∴ [f (x)]min=f (1)=0 ……
又f ()-f (2)=-2ln2=>0，∴f ()>f (2)， ∴[f (x)]max=f ()=1-ln2
综上，a=1时，f (x)在[，2]上的最大值和最小值分别为1-ln2和0 ……
（3）若a=1时，由（1）知f (x)=在[1，+∞）上为增函数，
当n>1时，令x=，则x>1，故f (x)>f (1)=0，
即f ()=+ln=-+ln>0，∴ln> ……
21．解：（1）n=1时，6a1=且a1>1，∴a1=2 ……
当n≥2时，由an=Sn-Sn-1得，6an=
∴（an+an-1）（an-an-1-3）=0，又an>0(n∈N*)，∴an-an-1=3，
从而{an}为等差数列，an=3n-1 ……
（2）依题bn=，
当n为偶数时，Tn=(b1+b3+…+bn-1)+(b2+b4+…+bn)=…
当n为奇数时，Tn=(b1+b3+…+bn)+(b2+b4+…+bn-1)=…
∴Tn=
（3）依题cn=，
当n为奇数时，cn+2-cn=-=[3n+8-64(3n+2)]<0，∴cn+2∴数列c1，c3，c5，…，c2n-1，…递减。故c2n-1≤c1=<2009，
因此不存在满足条件的正整数N。