湖南省永州市江永民族中学2015届九年级（下）期中数学试卷（解析版）
文档属性
| 名称 | 湖南省永州市江永民族中学2015届九年级（下）期中数学试卷（解析版） |  | |
| 格式 | zip | ||
| 文件大小 | 215.9KB | ||
| 资源类型 | 教案 | ||
| 版本资源 | 湘教版 | ||
| 科目 | 数学 | ||
| 更新时间 | 2016-04-28 07:34:39 | ||
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文档简介
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2014-2015学年湖南省永州市江永民族中学九年级（下）期中数学试卷
一、选择题
1 .的相反数是（ ）
A．3 B．﹣3 C． D．
2．下列运算，正确的是（ ）
A．a3 a2=a5 B．2a+3b=5ab C．a6÷a2=a3 D．a3+a2=a5
3．下列从左边到右边的变形，是因式分解的是（ ）
A．（3﹣x）（3+x）=9﹣x2 B．m3﹣mn2=m（m+n）（m﹣n）
C．（y+1）（y﹣3）=﹣（3﹣y）（y+1） D．4yz﹣2y2z+z=2y（2z﹣yz）+z
4．下列几何体中，其主视图不是中心对称图形的是（ ）
A． B． C． D．
5．如图，下列条件中能判定直线l1∥l2的是（ ）
A．∠1=∠2 B．∠1=∠5 C．∠1+∠3=180° D．∠3=∠5
6．不等式2x﹣6＞0的解集在数轴上表示正确的是（ ）
A． B．
C． D．
7．已知（x﹣3）2+=0，则x+y的值为（ ）
A．2 B．﹣1 C．1 D．5
8．三角形在方格纸中的位置如图所示，则cosα的值是（ ）
A． B． C． D．
9．下列说法正确的是（ ）
A．一组数据2，5，3，1，4，3的中位数是3
B．五边形的外角和是540度
C．“菱形的对角线互相垂直”的逆命题是真命题
D．三角形的外心是这个三角形三条角平分线的交点
10．我们知道，一元二次方程x2=﹣1没有实数根，即不存在一个实数的平方等于﹣1．若我们规定一个新数“i”，使其满足i2=﹣1（即方程x2=﹣1有一个根为i）．并且进一步规定：一切实数可以与新数进行四则运算，且原有运算律和运算法则仍然成立，于是有i1=i，i2=﹣1，i3=i2 i=（﹣1） i=﹣i，i4=（i2）2=（﹣1）2=1，从而对于任意正整数n，我们可以得到i4n+1=i4n i=（i4）n i=，同理可得i4n+2=﹣1，i4n+3=﹣i，i4n=1．那么i+i2+i3+i4+…+i2014+i2015的值为（ ）
A．0 B．1 C．﹣1 D．i
二、填空题
11．钓鱼岛列岛是我国固有领土，共由8个岛屿组成，其中最大的岛是钓鱼岛，面积约为4.3平方公里，最小的岛是飞濑屿，面积约为0.0008平方公里．请用科学记数法表示飞濑屿的面积约为 平方公里．
12．将抛物线y=x2+1向下平移2个单位，则此时抛物线的解析式是 ．
13．一副扑克牌52张（不含鬼牌），分为黑桃、红心、方块、及梅花4种花色，每种花色各有13张，从这副牌中任意抽取一张，则这张牌是红心的概率是 ．
14．函数y=中，自变量x的取值范围是 ．
15．已知一次函数y=kx+b的图象经过A（1，﹣1），B（﹣1，3）两点，则k 0（填“＞”或“＜”）
16．定义为二阶行列式．规定它的运算法则为=ad﹣bc．那么当x=1时，二阶行列式的值为 ．
17．如图，已知△ABC内接于⊙O，BC是⊙O的直径，MN与⊙O相切，切点为A，若∠MAB=30°，则∠B= 度．
18．如图，两个反比例函数y=和y=在第一象限内的图象分别是C1和C2，设点P在C1上，PA⊥x轴于点A，交C2于点B，则△POB的面积为 ．
19．已知+=0，则的值为 ．
20．电脑系统中有个“扫雷”游戏，要求游戏者标出所有的雷，游戏规则：一个方块下面最多埋一个雷，如果无雷，掀开方块下面就标有数字，提醒游戏者此数字周围的方块（最多八个）中雷的个数（实际游戏中，0通常省略不标，为方便大家识别与印刷，我把图乙中的0都标出来了，以示与未掀开者的区别），如图甲中的“3”表示它的周围八个方块中仅有3个埋有雷．图乙是张三玩游戏中的局部，图中有4个方块己确定是雷（方块上标有旗子），则图乙第一行从左数起的七个方块中（方块上标有字母），能够确定一定是雷的有 ．（请填入方块上的字母）
三、解答题（本大题共7个小题，共70分）
21．计算：﹣（）﹣1+（﹣1）2013．
22．先化简，再求值：（ +）÷，其中x=2．
23．我县为了了解2015年初中毕业生毕业后的去向，对部分初三学生进行了抽样调查，就初三学生的四种去向（A．读普通高中； B．读职业高中 C．直接进入社会就业； D．其它）进行数据统计，并绘制了两幅不完整的统计图（a）、（b）．
请问：
（1）我县共调查了 名初中毕业生；
（2）将两幅统计图中不完整的部分补充完整；
（3）若我县2015年初三毕业生共有2500人，请估计我县今年的初三毕业生中读普通高中的学生人数．
24．中国现行的个人所得税法自2011年9月1日起施行，其中规定个人所得税纳税办法如下：
一．以个人每月工资收入额减去3500元后的余额作为其每月应纳税所得额；
二．个人所得税纳税税率如下表所示：
纳税级数 个人每月应纳税所得额 纳税税率
1 不超过1500元的部分 3%
2 超过1500元至4500元的部分 10%
3 超过4500元至9000元的部分 20%
4 超过9000元至35000元的部分 25%
5 超过35000元至55000元的部分 30%
6 超过55000元至80000元的部分 35%
7 超过80000元的部分 45%
（1）若甲、乙两人的每月工资收入额分别为4000元和6000元，请分别求出甲、乙两人的每月应缴纳的个人所得税；
（2）若丙每月缴纳的个人所得税为95元，则丙每月的工资收入额应为多少？
25．如图，AB是⊙O的切线，B为切点，圆心在AC上，∠A=30°，D为的中点．
（1）求证：AB=BC；
（2）求证：四边形BOCD是菱形．
26．如图，已知二次函数y=（x﹣m）2﹣4m2（m＞0）的图象与x轴交于A、B两点．
（1）写出A、B两点的坐标（坐标用m表示）；
（2）若二次函数图象的顶点P在以AB为直径的圆上，求二次函数的解析式；
（3）在（2）的基础上，设以AB为直径的⊙M与y轴交于C、D两点，求CD的长．
27．如图，已知AB⊥BD，CD⊥BD
（1）若AB=9，CD=4，BD=10，请问在线段BD上是否存在P点，使以P、A、B三点为顶点的三角形与以P、C、D三点为顶点的三角形相似？若存在，求BP的长；若不存在，请说明理由；
（2）若AB=9，CD=4，BD=12，请问在线段BD上存在多少个P点，使以P、A、B三点为顶点的三角形与以P、C、D三点为顶点的三角形相似？并求BP的长；
（3）若AB=9，CD=4，BD=15，请问在线段BD上存在多少个P点，使以P、A、B三点为顶点的三角形与以P、C、D三点为顶点的三角形相似？并求BP的长；
（4）若AB=m，CD=n，BD=l，请问m，n，l满足什么关系时，存在以P、A、B三点为顶点的三角形与以P、C、D三点为顶点的三角形相似的一个P点？两个P点？三个P点？
2014-2015学年湖南省永州市江永民族中学九年级（下）期中数学试卷
参考答案与试题解析
一、选择题
1 . 的相反数是（ ）
A．3 B．﹣3 C． D．
【考点】相反数．
【分析】在一个数前面放上“﹣”，就是该数的相反数．
【解答】解：的相反数为﹣．
故选D．
【点评】本题考查了相反数的概念，求一个数的相反数只要改变这个数的符号即可．
2．下列运算，正确的是（ ）
A．a3 a2=a5 B．2a+3b=5ab C．a6÷a2=a3 D．a3+a2=a5
【考点】同底数幂的除法；合并同类项；同底数幂的乘法．
【分析】根据同底数幂的乘法与除法、合并同类项的法则计算即可．
【解答】解：A、a3 a2=a5，正确；
B、2a与3b不是同类项，不能合并，故选项错误；
C、a6÷a2=a4，故选项错误；
D、a3与a2，是相加不是相乘，不能运算，故选项错误．
故选A．
【点评】本题考查了合并同类项法则、同底数幂的乘法和除法，熟练掌握性质是解题的关键，合并同类项时，不是同类项的一定不能合并．
3．下列从左边到右边的变形，是因式分解的是（ ）
A．（3﹣x）（3+x）=9﹣x2 B．m3﹣mn2=m（m+n）（m﹣n）
C．（y+1）（y﹣3）=﹣（3﹣y）（y+1） D．4yz﹣2y2z+z=2y（2z﹣yz）+z
【考点】因式分解的意义．
【分析】根据分解因式就是把一个多项式化为几个整式的积的形式的定义，利用排除法求解．
【解答】解：A、是多项式乘法，不是因式分解，错误；
B、提公因式法后再利用平方差公式，正确；
C、是恒等变形，不是因式分解，错误；
D、右边不是整式积的形式，错误；
故选B．
【点评】这类问题的关键在于能否正确应用分解因式的定义来判断．
4．下列几何体中，其主视图不是中心对称图形的是（ ）
A． B． C． D．
【考点】中心对称图形；简单几何体的三视图．
【分析】先判断出各图形的主视图，然后结合中心对称的定义进行判断即可．
【解答】解：A、主视图是矩形，矩形是中心对称图形，故本选项错误；
B、主视图是三角形，三角形不是中心对称图形，故本选项正确；
C、主视图是圆，圆是中心对称图形，故本选项错误；
D、主视图是正方形，正方形是中心对称图形，故本选项错误；
故选B．
【点评】本题考查了简单几何体的三视图及中心对称的知识，判断中心对称图形是要寻找对称中心，旋转180度后与原图重合．
5．如图，下列条件中能判定直线l1∥l2的是（ ）
A．∠1=∠2 B．∠1=∠5 C．∠1+∠3=180° D．∠3=∠5
【考点】平行线的判定．
【分析】平行线的判定定理有：①同位角相等，两直线平行；②内错角相等，两直线平行；③同旁内角互补，两直线平行．
根据以上内容判断即可．
【解答】解：A、根据∠1=∠2不能推出l1∥l2，故A选项错误；
B、∵∠5=∠3，∠1=∠5，
∴∠1=∠3，
即根据∠1=∠5不能推出l1∥l2，故B选项错误；
C、∵∠1+∠3=180°，
∴l1∥l2，故C选项正确；
D、根据∠3=∠5不能推出l1∥l2，故D选项错误；
故选：C．
【点评】本题考查了平行线的判定的应用，注意：平行线的判定定理有：①同位角相等，两直线平行；②内错角相等，两直线平行；③同旁内角互补，两直线平行．
6．不等式2x﹣6＞0的解集在数轴上表示正确的是（ ）
A． B． C． D．
【考点】在数轴上表示不等式的解集；解一元一次不等式．
【分析】根据解不等式的方法，可得答案．
【解答】解：2x﹣6＞0，
解得x＞3，
故选：A．
【点评】本题考查了在数轴上表示不等式的解集，不等式的解集在数轴上表示出来（＞，≥向右画；＜，≤向左画）．
7．已知（x﹣3）2+=0，则x+y的值为（ ）
A．2 B．﹣1 C．1 D．5
【考点】非负数的性质：算术平方根；非负数的性质：偶次方．
【分析】根据非负数的性质列出方程求出x、y的值，代入所求代数式计算即可．
【解答】解：由题意得，x﹣3=0，y+1=0，
解得x=3，y=﹣1，
则x+y=2，
故选：A．
【点评】本题考查了非负数的性质：几个非负数的和为0时，这几个非负数都为0．
8．三角形在方格纸中的位置如图所示，则cosα的值是（ ）
A． B． C． D．
【考点】锐角三角函数的定义；勾股定理．
【专题】网格型．
【分析】根据网格结构确定出α所在的直角三角形，然后利用勾股定理列式求出斜边的长，再根据锐角的余弦等于邻边比斜边列式即可．
【解答】解：由图可知，α所在的直角三角形的两直角边分别为3、4，
根据勾股定理，斜边==5，
∵α的邻边为4，
∴cosα=．
故选C．
【点评】本题考查了锐角三角函数的定义，勾股定理的应用，熟练掌握网格结构，确定出α所在的直角三角形是解题的关键．
9．下列说法正确的是（ ）
A．一组数据2，5，3，1，4，3的中位数是3
B．五边形的外角和是540度
C．“菱形的对角线互相垂直”的逆命题是真命题
D．三角形的外心是这个三角形三条角平分线的交点
【考点】命题与定理；多边形内角与外角；三角形的外接圆与外心；中位数．
【专题】压轴题．
【分析】根据中位数、多边形的外角、三角形的外接圆与外心分别对每一项进行分析，即可得出答案．
【解答】解：A、把这组数据2，5，3，1，4，3从小到大排列为：1，2，3，3，4，5，最中间两个数的平均数是（3+3）÷2=3，则中位数是3，故本选项正确；
B、任何凸多边形的外角和都是360度，则五边形的外角和是360度，故本选项错误；
C、“菱形的对角线互相垂直”的逆命题是“对角线互相垂直的四边形是菱形”是假命题，故本选项错误；
D、三角形的外心是三条边垂直平分线的交点，故本选项错误；
故选A．
【点评】此题考查了中位数、多边形的外角、三角形的外接圆与外心，掌握中位数、多边形的外角、三角形的外接圆与外心是解题的关键，要熟知课本中的有关知识，才能进行解答．
10．我们知道，一元二次方程x2=﹣1没有实数根，即不存在一个实数的平方等于﹣1．若我们规定一个新数“i”，使其满足i2=﹣1（即方程x2=﹣1有一个根为i）．并且进一步规定：一切实数可以与新数进行四则运算，且原有运算律和运算法则仍然成立，于是有i1=i，i2=﹣1，i3=i2 i=（﹣1） i=﹣i，i4=（i2）2=（﹣1）2=1，从而对于任意正整数n，我们可以得到i4n+1=i4n i=（i4）n i=，同理可得i4n+2=﹣1，i4n+3=﹣i，i4n=1．那么i+i2+i3+i4+…+i2014+i2015的值为（ ）
A．0 B．1 C．﹣1 D．i
【考点】实数的运算；一元二次方程的解．
【专题】新定义．
【分析】根据i1=i，i2=﹣1，i3=i2 i=（﹣1） i=﹣i，i4=（i2）2=（﹣1）2=1，2015÷4=503…3，进而得出i2015=i3，进而求出即可．
【解答】解：原式=i﹣1﹣i+1+…+i﹣1﹣i
=﹣1．
故选：C．
【点评】此题考查了实数的运算，根据题意得出数字之间的变化规律是解本题的关键．
二、填空题
11．钓鱼岛列岛是我国固有领土，共由8个岛屿组成，其中最大的岛是钓鱼岛，面积约为4.3平方公里，最小的岛是飞濑屿，面积约为0.0008平方公里．请用科学记数法表示飞濑屿的面积约为 8×10﹣4 平方公里．
【考点】科学记数法—表示较小的数．
【分析】绝对值小于1的正数也可以利用科学记数法表示，一般形式为a×10﹣n，与较大数的科学记数法不同的是其所使用的是负指数幂，指数由原数左边起第一个不为零的数字前面的0的个数所决定．
【解答】解：0.0008=8×10﹣4．
故答案为：8×10﹣4．
【点评】本题考查用科学记数法表示较小的数，一般形式为a×10﹣n，其中1≤|a|＜10，n为由原数左边起第一个不为零的数字前面的0的个数所决定．
12．将抛物线y=x2+1向下平移2个单位，则此时抛物线的解析式是 y=x2﹣1 ．
【考点】二次函数图象与几何变换．
【分析】由平移规律求出新抛物线的解析式．抛物线向下平移2个单位即是y值减少两个．
【解答】解：∵抛物线y=x2+1向下平移2个单位，
则根据函数图象的平移规律新抛物线的解析式是为y=x2﹣1．
【点评】主要考查了函数图象的平移，要求熟练掌握平移的规律：左加右减，上加下减．
13．一副扑克牌52张（不含鬼牌），分为黑桃、红心、方块、及梅花4种花色，每种花色各有13张，从这副牌中任意抽取一张，则这张牌是红心的概率是 ．
【考点】概率公式．
【分析】由一副扑克牌52张（不含鬼牌），分为黑桃、红心、方块、及梅花4种花色，每种花色各有13张，直接利用概率公式求解即可求得答案．
【解答】解：∵一副扑克牌52张（不含鬼牌），分为黑桃、红心、方块、及梅花4种花色，每种花色各有13张，
∴从这副牌中任意抽取一张，则这张牌是红心的概率是： =．
故答案为：．
【点评】此题考查了概率公式的应用．用到的知识点为：概率=所求情况数与总情况数之比．
14．函数y=中，自变量x的取值范围是 x≠2 ．
【考点】函数自变量的取值范围；分式有意义的条件．
【专题】计算题．
【分析】求函数自变量的取值范围，就是求函数解析式有意义的条件，分式有意义的条件是：分母不为0．
【解答】解：要使分式有意义，即：x﹣2≠0，
解得：x≠2．
故答案为：x≠2．
【点评】本题主要考查函数自变量的取值范围，考查的知识点为：分式有意义，分母不为0．
15．已知一次函数y=kx+b的图象经过A（1，﹣1），B（﹣1，3）两点，则k ＜ 0（填“＞”或“＜”）
【考点】一次函数图象上点的坐标特征．
【专题】计算题．
【分析】根据A（1，﹣1），B（﹣1，3），利用横坐标和纵坐标的增减性判断出k的符号．
【解答】解：∵A点横坐标为1，B点横坐标为﹣1，
根据﹣1＜1，3＞﹣1，
可知，随着横坐标的增大，纵坐标减小了，
∴k＜0．
故答案为＜．
【点评】本题考查了一次函数图象上点的坐标特征，根据点的坐标判断出函数的增减性是解题的关键．
16．定义为二阶行列式．规定它的运算法则为=ad﹣bc．那么当x=1时，二阶行列式的值为 0 ．
【考点】完全平方公式．
【专题】新定义．
【分析】根据题中的新定义将所求式子化为普通运算，计算即可得到结果．
【解答】解：根据题意得：当x=1时，原式=（x﹣1）2=0．
故答案为：0
【点评】此题考查了完全平方公式，弄清题中的新定义是解本题的关键．
17．如图，已知△ABC内接于⊙O，BC是⊙O的直径，MN与⊙O相切，切点为A，若∠MAB=30°，则∠B= 60 度．
【考点】切线的性质．
【分析】由MN与⊙O相切，根据弦切角定理，即可求得∠C的度数，又由BC是⊙O的直径，根据圆周角定理，可求得∠BAC=90°，继而求得答案．
【解答】解：∵MN与⊙O相切，∠MAB=30°，
∴∠C=∠MAB=30°，
∵BC是⊙O的直径，
∴∠BAC=90°，
∴∠B=90°﹣∠C=60°．
故答案为：60．
【点评】此题考查了弦切角定理与圆周角定理．此题难度不大，注意掌握数形结合思想的应用．
18．如图，两个反比例函数y=和y=在第一象限内的图象分别是C1和C2，设点P在C1上，PA⊥x轴于点A，交C2于点B，则△POB的面积为 1 ．
【考点】反比例函数系数k的几何意义．
【专题】计算题．
【分析】根据反比例函数y=（k≠0）系数k的几何意义得到S△POA=×4=2，S△BOA=×2=1，然后利用S△POB=S△POA﹣S△BOA进行计算即可．
【解答】解：∵PA⊥x轴于点A，交C2于点B，
∴S△POA=×4=2，S△BOA=×2=1，
∴S△POB=2﹣1=1．
故答案为1．
【点评】本题考查了反比例函数y=（k≠0）系数k的几何意义：从反比例函数y=（k≠0）图象上任意一点向x轴和y轴作垂线，垂线与坐标轴所围成的矩形面积为|k|．
19．已知+=0，则的值为 ﹣1 ．
【考点】绝对值．
【专题】压轴题．
【分析】先判断出a、b异号，再根据绝对值的性质解答即可．
【解答】解：∵ +=0，
∴a、b异号，
∴ab＜0，
∴==﹣1．
故答案为：﹣1．
【点评】本题考查了绝对值的性质，主要利用了负数的绝对值是它的相反数，判断出a、b异号是解题的关键．
20．电脑系统中有个“扫雷”游戏，要求游戏者标出所有的雷，游戏规则：一个方块下面最多埋一个雷，如果无雷，掀开方块下面就标有数字，提醒游戏者此数字周围的方块（最多八个）中雷的个数（实际游戏中，0通常省略不标，为方便大家识别与印刷，我把图乙中的0都标出来了，以示与未掀开者的区别），如图甲中的“3”表示它的周围八个方块中仅有3个埋有雷．图乙是张三玩游戏中的局部，图中有4个方块己确定是雷（方块上标有旗子），则图乙第一行从左数起的七个方块中（方块上标有字母），能够确定一定是雷的有 B、D、F、G ．（请填入方块上的字母）
【考点】推理与论证．
【专题】压轴题．
【分析】根据题意，初步推断出C对应的方格必定不是雷，A、B对应的方格中有一个雷，中间D、E对应方格中有一个雷且最右边的“4”周围4个方格中有3个雷．由此再观察C下方“2”、B下方的“2”、D下方的“2”和F下方的“4”，即可推断出A、C、E对应的方格不是雷，且B、D、F、G对应的方格是雷．由此得到本题答案．
【解答】解：图乙中最左边的“1”和最右边的“1”，可得如下推断
由第三行最左边的“1”，可得它的上方必定是雷．
结合B下方的“2”，可得最左边的A、B对应的方格中有一个雷；
同理可得最右边的“4”周围4个方格中有3个雷，中间D、E对应方格中有一个雷；
由于B下方的“2”和第二行最右边的“2”，它们周围的雷已经够数，
所以C对应的方格肯定不是雷，如下图所示：
进行下一步推理：
因为C对应的方格不是雷，所以C下方“2”的左上、右上的方格，即B、D都是雷；
而B下方的“2”的周围的雷也已经够数，所以A对应的方格也不是雷．
因为D下方的“2”，它的周围的雷已经够数，可得E对应的方格不是雷，
根据F下方的“4”周围应该有4个雷，结合E不是雷，可得F、G对应的方格都是雷．
综上所述，A、C、E对应的方格不是雷，且B、D、F、G对应的方格是雷．
故答案为：B、D、F、G．
【点评】此题主要考查了推理论证，本题给出扫雷游戏的图形，要求我们推理A、B、C、D、E、F对应方格是否为雷．着重考查了扫雷的基本原理和推理与证明的知识，属于中档题．
三、解答题（本大题共7个小题，共70分）
21．计算：﹣（）﹣1+（﹣1）2013．
【考点】实数的运算；负整数指数幂．
【专题】计算题．
【分析】本题涉及负指数幂、乘方、二次根式化简等考点．针对每个考点分别进行计算，然后根据实数的运算法则求得计算结果．
【解答】解：原式=4﹣﹣1
=4﹣2﹣1
=1．
【点评】本题考查实数的综合运算能力，是各地中考题中常见的计算题型．解决此类题目的关键是掌握负指数幂、乘方、二次根式化简等考点的运算．
22．先化简，再求值：（ +）÷，其中x=2．
【考点】分式的化简求值．
【分析】先将括号内的第一项约分，再进行同分母分式的加法运算，再将除法转化为乘法，进行化简，最后将x=2代入．
【解答】解：（ +）÷
=（+）
=
=x﹣1，
当x=2时，运算=2﹣1=1．
【点评】本题考查了分式的化简求值，解答此题的关键是把分式化到最简，然后代值计算．
23．我县为了了解2015年初中毕业生毕业后的去向，对部分初三学生进行了抽样调查，就初三学生的四种去向（A．读普通高中； B．读职业高中 C．直接进入社会就业； D．其它）进行数据统计，并绘制了两幅不完整的统计图（a）、（b）．
请问：
（1）我县共调查了 100 名初中毕业生；
（2）将两幅统计图中不完整的部分补充完整；
（3）若我县2015年初三毕业生共有2500人，请估计我县今年的初三毕业生中读普通高中的学生人数．
【考点】条形统计图；用样本估计总体；扇形统计图．
【分析】（1）根据A组的人数是40，所占的百分比是40%，据此即可求得总人数；
（2）利用百分比的意义即可求得B组的人数以及C所占的百分比，从而补全统计图；
（3）利用总人数乘以对应的百分比即可求解．
【解答】解：（1）调查的总人数是40÷40%=100（人），故答案是：100；
（2）B组的人数是100×30%=30（人），
C组所占的百分比是=25%．
；
（3）估计我县今年的初三毕业生中读普通高中的学生人数是：2500×40%=1000（人）．
答：估计我县今年的初三毕业生中读普通高中的学生人数是1000人．
【点评】本题考查的是条形统计图和扇形统计图的综合运用，读懂统计图，从不同的统计图中得到必要的信息是解决问题的关键．条形统计图能清楚地表示出每个项目的数据；扇形统计图直接反映部分占总体的百分比大小．
24．中国现行的个人所得税法自2011年9月1日起施行，其中规定个人所得税纳税办法如下：
一．以个人每月工资收入额减去3500元后的余额作为其每月应纳税所得额；
二．个人所得税纳税税率如下表所示：
纳税级数 个人每月应纳税所得额 纳税税率
1 不超过1500元的部分 3%
2 超过1500元至4500元的部分 10%
3 超过4500元至9000元的部分 20%
4 超过9000元至35000元的部分 25%
5 超过35000元至55000元的部分 30%
6 超过55000元至80000元的部分 35%
7 超过80000元的部分 45%
（1）若甲、乙两人的每月工资收入额分别为4000元和6000元，请分别求出甲、乙两人的每月应缴纳的个人所得税；
（2）若丙每月缴纳的个人所得税为95元，则丙每月的工资收入额应为多少？
【考点】一元一次方程的应用；有理数的混合运算．
【分析】（1）根据月收入超过3500元起，超过部分在1500元内的部分，应按照3%的税率缴纳个人所得税，甲的月工资4000元，应缴税的部分是4000﹣3500=500元，再算出500元应缴纳的税款即可；超过部分在1500元至4500元的部分，应按照10%的税率缴纳个人所得税，乙的月工资6000元，应缴税的部分是6000﹣3500=2500元，再算出2500元应缴纳的税款即可；
（2）根据个人所得税纳税税率表可知，丙每月的工资收入额应为超过4500元至9000元的部分，设丙每月的工资收入额应为x元，根据丙每月缴纳的个人所得税为95元列出方程即可求解．
【解答】解：（1）（4000﹣3500）×3%
=500×3%
=15（元），
1500×3%+（6000﹣3500﹣1500）×10%
=45+1000×10%
=45+100
=145（元）．
答：甲每月应缴纳的个人所得税为15元；乙每月应缴纳的个人所得税145元．
（2）设丙每月的工资收入额应为x元，则
1500×3%+（x﹣3500﹣1500）×10%=95，
解得x=5500．
答：丙每月的工资收入额应为5500元．
【点评】考查了一元一次方程的应用，解决本题关键是理解纳税的办法，找出应纳税的部分，然后根据基本的数量关系求解．
25．如图，AB是⊙O的切线，B为切点，圆心在AC上，∠A=30°，D为的中点．
（1）求证：AB=BC；
（2）求证：四边形BOCD是菱形．
【考点】切线的性质；菱形的判定．
【专题】证明题．
【分析】（1）由AB是⊙O的切线，∠A=30°，易求得∠OCB的度数，继而可得∠A=∠OCB=30°，又由等角对等边，证得AB=BC；
（2）首先连接OD，易证得△BOD与△COD是等边三角形，可得OB=BD=OC=CD，即可证得四边形BOCD是菱形．
【解答】证明：（1）∵AB是⊙O的切线，
∴OB⊥AB，
∵∠A=30°，
∴∠AOB=60°，
∵OB=OC，
∴∠OCB=∠OBC=∠AOB=30°，
∴∠A=∠OCB，
∴AB=BC；
（2）连接OD，
∵∠AOB=60°，
∴∠BOC=120°，
∵D为的中点，
∴=，∠BOD=∠COD=60°，
∵OB=OD=OC，
∴△BOD与△COD是等边三角形，
∴OB=BD=OC=CD，
∴四边形BOCD是菱形．
【点评】此题考查了切线的性质、等腰三角形的性质、菱形的判定以及等边三角形的判定与性质．此题难度适中，注意掌握辅助线的作法，注意数形结合思想的应用．
26．如图，已知二次函数y=（x﹣m）2﹣4m2（m＞0）的图象与x轴交于A、B两点．
（1）写出A、B两点的坐标（坐标用m表示）；
（2）若二次函数图象的顶点P在以AB为直径的圆上，求二次函数的解析式；
（3）在（2）的基础上，设以AB为直径的⊙M与y轴交于C、D两点，求CD的长．
【考点】二次函数综合题．
【专题】压轴题．
【分析】（1）解关于x的一元二次方程（x﹣m）2﹣4m2=0，求出x的值，即可得到A、B两点的坐标；
（2）由二次函数图象的顶点P在以AB为直径的圆上，A、B是抛物线与x轴的交点，根据抛物线的对称性及圆的半径处处相等可知PM是AB的垂直平分线，且MP=MA=MB=AB，得出点P的坐标为（m，﹣2m），又根据二次函数的顶点式为y=（x﹣m）2﹣4m2（m＞0），得出顶点P的坐标为：（m，﹣4m2），则﹣2m=﹣4m2，解方程求出m的值，再把m的值代入y=（x﹣m）2﹣4m2，即可求出二次函数的解析式；
（3）连接CM．根据（2）中的结论，先在Rt△OCM中，求出CM，OM的长度，利用勾股定理列式求出OC的长，再根据垂径定理得出弦CD的长等于OC的2倍．
（4）根据切线长定理，圆外一点向圆引出的两条切线，它们的长相等，根据两点间距离公式可求出F点坐标．
【解答】解：（1）∵y=（x﹣m）2﹣4m2，
∴当y=0时，（x﹣m）2﹣4m2=0，
解得x1=﹣m，x2=3m，
∵m＞0，
∴A、B两点的坐标分别是（﹣m，0），（3m，0）；
（2）∵A（﹣m，0），B（3m，0），m＞0，
∴AB=3m﹣（﹣m）=4m，圆的半径为AB=2m，
∴OM=AM﹣OA=2m﹣m=m，
∴抛物线的顶点P的坐标为：（m，﹣2m），
又∵二次函数y=（x﹣m）2﹣4m2（m＞0）的顶点P的坐标为：（m，﹣4m2），
∴﹣2m=﹣4m2，
解得m1=，m2=0（舍去），
∴二次函数的解析式为y=（x﹣）2﹣1，即y=x2﹣x﹣；
（3）如图，连接CM．
在Rt△OCM中，∵∠COM=90°，CM=2m=2×=1，OM=m=，
∴OC===，
∴CD=2OC=．
（4）∵FB⊥x轴，∴FB为⊙M的切线，∵△BCF是等腰三角形，
∴BC=BF，BC=CF，BF=CF，
设F（，t），∵B（，0），C（0，），
∴（﹣0）2+（0﹣）2=t2，∴t=±，
∴（﹣0）2+（0﹣）2=（﹣0）2+（t﹣）2，
∴t1=0（舍），t2=，
∴（﹣0）2+（t﹣）2=t2，
∴t=，
∴F1（，），F2（，﹣）．
【点评】本题是二次函数的综合题，其中涉及到二次函数与一元二次方程的关系，二次函数的性质，以及圆的半径、弦心距、半弦长构成直角三角形的应用，勾股定理，垂径定理等知识，综合性较强，但难度不是很大，仔细分析求解便不难解决．
27．如图，已知AB⊥BD，CD⊥BD
（1）若AB=9，CD=4，BD=10，请问在线段BD上是否存在P点，使以P、A、B三点为顶点的三角形与以P、C、D三点为顶点的三角形相似？若存在，求BP的长；若不存在，请说明理由；
（2）若AB=9，CD=4，BD=12，请问在线段BD上存在多少个P点，使以P、A、B三点为顶点的三角形与以P、C、D三点为顶点的三角形相似？并求BP的长；
（3）若AB=9，CD=4，BD=15，请问在线段BD上存在多少个P点，使以P、A、B三点为顶点的三角形与以P、C、D三点为顶点的三角形相似？并求BP的长；
（4）若AB=m，CD=n，BD=l，请问m，n，l满足什么关系时，存在以P、A、B三点为顶点的三角形与以P、C、D三点为顶点的三角形相似的一个P点？两个P点？三个P点？
【考点】相似形综合题．
【专题】压轴题．
【分析】（1）存在P点，使以P、A、B三点为顶点的三角形与以P、C、D三点为顶点的三角形相似，设BP=x，根据∠B=∠D=90°和相似三角形的判定得出当=或=时，使以P、A、B三点为顶点的三角形与以P、C、D三点为顶点的三角形相似，代入求出即可；
（2）存在P点，使以P、A、B三点为顶点的三角形与以P、C、D三点为顶点的三角形相似，设BP=x，根据∠B=∠D=90°和相似三角形的判定得出当=或=时，使以P、A、B三点为顶点的三角形与以P、C、D三点为顶点的三角形相似，代入求出即可；
（3）存在P点，使以P、A、B三点为顶点的三角形与以P、C、D三点为顶点的三角形相似，设BP=x，根据∠B=∠D=90°和相似三角形的判定得出当=或=时，使以P、A、B三点为顶点的三角形与以P、C、D三点为顶点的三角形相似，代入求出即可；
（4）存在P点，使以P、A、B三点为顶点的三角形与以P、C、D三点为顶点的三角形相似，设BP=x，根据∠B=∠D=90°和相似三角形的判定得出当=或=时，使以P、A、B三点为顶点的三角形与以P、C、D三点为顶点的三角形相似，代入后根据根的判别式进行判断即可．
【解答】解：（1）存在P点，使以P、A、B三点为顶点的三角形与以P、C、D三点为顶点的三角形相似，
理由是：设BP=x，
∵AB⊥BD，CD⊥BD，
∴∠B=∠D=90°，
∴当=或=时，使以P、A、B三点为顶点的三角形与以P、C、D三点为顶点的三角形相似，
∴①=或②=，
解方程①得：x=，经检验x=是方程①的解，且符合题意．
方程②得：x（10﹣x）=36，
x2﹣10x+36=0，
△=（﹣10）2﹣4×1×36＜0，此方程无解，
∴当BP=时，以P、A、B三点为顶点的三角形与以P、C、D三点为顶点的三角形相似，
∴存在P点，使以P、A、B三点为顶点的三角形与以P、C、D三点为顶点的三角形相似，此时BP的值为；
（2）在BD上存在2个P点，使以P、A、B三点为顶点的三角形与以P、C、D三点为顶点的三角形相似，
理由是：设BP=x，
∵AB⊥BD，CD⊥BD，
∴∠B=∠D=90°，
∴当=或=时，使以P、A、B三点为顶点的三角形与以P、C、D三点为顶点的三角形相似，
∴①=或②=，
解方程①得：x=，经检验x=是方程①的解，且符合题意．
方程②得：x（12﹣x）=36，
x2﹣12x+36=0，
△=（﹣12）2﹣4×1×36=0，
此方程的解为x2=x3=6，经检验x=6是方程②的解，且符合题意．
∴当BP=或6时，以P、A、B三点为顶点的三角形与以P、C、D三点为顶点的三角形相似，
∴存在2个点P，使以P、A、B三点为顶点的三角形与以P、C、D三点为顶点的三角形相似，此时BP的值为或6；
（3）在BD上存在3个P点，使以P、A、B三点为顶点的三角形与以P、C、D三点为顶点的三角形相似，
理由是：设BP=x，
∵AB⊥BD，CD⊥BD，
∴∠B=∠D=90°，
∴当=或=时，使以P、A、B三点为顶点的三角形与以P、C、D三点为顶点的三角形相似，
∴①=或②=，
解方程①得：x=，经检验x=是方程①的解，且符合题意．
方程②得：x（15﹣x）=36，
x2﹣15x+36=0，
△=（﹣15）2﹣4×1×36=81，
此方程的解为x2=3，x3=12，经检验x2=3，x3=12是方程②的解，且符合题意．
∴当BP=或3或12时，以P、A、B三点为顶点的三角形与以P、C、D三点为顶点的三角形相似，
∴存在3个点P，使以P、A、B三点为顶点的三角形与以P、C、D三点为顶点的三角形相似，此时BP的值为或3或12；
（4）设BP=x，
∵AB⊥BD，CD⊥BD，
∴∠B=∠D=90°，
∴当=或=时，使以P、A、B三点为顶点的三角形与以P、C、D三点为顶点的三角形相似，
∴①=或②=，
解方程①得：x=，
方程②得：x（l﹣x）=mn，
x2﹣lx+mn=0，
△=（﹣l）2﹣4×1×mn=l2﹣4mn，
∴当l2﹣4mn＜0时，方程②没有实数根，
即当l2﹣4mn＜0时，存在以P、A、B三点为顶点的三角形与以P、C、D三点为顶点的三角形相似的一个P点；
∵当l2﹣4mn=0时，方程②有1个实数根，
∴当l2﹣4mn=0时，存在以P、A、B三点为顶点的三角形与以P、C、D三点为顶点的三角形相似的两个P点；
∵当l2﹣4mn＞0时，方程②有2个实数根，
∴当l2﹣4mn＞0时，存在以P、A、B三点为顶点的三角形与以P、C、D三点为顶点的三角形相似的三个P点．
【点评】本题考查了相似三角形的判定和性质，根的判别式的应用，注意：ax2+bx+c=0（a≠0，a、b、c为常数），当△=b2﹣4ac＜0时，方程无实数解，当△=b2﹣4ac=0时，方程有两个相等的实数解，当△=b2﹣4ac＞0时，方程有两个不等的实数解．
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2014-2015学年湖南省永州市江永民族中学九年级（下）期中数学试卷
一、选择题
1 .的相反数是（ ）
A．3 B．﹣3 C． D．
2．下列运算，正确的是（ ）
A．a3 a2=a5 B．2a+3b=5ab C．a6÷a2=a3 D．a3+a2=a5
3．下列从左边到右边的变形，是因式分解的是（ ）
A．（3﹣x）（3+x）=9﹣x2 B．m3﹣mn2=m（m+n）（m﹣n）
C．（y+1）（y﹣3）=﹣（3﹣y）（y+1） D．4yz﹣2y2z+z=2y（2z﹣yz）+z
4．下列几何体中，其主视图不是中心对称图形的是（ ）
A． B． C． D．
5．如图，下列条件中能判定直线l1∥l2的是（ ）
A．∠1=∠2 B．∠1=∠5 C．∠1+∠3=180° D．∠3=∠5
6．不等式2x﹣6＞0的解集在数轴上表示正确的是（ ）
A． B．
C． D．
7．已知（x﹣3）2+=0，则x+y的值为（ ）
A．2 B．﹣1 C．1 D．5
8．三角形在方格纸中的位置如图所示，则cosα的值是（ ）
A． B． C． D．
9．下列说法正确的是（ ）
A．一组数据2，5，3，1，4，3的中位数是3
B．五边形的外角和是540度
C．“菱形的对角线互相垂直”的逆命题是真命题
D．三角形的外心是这个三角形三条角平分线的交点
10．我们知道，一元二次方程x2=﹣1没有实数根，即不存在一个实数的平方等于﹣1．若我们规定一个新数“i”，使其满足i2=﹣1（即方程x2=﹣1有一个根为i）．并且进一步规定：一切实数可以与新数进行四则运算，且原有运算律和运算法则仍然成立，于是有i1=i，i2=﹣1，i3=i2 i=（﹣1） i=﹣i，i4=（i2）2=（﹣1）2=1，从而对于任意正整数n，我们可以得到i4n+1=i4n i=（i4）n i=，同理可得i4n+2=﹣1，i4n+3=﹣i，i4n=1．那么i+i2+i3+i4+…+i2014+i2015的值为（ ）
A．0 B．1 C．﹣1 D．i
二、填空题
11．钓鱼岛列岛是我国固有领土，共由8个岛屿组成，其中最大的岛是钓鱼岛，面积约为4.3平方公里，最小的岛是飞濑屿，面积约为0.0008平方公里．请用科学记数法表示飞濑屿的面积约为 平方公里．
12．将抛物线y=x2+1向下平移2个单位，则此时抛物线的解析式是 ．
13．一副扑克牌52张（不含鬼牌），分为黑桃、红心、方块、及梅花4种花色，每种花色各有13张，从这副牌中任意抽取一张，则这张牌是红心的概率是 ．
14．函数y=中，自变量x的取值范围是 ．
15．已知一次函数y=kx+b的图象经过A（1，﹣1），B（﹣1，3）两点，则k 0（填“＞”或“＜”）
16．定义为二阶行列式．规定它的运算法则为=ad﹣bc．那么当x=1时，二阶行列式的值为 ．
17．如图，已知△ABC内接于⊙O，BC是⊙O的直径，MN与⊙O相切，切点为A，若∠MAB=30°，则∠B= 度．
18．如图，两个反比例函数y=和y=在第一象限内的图象分别是C1和C2，设点P在C1上，PA⊥x轴于点A，交C2于点B，则△POB的面积为 ．
19．已知+=0，则的值为 ．
20．电脑系统中有个“扫雷”游戏，要求游戏者标出所有的雷，游戏规则：一个方块下面最多埋一个雷，如果无雷，掀开方块下面就标有数字，提醒游戏者此数字周围的方块（最多八个）中雷的个数（实际游戏中，0通常省略不标，为方便大家识别与印刷，我把图乙中的0都标出来了，以示与未掀开者的区别），如图甲中的“3”表示它的周围八个方块中仅有3个埋有雷．图乙是张三玩游戏中的局部，图中有4个方块己确定是雷（方块上标有旗子），则图乙第一行从左数起的七个方块中（方块上标有字母），能够确定一定是雷的有 ．（请填入方块上的字母）
三、解答题（本大题共7个小题，共70分）
21．计算：﹣（）﹣1+（﹣1）2013．
22．先化简，再求值：（ +）÷，其中x=2．
23．我县为了了解2015年初中毕业生毕业后的去向，对部分初三学生进行了抽样调查，就初三学生的四种去向（A．读普通高中； B．读职业高中 C．直接进入社会就业； D．其它）进行数据统计，并绘制了两幅不完整的统计图（a）、（b）．
请问：
（1）我县共调查了 名初中毕业生；
（2）将两幅统计图中不完整的部分补充完整；
（3）若我县2015年初三毕业生共有2500人，请估计我县今年的初三毕业生中读普通高中的学生人数．
24．中国现行的个人所得税法自2011年9月1日起施行，其中规定个人所得税纳税办法如下：
一．以个人每月工资收入额减去3500元后的余额作为其每月应纳税所得额；
二．个人所得税纳税税率如下表所示：
纳税级数 个人每月应纳税所得额 纳税税率
1 不超过1500元的部分 3%
2 超过1500元至4500元的部分 10%
3 超过4500元至9000元的部分 20%
4 超过9000元至35000元的部分 25%
5 超过35000元至55000元的部分 30%
6 超过55000元至80000元的部分 35%
7 超过80000元的部分 45%
（1）若甲、乙两人的每月工资收入额分别为4000元和6000元，请分别求出甲、乙两人的每月应缴纳的个人所得税；
（2）若丙每月缴纳的个人所得税为95元，则丙每月的工资收入额应为多少？
25．如图，AB是⊙O的切线，B为切点，圆心在AC上，∠A=30°，D为的中点．
（1）求证：AB=BC；
（2）求证：四边形BOCD是菱形．
26．如图，已知二次函数y=（x﹣m）2﹣4m2（m＞0）的图象与x轴交于A、B两点．
（1）写出A、B两点的坐标（坐标用m表示）；
（2）若二次函数图象的顶点P在以AB为直径的圆上，求二次函数的解析式；
（3）在（2）的基础上，设以AB为直径的⊙M与y轴交于C、D两点，求CD的长．
27．如图，已知AB⊥BD，CD⊥BD
（1）若AB=9，CD=4，BD=10，请问在线段BD上是否存在P点，使以P、A、B三点为顶点的三角形与以P、C、D三点为顶点的三角形相似？若存在，求BP的长；若不存在，请说明理由；
（2）若AB=9，CD=4，BD=12，请问在线段BD上存在多少个P点，使以P、A、B三点为顶点的三角形与以P、C、D三点为顶点的三角形相似？并求BP的长；
（3）若AB=9，CD=4，BD=15，请问在线段BD上存在多少个P点，使以P、A、B三点为顶点的三角形与以P、C、D三点为顶点的三角形相似？并求BP的长；
（4）若AB=m，CD=n，BD=l，请问m，n，l满足什么关系时，存在以P、A、B三点为顶点的三角形与以P、C、D三点为顶点的三角形相似的一个P点？两个P点？三个P点？
2014-2015学年湖南省永州市江永民族中学九年级（下）期中数学试卷
参考答案与试题解析
一、选择题
1 . 的相反数是（ ）
A．3 B．﹣3 C． D．
【考点】相反数．
【分析】在一个数前面放上“﹣”，就是该数的相反数．
【解答】解：的相反数为﹣．
故选D．
【点评】本题考查了相反数的概念，求一个数的相反数只要改变这个数的符号即可．
2．下列运算，正确的是（ ）
A．a3 a2=a5 B．2a+3b=5ab C．a6÷a2=a3 D．a3+a2=a5
【考点】同底数幂的除法；合并同类项；同底数幂的乘法．
【分析】根据同底数幂的乘法与除法、合并同类项的法则计算即可．
【解答】解：A、a3 a2=a5，正确；
B、2a与3b不是同类项，不能合并，故选项错误；
C、a6÷a2=a4，故选项错误；
D、a3与a2，是相加不是相乘，不能运算，故选项错误．
故选A．
【点评】本题考查了合并同类项法则、同底数幂的乘法和除法，熟练掌握性质是解题的关键，合并同类项时，不是同类项的一定不能合并．
3．下列从左边到右边的变形，是因式分解的是（ ）
A．（3﹣x）（3+x）=9﹣x2 B．m3﹣mn2=m（m+n）（m﹣n）
C．（y+1）（y﹣3）=﹣（3﹣y）（y+1） D．4yz﹣2y2z+z=2y（2z﹣yz）+z
【考点】因式分解的意义．
【分析】根据分解因式就是把一个多项式化为几个整式的积的形式的定义，利用排除法求解．
【解答】解：A、是多项式乘法，不是因式分解，错误；
B、提公因式法后再利用平方差公式，正确；
C、是恒等变形，不是因式分解，错误；
D、右边不是整式积的形式，错误；
故选B．
【点评】这类问题的关键在于能否正确应用分解因式的定义来判断．
4．下列几何体中，其主视图不是中心对称图形的是（ ）
A． B． C． D．
【考点】中心对称图形；简单几何体的三视图．
【分析】先判断出各图形的主视图，然后结合中心对称的定义进行判断即可．
【解答】解：A、主视图是矩形，矩形是中心对称图形，故本选项错误；
B、主视图是三角形，三角形不是中心对称图形，故本选项正确；
C、主视图是圆，圆是中心对称图形，故本选项错误；
D、主视图是正方形，正方形是中心对称图形，故本选项错误；
故选B．
【点评】本题考查了简单几何体的三视图及中心对称的知识，判断中心对称图形是要寻找对称中心，旋转180度后与原图重合．
5．如图，下列条件中能判定直线l1∥l2的是（ ）
A．∠1=∠2 B．∠1=∠5 C．∠1+∠3=180° D．∠3=∠5
【考点】平行线的判定．
【分析】平行线的判定定理有：①同位角相等，两直线平行；②内错角相等，两直线平行；③同旁内角互补，两直线平行．
根据以上内容判断即可．
【解答】解：A、根据∠1=∠2不能推出l1∥l2，故A选项错误；
B、∵∠5=∠3，∠1=∠5，
∴∠1=∠3，
即根据∠1=∠5不能推出l1∥l2，故B选项错误；
C、∵∠1+∠3=180°，
∴l1∥l2，故C选项正确；
D、根据∠3=∠5不能推出l1∥l2，故D选项错误；
故选：C．
【点评】本题考查了平行线的判定的应用，注意：平行线的判定定理有：①同位角相等，两直线平行；②内错角相等，两直线平行；③同旁内角互补，两直线平行．
6．不等式2x﹣6＞0的解集在数轴上表示正确的是（ ）
A． B． C． D．
【考点】在数轴上表示不等式的解集；解一元一次不等式．
【分析】根据解不等式的方法，可得答案．
【解答】解：2x﹣6＞0，
解得x＞3，
故选：A．
【点评】本题考查了在数轴上表示不等式的解集，不等式的解集在数轴上表示出来（＞，≥向右画；＜，≤向左画）．
7．已知（x﹣3）2+=0，则x+y的值为（ ）
A．2 B．﹣1 C．1 D．5
【考点】非负数的性质：算术平方根；非负数的性质：偶次方．
【分析】根据非负数的性质列出方程求出x、y的值，代入所求代数式计算即可．
【解答】解：由题意得，x﹣3=0，y+1=0，
解得x=3，y=﹣1，
则x+y=2，
故选：A．
【点评】本题考查了非负数的性质：几个非负数的和为0时，这几个非负数都为0．
8．三角形在方格纸中的位置如图所示，则cosα的值是（ ）
A． B． C． D．
【考点】锐角三角函数的定义；勾股定理．
【专题】网格型．
【分析】根据网格结构确定出α所在的直角三角形，然后利用勾股定理列式求出斜边的长，再根据锐角的余弦等于邻边比斜边列式即可．
【解答】解：由图可知，α所在的直角三角形的两直角边分别为3、4，
根据勾股定理，斜边==5，
∵α的邻边为4，
∴cosα=．
故选C．
【点评】本题考查了锐角三角函数的定义，勾股定理的应用，熟练掌握网格结构，确定出α所在的直角三角形是解题的关键．
9．下列说法正确的是（ ）
A．一组数据2，5，3，1，4，3的中位数是3
B．五边形的外角和是540度
C．“菱形的对角线互相垂直”的逆命题是真命题
D．三角形的外心是这个三角形三条角平分线的交点
【考点】命题与定理；多边形内角与外角；三角形的外接圆与外心；中位数．
【专题】压轴题．
【分析】根据中位数、多边形的外角、三角形的外接圆与外心分别对每一项进行分析，即可得出答案．
【解答】解：A、把这组数据2，5，3，1，4，3从小到大排列为：1，2，3，3，4，5，最中间两个数的平均数是（3+3）÷2=3，则中位数是3，故本选项正确；
B、任何凸多边形的外角和都是360度，则五边形的外角和是360度，故本选项错误；
C、“菱形的对角线互相垂直”的逆命题是“对角线互相垂直的四边形是菱形”是假命题，故本选项错误；
D、三角形的外心是三条边垂直平分线的交点，故本选项错误；
故选A．
【点评】此题考查了中位数、多边形的外角、三角形的外接圆与外心，掌握中位数、多边形的外角、三角形的外接圆与外心是解题的关键，要熟知课本中的有关知识，才能进行解答．
10．我们知道，一元二次方程x2=﹣1没有实数根，即不存在一个实数的平方等于﹣1．若我们规定一个新数“i”，使其满足i2=﹣1（即方程x2=﹣1有一个根为i）．并且进一步规定：一切实数可以与新数进行四则运算，且原有运算律和运算法则仍然成立，于是有i1=i，i2=﹣1，i3=i2 i=（﹣1） i=﹣i，i4=（i2）2=（﹣1）2=1，从而对于任意正整数n，我们可以得到i4n+1=i4n i=（i4）n i=，同理可得i4n+2=﹣1，i4n+3=﹣i，i4n=1．那么i+i2+i3+i4+…+i2014+i2015的值为（ ）
A．0 B．1 C．﹣1 D．i
【考点】实数的运算；一元二次方程的解．
【专题】新定义．
【分析】根据i1=i，i2=﹣1，i3=i2 i=（﹣1） i=﹣i，i4=（i2）2=（﹣1）2=1，2015÷4=503…3，进而得出i2015=i3，进而求出即可．
【解答】解：原式=i﹣1﹣i+1+…+i﹣1﹣i
=﹣1．
故选：C．
【点评】此题考查了实数的运算，根据题意得出数字之间的变化规律是解本题的关键．
二、填空题
11．钓鱼岛列岛是我国固有领土，共由8个岛屿组成，其中最大的岛是钓鱼岛，面积约为4.3平方公里，最小的岛是飞濑屿，面积约为0.0008平方公里．请用科学记数法表示飞濑屿的面积约为 8×10﹣4 平方公里．
【考点】科学记数法—表示较小的数．
【分析】绝对值小于1的正数也可以利用科学记数法表示，一般形式为a×10﹣n，与较大数的科学记数法不同的是其所使用的是负指数幂，指数由原数左边起第一个不为零的数字前面的0的个数所决定．
【解答】解：0.0008=8×10﹣4．
故答案为：8×10﹣4．
【点评】本题考查用科学记数法表示较小的数，一般形式为a×10﹣n，其中1≤|a|＜10，n为由原数左边起第一个不为零的数字前面的0的个数所决定．
12．将抛物线y=x2+1向下平移2个单位，则此时抛物线的解析式是 y=x2﹣1 ．
【考点】二次函数图象与几何变换．
【分析】由平移规律求出新抛物线的解析式．抛物线向下平移2个单位即是y值减少两个．
【解答】解：∵抛物线y=x2+1向下平移2个单位，
则根据函数图象的平移规律新抛物线的解析式是为y=x2﹣1．
【点评】主要考查了函数图象的平移，要求熟练掌握平移的规律：左加右减，上加下减．
13．一副扑克牌52张（不含鬼牌），分为黑桃、红心、方块、及梅花4种花色，每种花色各有13张，从这副牌中任意抽取一张，则这张牌是红心的概率是 ．
【考点】概率公式．
【分析】由一副扑克牌52张（不含鬼牌），分为黑桃、红心、方块、及梅花4种花色，每种花色各有13张，直接利用概率公式求解即可求得答案．
【解答】解：∵一副扑克牌52张（不含鬼牌），分为黑桃、红心、方块、及梅花4种花色，每种花色各有13张，
∴从这副牌中任意抽取一张，则这张牌是红心的概率是： =．
故答案为：．
【点评】此题考查了概率公式的应用．用到的知识点为：概率=所求情况数与总情况数之比．
14．函数y=中，自变量x的取值范围是 x≠2 ．
【考点】函数自变量的取值范围；分式有意义的条件．
【专题】计算题．
【分析】求函数自变量的取值范围，就是求函数解析式有意义的条件，分式有意义的条件是：分母不为0．
【解答】解：要使分式有意义，即：x﹣2≠0，
解得：x≠2．
故答案为：x≠2．
【点评】本题主要考查函数自变量的取值范围，考查的知识点为：分式有意义，分母不为0．
15．已知一次函数y=kx+b的图象经过A（1，﹣1），B（﹣1，3）两点，则k ＜ 0（填“＞”或“＜”）
【考点】一次函数图象上点的坐标特征．
【专题】计算题．
【分析】根据A（1，﹣1），B（﹣1，3），利用横坐标和纵坐标的增减性判断出k的符号．
【解答】解：∵A点横坐标为1，B点横坐标为﹣1，
根据﹣1＜1，3＞﹣1，
可知，随着横坐标的增大，纵坐标减小了，
∴k＜0．
故答案为＜．
【点评】本题考查了一次函数图象上点的坐标特征，根据点的坐标判断出函数的增减性是解题的关键．
16．定义为二阶行列式．规定它的运算法则为=ad﹣bc．那么当x=1时，二阶行列式的值为 0 ．
【考点】完全平方公式．
【专题】新定义．
【分析】根据题中的新定义将所求式子化为普通运算，计算即可得到结果．
【解答】解：根据题意得：当x=1时，原式=（x﹣1）2=0．
故答案为：0
【点评】此题考查了完全平方公式，弄清题中的新定义是解本题的关键．
17．如图，已知△ABC内接于⊙O，BC是⊙O的直径，MN与⊙O相切，切点为A，若∠MAB=30°，则∠B= 60 度．
【考点】切线的性质．
【分析】由MN与⊙O相切，根据弦切角定理，即可求得∠C的度数，又由BC是⊙O的直径，根据圆周角定理，可求得∠BAC=90°，继而求得答案．
【解答】解：∵MN与⊙O相切，∠MAB=30°，
∴∠C=∠MAB=30°，
∵BC是⊙O的直径，
∴∠BAC=90°，
∴∠B=90°﹣∠C=60°．
故答案为：60．
【点评】此题考查了弦切角定理与圆周角定理．此题难度不大，注意掌握数形结合思想的应用．
18．如图，两个反比例函数y=和y=在第一象限内的图象分别是C1和C2，设点P在C1上，PA⊥x轴于点A，交C2于点B，则△POB的面积为 1 ．
【考点】反比例函数系数k的几何意义．
【专题】计算题．
【分析】根据反比例函数y=（k≠0）系数k的几何意义得到S△POA=×4=2，S△BOA=×2=1，然后利用S△POB=S△POA﹣S△BOA进行计算即可．
【解答】解：∵PA⊥x轴于点A，交C2于点B，
∴S△POA=×4=2，S△BOA=×2=1，
∴S△POB=2﹣1=1．
故答案为1．
【点评】本题考查了反比例函数y=（k≠0）系数k的几何意义：从反比例函数y=（k≠0）图象上任意一点向x轴和y轴作垂线，垂线与坐标轴所围成的矩形面积为|k|．
19．已知+=0，则的值为 ﹣1 ．
【考点】绝对值．
【专题】压轴题．
【分析】先判断出a、b异号，再根据绝对值的性质解答即可．
【解答】解：∵ +=0，
∴a、b异号，
∴ab＜0，
∴==﹣1．
故答案为：﹣1．
【点评】本题考查了绝对值的性质，主要利用了负数的绝对值是它的相反数，判断出a、b异号是解题的关键．
20．电脑系统中有个“扫雷”游戏，要求游戏者标出所有的雷，游戏规则：一个方块下面最多埋一个雷，如果无雷，掀开方块下面就标有数字，提醒游戏者此数字周围的方块（最多八个）中雷的个数（实际游戏中，0通常省略不标，为方便大家识别与印刷，我把图乙中的0都标出来了，以示与未掀开者的区别），如图甲中的“3”表示它的周围八个方块中仅有3个埋有雷．图乙是张三玩游戏中的局部，图中有4个方块己确定是雷（方块上标有旗子），则图乙第一行从左数起的七个方块中（方块上标有字母），能够确定一定是雷的有 B、D、F、G ．（请填入方块上的字母）
【考点】推理与论证．
【专题】压轴题．
【分析】根据题意，初步推断出C对应的方格必定不是雷，A、B对应的方格中有一个雷，中间D、E对应方格中有一个雷且最右边的“4”周围4个方格中有3个雷．由此再观察C下方“2”、B下方的“2”、D下方的“2”和F下方的“4”，即可推断出A、C、E对应的方格不是雷，且B、D、F、G对应的方格是雷．由此得到本题答案．
【解答】解：图乙中最左边的“1”和最右边的“1”，可得如下推断
由第三行最左边的“1”，可得它的上方必定是雷．
结合B下方的“2”，可得最左边的A、B对应的方格中有一个雷；
同理可得最右边的“4”周围4个方格中有3个雷，中间D、E对应方格中有一个雷；
由于B下方的“2”和第二行最右边的“2”，它们周围的雷已经够数，
所以C对应的方格肯定不是雷，如下图所示：
进行下一步推理：
因为C对应的方格不是雷，所以C下方“2”的左上、右上的方格，即B、D都是雷；
而B下方的“2”的周围的雷也已经够数，所以A对应的方格也不是雷．
因为D下方的“2”，它的周围的雷已经够数，可得E对应的方格不是雷，
根据F下方的“4”周围应该有4个雷，结合E不是雷，可得F、G对应的方格都是雷．
综上所述，A、C、E对应的方格不是雷，且B、D、F、G对应的方格是雷．
故答案为：B、D、F、G．
【点评】此题主要考查了推理论证，本题给出扫雷游戏的图形，要求我们推理A、B、C、D、E、F对应方格是否为雷．着重考查了扫雷的基本原理和推理与证明的知识，属于中档题．
三、解答题（本大题共7个小题，共70分）
21．计算：﹣（）﹣1+（﹣1）2013．
【考点】实数的运算；负整数指数幂．
【专题】计算题．
【分析】本题涉及负指数幂、乘方、二次根式化简等考点．针对每个考点分别进行计算，然后根据实数的运算法则求得计算结果．
【解答】解：原式=4﹣﹣1
=4﹣2﹣1
=1．
【点评】本题考查实数的综合运算能力，是各地中考题中常见的计算题型．解决此类题目的关键是掌握负指数幂、乘方、二次根式化简等考点的运算．
22．先化简，再求值：（ +）÷，其中x=2．
【考点】分式的化简求值．
【分析】先将括号内的第一项约分，再进行同分母分式的加法运算，再将除法转化为乘法，进行化简，最后将x=2代入．
【解答】解：（ +）÷
=（+）
=
=x﹣1，
当x=2时，运算=2﹣1=1．
【点评】本题考查了分式的化简求值，解答此题的关键是把分式化到最简，然后代值计算．
23．我县为了了解2015年初中毕业生毕业后的去向，对部分初三学生进行了抽样调查，就初三学生的四种去向（A．读普通高中； B．读职业高中 C．直接进入社会就业； D．其它）进行数据统计，并绘制了两幅不完整的统计图（a）、（b）．
请问：
（1）我县共调查了 100 名初中毕业生；
（2）将两幅统计图中不完整的部分补充完整；
（3）若我县2015年初三毕业生共有2500人，请估计我县今年的初三毕业生中读普通高中的学生人数．
【考点】条形统计图；用样本估计总体；扇形统计图．
【分析】（1）根据A组的人数是40，所占的百分比是40%，据此即可求得总人数；
（2）利用百分比的意义即可求得B组的人数以及C所占的百分比，从而补全统计图；
（3）利用总人数乘以对应的百分比即可求解．
【解答】解：（1）调查的总人数是40÷40%=100（人），故答案是：100；
（2）B组的人数是100×30%=30（人），
C组所占的百分比是=25%．
；
（3）估计我县今年的初三毕业生中读普通高中的学生人数是：2500×40%=1000（人）．
答：估计我县今年的初三毕业生中读普通高中的学生人数是1000人．
【点评】本题考查的是条形统计图和扇形统计图的综合运用，读懂统计图，从不同的统计图中得到必要的信息是解决问题的关键．条形统计图能清楚地表示出每个项目的数据；扇形统计图直接反映部分占总体的百分比大小．
24．中国现行的个人所得税法自2011年9月1日起施行，其中规定个人所得税纳税办法如下：
一．以个人每月工资收入额减去3500元后的余额作为其每月应纳税所得额；
二．个人所得税纳税税率如下表所示：
纳税级数 个人每月应纳税所得额 纳税税率
1 不超过1500元的部分 3%
2 超过1500元至4500元的部分 10%
3 超过4500元至9000元的部分 20%
4 超过9000元至35000元的部分 25%
5 超过35000元至55000元的部分 30%
6 超过55000元至80000元的部分 35%
7 超过80000元的部分 45%
（1）若甲、乙两人的每月工资收入额分别为4000元和6000元，请分别求出甲、乙两人的每月应缴纳的个人所得税；
（2）若丙每月缴纳的个人所得税为95元，则丙每月的工资收入额应为多少？
【考点】一元一次方程的应用；有理数的混合运算．
【分析】（1）根据月收入超过3500元起，超过部分在1500元内的部分，应按照3%的税率缴纳个人所得税，甲的月工资4000元，应缴税的部分是4000﹣3500=500元，再算出500元应缴纳的税款即可；超过部分在1500元至4500元的部分，应按照10%的税率缴纳个人所得税，乙的月工资6000元，应缴税的部分是6000﹣3500=2500元，再算出2500元应缴纳的税款即可；
（2）根据个人所得税纳税税率表可知，丙每月的工资收入额应为超过4500元至9000元的部分，设丙每月的工资收入额应为x元，根据丙每月缴纳的个人所得税为95元列出方程即可求解．
【解答】解：（1）（4000﹣3500）×3%
=500×3%
=15（元），
1500×3%+（6000﹣3500﹣1500）×10%
=45+1000×10%
=45+100
=145（元）．
答：甲每月应缴纳的个人所得税为15元；乙每月应缴纳的个人所得税145元．
（2）设丙每月的工资收入额应为x元，则
1500×3%+（x﹣3500﹣1500）×10%=95，
解得x=5500．
答：丙每月的工资收入额应为5500元．
【点评】考查了一元一次方程的应用，解决本题关键是理解纳税的办法，找出应纳税的部分，然后根据基本的数量关系求解．
25．如图，AB是⊙O的切线，B为切点，圆心在AC上，∠A=30°，D为的中点．
（1）求证：AB=BC；
（2）求证：四边形BOCD是菱形．
【考点】切线的性质；菱形的判定．
【专题】证明题．
【分析】（1）由AB是⊙O的切线，∠A=30°，易求得∠OCB的度数，继而可得∠A=∠OCB=30°，又由等角对等边，证得AB=BC；
（2）首先连接OD，易证得△BOD与△COD是等边三角形，可得OB=BD=OC=CD，即可证得四边形BOCD是菱形．
【解答】证明：（1）∵AB是⊙O的切线，
∴OB⊥AB，
∵∠A=30°，
∴∠AOB=60°，
∵OB=OC，
∴∠OCB=∠OBC=∠AOB=30°，
∴∠A=∠OCB，
∴AB=BC；
（2）连接OD，
∵∠AOB=60°，
∴∠BOC=120°，
∵D为的中点，
∴=，∠BOD=∠COD=60°，
∵OB=OD=OC，
∴△BOD与△COD是等边三角形，
∴OB=BD=OC=CD，
∴四边形BOCD是菱形．
【点评】此题考查了切线的性质、等腰三角形的性质、菱形的判定以及等边三角形的判定与性质．此题难度适中，注意掌握辅助线的作法，注意数形结合思想的应用．
26．如图，已知二次函数y=（x﹣m）2﹣4m2（m＞0）的图象与x轴交于A、B两点．
（1）写出A、B两点的坐标（坐标用m表示）；
（2）若二次函数图象的顶点P在以AB为直径的圆上，求二次函数的解析式；
（3）在（2）的基础上，设以AB为直径的⊙M与y轴交于C、D两点，求CD的长．
【考点】二次函数综合题．
【专题】压轴题．
【分析】（1）解关于x的一元二次方程（x﹣m）2﹣4m2=0，求出x的值，即可得到A、B两点的坐标；
（2）由二次函数图象的顶点P在以AB为直径的圆上，A、B是抛物线与x轴的交点，根据抛物线的对称性及圆的半径处处相等可知PM是AB的垂直平分线，且MP=MA=MB=AB，得出点P的坐标为（m，﹣2m），又根据二次函数的顶点式为y=（x﹣m）2﹣4m2（m＞0），得出顶点P的坐标为：（m，﹣4m2），则﹣2m=﹣4m2，解方程求出m的值，再把m的值代入y=（x﹣m）2﹣4m2，即可求出二次函数的解析式；
（3）连接CM．根据（2）中的结论，先在Rt△OCM中，求出CM，OM的长度，利用勾股定理列式求出OC的长，再根据垂径定理得出弦CD的长等于OC的2倍．
（4）根据切线长定理，圆外一点向圆引出的两条切线，它们的长相等，根据两点间距离公式可求出F点坐标．
【解答】解：（1）∵y=（x﹣m）2﹣4m2，
∴当y=0时，（x﹣m）2﹣4m2=0，
解得x1=﹣m，x2=3m，
∵m＞0，
∴A、B两点的坐标分别是（﹣m，0），（3m，0）；
（2）∵A（﹣m，0），B（3m，0），m＞0，
∴AB=3m﹣（﹣m）=4m，圆的半径为AB=2m，
∴OM=AM﹣OA=2m﹣m=m，
∴抛物线的顶点P的坐标为：（m，﹣2m），
又∵二次函数y=（x﹣m）2﹣4m2（m＞0）的顶点P的坐标为：（m，﹣4m2），
∴﹣2m=﹣4m2，
解得m1=，m2=0（舍去），
∴二次函数的解析式为y=（x﹣）2﹣1，即y=x2﹣x﹣；
（3）如图，连接CM．
在Rt△OCM中，∵∠COM=90°，CM=2m=2×=1，OM=m=，
∴OC===，
∴CD=2OC=．
（4）∵FB⊥x轴，∴FB为⊙M的切线，∵△BCF是等腰三角形，
∴BC=BF，BC=CF，BF=CF，
设F（，t），∵B（，0），C（0，），
∴（﹣0）2+（0﹣）2=t2，∴t=±，
∴（﹣0）2+（0﹣）2=（﹣0）2+（t﹣）2，
∴t1=0（舍），t2=，
∴（﹣0）2+（t﹣）2=t2，
∴t=，
∴F1（，），F2（，﹣）．
【点评】本题是二次函数的综合题，其中涉及到二次函数与一元二次方程的关系，二次函数的性质，以及圆的半径、弦心距、半弦长构成直角三角形的应用，勾股定理，垂径定理等知识，综合性较强，但难度不是很大，仔细分析求解便不难解决．
27．如图，已知AB⊥BD，CD⊥BD
（1）若AB=9，CD=4，BD=10，请问在线段BD上是否存在P点，使以P、A、B三点为顶点的三角形与以P、C、D三点为顶点的三角形相似？若存在，求BP的长；若不存在，请说明理由；
（2）若AB=9，CD=4，BD=12，请问在线段BD上存在多少个P点，使以P、A、B三点为顶点的三角形与以P、C、D三点为顶点的三角形相似？并求BP的长；
（3）若AB=9，CD=4，BD=15，请问在线段BD上存在多少个P点，使以P、A、B三点为顶点的三角形与以P、C、D三点为顶点的三角形相似？并求BP的长；
（4）若AB=m，CD=n，BD=l，请问m，n，l满足什么关系时，存在以P、A、B三点为顶点的三角形与以P、C、D三点为顶点的三角形相似的一个P点？两个P点？三个P点？
【考点】相似形综合题．
【专题】压轴题．
【分析】（1）存在P点，使以P、A、B三点为顶点的三角形与以P、C、D三点为顶点的三角形相似，设BP=x，根据∠B=∠D=90°和相似三角形的判定得出当=或=时，使以P、A、B三点为顶点的三角形与以P、C、D三点为顶点的三角形相似，代入求出即可；
（2）存在P点，使以P、A、B三点为顶点的三角形与以P、C、D三点为顶点的三角形相似，设BP=x，根据∠B=∠D=90°和相似三角形的判定得出当=或=时，使以P、A、B三点为顶点的三角形与以P、C、D三点为顶点的三角形相似，代入求出即可；
（3）存在P点，使以P、A、B三点为顶点的三角形与以P、C、D三点为顶点的三角形相似，设BP=x，根据∠B=∠D=90°和相似三角形的判定得出当=或=时，使以P、A、B三点为顶点的三角形与以P、C、D三点为顶点的三角形相似，代入求出即可；
（4）存在P点，使以P、A、B三点为顶点的三角形与以P、C、D三点为顶点的三角形相似，设BP=x，根据∠B=∠D=90°和相似三角形的判定得出当=或=时，使以P、A、B三点为顶点的三角形与以P、C、D三点为顶点的三角形相似，代入后根据根的判别式进行判断即可．
【解答】解：（1）存在P点，使以P、A、B三点为顶点的三角形与以P、C、D三点为顶点的三角形相似，
理由是：设BP=x，
∵AB⊥BD，CD⊥BD，
∴∠B=∠D=90°，
∴当=或=时，使以P、A、B三点为顶点的三角形与以P、C、D三点为顶点的三角形相似，
∴①=或②=，
解方程①得：x=，经检验x=是方程①的解，且符合题意．
方程②得：x（10﹣x）=36，
x2﹣10x+36=0，
△=（﹣10）2﹣4×1×36＜0，此方程无解，
∴当BP=时，以P、A、B三点为顶点的三角形与以P、C、D三点为顶点的三角形相似，
∴存在P点，使以P、A、B三点为顶点的三角形与以P、C、D三点为顶点的三角形相似，此时BP的值为；
（2）在BD上存在2个P点，使以P、A、B三点为顶点的三角形与以P、C、D三点为顶点的三角形相似，
理由是：设BP=x，
∵AB⊥BD，CD⊥BD，
∴∠B=∠D=90°，
∴当=或=时，使以P、A、B三点为顶点的三角形与以P、C、D三点为顶点的三角形相似，
∴①=或②=，
解方程①得：x=，经检验x=是方程①的解，且符合题意．
方程②得：x（12﹣x）=36，
x2﹣12x+36=0，
△=（﹣12）2﹣4×1×36=0，
此方程的解为x2=x3=6，经检验x=6是方程②的解，且符合题意．
∴当BP=或6时，以P、A、B三点为顶点的三角形与以P、C、D三点为顶点的三角形相似，
∴存在2个点P，使以P、A、B三点为顶点的三角形与以P、C、D三点为顶点的三角形相似，此时BP的值为或6；
（3）在BD上存在3个P点，使以P、A、B三点为顶点的三角形与以P、C、D三点为顶点的三角形相似，
理由是：设BP=x，
∵AB⊥BD，CD⊥BD，
∴∠B=∠D=90°，
∴当=或=时，使以P、A、B三点为顶点的三角形与以P、C、D三点为顶点的三角形相似，
∴①=或②=，
解方程①得：x=，经检验x=是方程①的解，且符合题意．
方程②得：x（15﹣x）=36，
x2﹣15x+36=0，
△=（﹣15）2﹣4×1×36=81，
此方程的解为x2=3，x3=12，经检验x2=3，x3=12是方程②的解，且符合题意．
∴当BP=或3或12时，以P、A、B三点为顶点的三角形与以P、C、D三点为顶点的三角形相似，
∴存在3个点P，使以P、A、B三点为顶点的三角形与以P、C、D三点为顶点的三角形相似，此时BP的值为或3或12；
（4）设BP=x，
∵AB⊥BD，CD⊥BD，
∴∠B=∠D=90°，
∴当=或=时，使以P、A、B三点为顶点的三角形与以P、C、D三点为顶点的三角形相似，
∴①=或②=，
解方程①得：x=，
方程②得：x（l﹣x）=mn，
x2﹣lx+mn=0，
△=（﹣l）2﹣4×1×mn=l2﹣4mn，
∴当l2﹣4mn＜0时，方程②没有实数根，
即当l2﹣4mn＜0时，存在以P、A、B三点为顶点的三角形与以P、C、D三点为顶点的三角形相似的一个P点；
∵当l2﹣4mn=0时，方程②有1个实数根，
∴当l2﹣4mn=0时，存在以P、A、B三点为顶点的三角形与以P、C、D三点为顶点的三角形相似的两个P点；
∵当l2﹣4mn＞0时，方程②有2个实数根，
∴当l2﹣4mn＞0时，存在以P、A、B三点为顶点的三角形与以P、C、D三点为顶点的三角形相似的三个P点．
【点评】本题考查了相似三角形的判定和性质，根的判别式的应用，注意：ax2+bx+c=0（a≠0，a、b、c为常数），当△=b2﹣4ac＜0时，方程无实数解，当△=b2﹣4ac=0时，方程有两个相等的实数解，当△=b2﹣4ac＞0时，方程有两个不等的实数解．
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