2025年山东省济宁市中考数学模拟试题（含详解）

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2025年山东省济宁市中考数学模拟试题
考试时间：120分钟；总分：100分
学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________
1． 选择题（共10小题，满分30分，每小题3分）
1．（3分）自然数2的相反数是（　　）
A．1 B．﹣1 C．﹣2 D．2
2．（3分）一个几何体如图1放置，如图2可能是它的（　　）
A．主视图 B．左视图 C．俯视图 D．不能确定
3．（3分）“一方有难，八方支援”，各省市都斥资到抗疫前线，据有关部门初步统计，国家已经投入资金1390亿元用于抗疫防控．将139000000000用科学记数法表示为（　　）
A．1.39×108 B．1.39×109 C．1.39×1010 D．1.39×1011
4．（3分）如图，点A是半径为5的⊙O上任意一点，以点A为圆心，OA为半径画弧，交⊙O于点B，以点B为圆心，OA为半径画弧交⊙O于点C，同上述作图方法逆时针作出点D，E，F，依次连接A→B→C→D→E→F→A，则这个多边形的内角和度数为（　　）
A．720° B．540° C．120° D．60°
5．（3分）如图，△ABC≌△A′B′C′，则∠B的度数为（　　）
A．30° B．50° C．90° D．100°
6．（3分）下列计算正确的是（　　）
A．2a+3a2＝5a2 B．（﹣3a）2＝6a2
C．2（a﹣b）＝2a﹣b D．a2 a5＝a7
7．（3分）一元二次方程﹣x2+2022x+2035＝0的根的情况是（　　）
A．没有实数根
B．有两个相等的实数根
C．只有一个实数根
D．有两个不相等的实数根
8．（3分）如图，电路图有4只未闭合的开关，一个电源和一个小灯泡，已知电路图上的每个部分都能正常工作，任意闭合其中两只开关，使得小灯泡发光的概率为（　　）
A． B． C． D．
9．（3分）已知在正方形ABCD中，AB长为6，分别以A，B为圆心，以大于AB长度的一半为半径作弧，两弧交于M、N两点，作直线MN，交CD于点E，再分别以A，E为圆心，以大于AE长的一半为半径作弧，两弧交于P、Q两点，作直线PQ，分别与AD，BC交于点F、G，那么四边形AFGB的面积为（　　）
A．18 B． C． D．
10．（3分）如图，等腰直角三角形纸片ABC，底边BC长为8cm，边长为4cm的正方形纸片的边DG在直线BC上，设BD长为x cm，两个纸片重叠部分图形的面积为y cm2，则y与x的图象大致是（　　）
A． B．
C． D．
二．填空题（共5小题，满分15分，每小题3分）
11．（3分）把680000用科学记数法表示为 　 　．
12．（3分）已知：a2﹣3a+1＝0，求代数式的值 　 　．
13．（3分）如图，在四边形ABCD中，AC与BD相交于点O，AO＝CO，添加条件 　 　，可得四边形ABCD为平行四边形（只需添加一个条件）．
14．（3分）如图，抛物线L1：y＝ax2+bx+c（a≠0）与x轴只有一个公共点A（1，0），与y轴交于点B（0，2），虚线为公共对称轴，若将抛物线向下平移两个单位长度得抛物线L2，则图中两个阴影部分的面积和为 　 　．
15．（3分）如图，点A在线段BD上，在BD的同侧作等腰直角三角形ABC和等腰直角三角形ADE，使∠ABC＝∠AED＝90°，连结BE，CD，CD与BE，AE分别交于点P，M，连结AP，下列结论：①△BAE∽△CAD；②MP MD＝MA ME；③2CB2＝CP CM．其中正确的是 　 　．（只填序号）
三．解答题（共7小题，满分55分）
16．（6分）先化简，后求值：（2x﹣1）2﹣（2x+1）（2x﹣1），其中．
17．（6分）如图，在边长均为1的小正方形组成的网格中，△ABC的顶点都在格点（网格线的交点）上．
（1）将△ABC向右平移4个单位长度，再向下平移3个单位长度，得到△A1B1C1，画出△A1B1C1．
（2）将△ABC绕点C顺时针旋转90°，得到△A2B2C，画出△A2B2C．
（3）在（2）的旋转过程中，点A经过的路径长是 　 　．
18．（8分）某学校射击队计划从甲、乙两名运动员中选取一名队员代表该校参加比赛，在选拔过程中，每名选手射击10次，根据甲、乙队员成绩绘制了如图1、图2所示的统计图；并求得了乙队员10次射击成绩的平均数和方差：7环，s乙2[3×（6﹣7）2+（5﹣7）2+（4﹣7）2+（7﹣7）2+2×（9﹣7）2+（10﹣7）2+（8﹣7）2]＝3.4．
（1）甲队员选拔赛成绩的众数是 　 　环，乙队员选拔赛成绩的中位数是 　 　环；
（2）求甲队员10次射击成绩的平均数和方差，根据甲、乙两名队员的选拔赛成绩，你推荐谁代表学校参加比赛，并说明理由；
（3）为提升射击队技战术水平，学校决定除甲、乙外，再从射击队其他4名队员（三名男生，一名女生）中随机选出两名队员一同前往观看比赛，用列表或画树形图的方法求出恰好选出一名男生利一名女生的概率．
19．（8分）小邕做数学题时遇到了如下问题：如图1，△ABD是⊙O的内接三角形，直线l经过点A，点E是直线l上的一点且∠ABD＝∠DAE．求证：直线l是⊙O的切线．小邕添加了适当的辅助线后，得到了图2的图形，并利用它解决了问题．
（1）请你根据小邕的思考，写出解决这一问题的过程；
（2）在图3中，作直径BC，连接CD，得到图3．若∠DAE＝30°，AD＝2，AB＝8，求CD的长．
20．（8分）某商家销售一种糕点，每盒进价为40元．在销售过程中发现，周销量y（盒）与销售单价x（元）之间满足一次函数关系，其部分对应数据如表所示：
销售单价x（元） … 60 65 70 …
周销量y（盒） … 240 210 180 …
（1）求y关于x的函数表达式．
（2）当销售单价定为多少元时，每周出售这种糕点所获利润最大？最大利润为多少元？
（3）若规定销售单价需满足50≤x≤80，则每周至少可获得多少利润？
21．（9分）在矩形ABCD中，AB＝4，BC＝2，动点P从A出发，以1个单位每秒速度，沿射线AB方向运动，同时，动点Q从点C出发，以2个单位每秒速度，沿射线BC方向运动，设运动时间为t秒，连结DP，DQ．
（1）如图1．证明：DP⊥DQ．
（2）作∠PDQ平分线交直线BC于点E；
①图2，当点E与点B重合时，求t的值．
②连结PE，PQ，当△PBE与△PDQ相似时，求t的值．
22．（10分）如图，抛物线y＝ax2+bx﹣6与x轴交于点A（﹣6，0）和点B（2，0）．与y轴交于点C，连接AC，BC．
（1）求该抛物线的函数解析式．
（2）点P是直线AC下方抛物线上的一个动点，过点P作BC的平行线l，交线段AC于D．
①试探究：在直线l上是否存在点E，使得以点D，C，B，E为顶点的四边形为菱形，若存在，求出点E的坐标；若不存在，请说明理由；
②设抛物线的对称轴与直线l交于点M，与直线AC交于点N．当S△DMN＝S△AOC时，请直接写出DM的长．
参考答案
一．选择题（共10小题，满分30分，每小题3分）
1．解：2的相反数是﹣2．
选：C．
2．解：从图1的左面看到的图形与图2相同，因此图2可能是它的左视图，B正确．
选：B．
3．解：139000000000＝1.39×1011．
选：D．
4．解：由题意可得六边形ABCDEF是⊙O的内接正六边形，
所以六边形的内角和为（6﹣2）×180°＝720°，
选：A．
5．解：∵△ABC≌△A′B′C′，∠C'＝30°，
∴∠C＝∠C′＝30°，
在△ABC中，∠A＝50°，∠C＝30°，
∴∠B＝180°﹣（∠A+∠C）＝180°﹣（50°+30°）＝100°；
选：D．
6．解：A、2a与3a2不是同类项，不能合并，此选项不符合题意；
B、（﹣3a）2＝9a2，此选项不符合题意；
C、2（a﹣b）＝2a﹣2b，此选项不符合题意；
D、a2 a5＝a7，此选项符合题意；
选：D．
7．解：∵Δ＝b2﹣4ac＝20222﹣4×（﹣1）×2035＞0，
∴一元二次方程﹣x2+2022x+2035＝0有两个不相等的实数根，
选：D．
8．解：将4只未闭合的开关从上到下分别记为A，B，C，D，
则闭合开关A和D或闭合开关B和D时，小灯泡发光．
列表如下：
A B C D
A （A，B） （A，C） （A，D）
B （B，A） （B，C） （B，D）
C （C，A） （C，B） （C，D）
D （D，A） （D，B） （D，C）
共有12种等可能的结果，其中使得小灯泡发光的结果有：（A，D），（B，D），（D，A），（D，B），共4种，
∴使得小灯泡发光的概率为．
选：B．
9．解：如图，过点F作FH⊥BC于点H．则四边形CDFH是矩形，设AE交BF于点J．
∵四边形ABCD是正方形，
∴AB＝AD＝CD＝BC＝6，∠ADE＝90°，
由作图可知MN垂直平分AB，FG垂直平分线段AE，
∴MN是正方形ABCD的对称轴，
∴DE＝EC＝3，
在Rt△ADE中，AE3，
∴AJ＝JE，
∵cos∠DAE，
∴，
∴AF，
∵∠DAE+∠AFJ＝90°，∠HFG+∠AFJ＝90°，
∴∠DAE＝∠HFG，
∵∠ADE＝∠FHG＝90°，FH＝CD＝AD，
∴△ADE≌△FHG（ASA），
∴DE＝GH＝3，
∵AF＝BH，
∴BG＝BH＝GH3，
∴四边形AFGB的面积（）×6．
选：B．
10．解：∵△ABC为等腰直角三角形，
∴∠ABC＝∠ACB＝45°，
∵四边形CDEF是边长为4的正方形，且边DG在直线BC上，
∴∠CDE＝∠DCF＝90°，DG＝4cm，
当0≤x≤4时，如图，DE交AB于点H，
则△BDH为等腰直角三角形，
∴BD＝DH＝x cm，
∴y＝S△BDH（ cm2）；
当4＜x≤8时，如图，过A作AO⊥BC于点O，CF交AB于点M，DE交AC于点N，
则△BMG和△CDN为等腰三角形，AOBC＝4cm，
∴GM＝BG＝BD﹣DG＝（x﹣4）cm，DN＝CD＝BC﹣BD＝（8﹣x）cm，
∴y＝S△ABC﹣S△BCM﹣S△CDN（x﹣6）2+12；
当8＜x≤12时，如图，CF交AC于点P，
则△CGP为等腰直角三角形，
∵CD＝BD﹣BC＝（x﹣8）cm，
∴PG＝CG＝DG﹣CD＝（12﹣x）cm，
∴y＝S△CGP．
综上，．
选：A．
二．填空题（共5小题，满分15分，每小题3分）
11．解：680000＝6.8×105．
答案为：6.8×105．
12．解：∵a2﹣3a+1＝0，
∴a2＝3a﹣1，
∴
＝8，
答案为：8．
13．解：添加条件DO＝BO，
证明：∵AO＝CO，DO＝BO，
∴四边形ABCD为平行四边形，
答案为：DO＝BO．
14．解：过抛物线L2的顶点D作CD∥x轴，与y轴交于点C，如图所示：
则四边形OCDA是矩形，
∵抛物线L1：y＝ax2+bx+c（a≠0）与x轴只有一个公共点A（1，0），与y轴交于点B（0，2），
∴OB＝2，OA＝1，
将抛物线L1向下平移两个单位长度得抛物线L2，则AD＝OC＝2，
由图可知，阴影部分的面积等于矩形OCDA的面积，
∴S阴影部分＝S矩形OCDA＝OA AD＝1×2＝2．
答案为：2．
15．解：∵△ABC和△ADE是等腰直角三角形，
∴ACABCB，ADAE，
∴．
∵∠BAC＝∠EAD＝45°，
∴∠BAE＝∠CAD，
∴△BAE∽△CAD，①正确．
∵△BAE∽△CAD，
∴∠BEA＝∠CDA．
∵∠PME＝∠AMD，
∴△PME∽△AMD，
∴，
∴MP MD＝MA ME，②正确．
由②得MP MD＝MA ME，
∴．
∵∠PMA＝∠EMD，
∴△PMA∽△EMD，
∴∠APD＝∠AED＝90°．
∵∠CAE＝180°﹣∠BAC﹣∠EAD＝90°，
∴∠APD＝∠CAE．
∵∠APD＝∠CAE，∠C是公共角，
∴△CAP∽△CMA，
∴，
∴AC2＝CP CM．
∵ACCB，
∴2CB2＝CP CM，③正确．
答案为：①②③．
三．解答题（共7小题，满分55分）
16．解：原式＝4x2﹣4x+1﹣[（2x）2﹣1]
＝4x2﹣4x+1﹣4x2+1
＝2﹣4x，
当时，原式．
17．解：（1）如图，△A1B1C1即为所求．
（2）如图，△A2B2C即为所求．
（3）由勾股定理得，AC，
∴点A经过的路径长是．
答案为：．
18．解：（1）甲的成绩中，7环与8环都出现了3次，次数最多，众数为7环与8环；
把乙队员选拔赛成绩按从小到大的顺序排列，中位数是第5、第6个数的平均数，
则乙队员选拔赛成绩的中位数是6.5（环）；
答案为：7与8，6.5；
（2）推荐甲队代表学校参加比赛．理由如下：
甲队的平均数是（环），
甲队的方差是：；
∵8＞7，1.6＜3.4，
∴甲以代表学校参加比赛；
（3）列表如下：
男1 男2 男3 女
男1 （男1，男2） （男1，男3） （男1，女）
男2 （男2，男1） （男2，男3） （男2，女）
男3 （男3，男1） （男3，男2） （男3，女）
女 （女，男1） （女，男2） （女，男3）
共有12种等可能的情况数，其中恰好选出一名男生和一名女生的有6种，
则恰好选出一名男生和一名女生的概率是．
19．（1）证明：如图2，作直径AF，连接DF，
则∠ADF＝90°，
∴∠DAF+∠AFD＝90°，
由圆周角定理得：∠ABD＝∠AFD，
∵∠ABD＝∠DAE，
∴∠DAE＝∠AFD，
∴∠DAF+∠DAE＝90°，
∴∠FAE＝90°，
∵AF是⊙O的直径，
∴直线l是⊙O的切线；
（2）解：如图3，过点A作AH⊥BD于H，
∵∠DAE＝30°，∠ABD＝∠DAE，
∴∠ABD＝∠DAE＝30°，AF＝2AD＝4，
∴AHAB＝4，BHAB＝4，
由勾股定理得：DH2，
∴BD＝BH+DH＝6，
∴CD2．
20．解：（1）由题意，设y关于x的函数表达式为y＝kx+b，
∴．
∴．
∴y关于x的函数表达式为y＝﹣6x+600．
（2）由题意，可得每周出售这种糕点所获利润＝（x﹣40）（﹣6x+600）
＝﹣6x2+840x﹣24000
＝﹣6（x﹣70）2+5400．
∵﹣6＜0，
∴当x＝70时，每周出售这种糕点所获利润最大，最大利润为5400元．
（3）由（2）每周出售这种糕点所获利润＝﹣6（x﹣70）2+5400．
又∵50≤x≤80，
∴当x＝50时，所获利润最小为3000元；当x＝70时，所获利润最大为5400元．
∴销售单价需满足50≤x≤80，则每周至少可获得3000元的利润．
21．（1）证明：∵四边形ABCD是矩形，AB＝4，BC＝2，
∴∠A＝∠DCQ＝∠ADC＝90°，
∴∠ADP+∠CDP＝90°，
∵AB＝CD＝4，BC＝AD＝2，
∵AP＝t，CQ＝2t，
∴，
∴△ADP∽△CDQ，
∴∠ADP＝∠CDQ，
∴∠CDQ+∠CDP＝90°，即∠PDQ＝90°，
∴DP⊥DQ；
（2）①解：∵DB平分∠PDQ，
∴∠PDB＝∠BDQ＝45°，
过点P作PF⊥BD交于点F，
∴PF＝DF，
∵AP＝t，AD＝2，
∴DP，
∴PF，
∵sin∠ABD，
解得t或t＝﹣6（舍）；
②解：当P与A点重合时，△PBE≌△QDP，t＝0；
以B为坐标原点，BC所在的直线为x轴，AB所在的直线为y轴，建立了直角坐标系，
∵AB＝6，BC＝2，
∴A（0，6），B（2，0），
∴D（2，6），
∵AP＝t，CQ＝2t，
∴P（0，4﹣t），Q（2+2t，0），
取DQ的中点M，连接EM，
∴M（2+t，2），
∵DE平分∠PDQ，
∴∠PDE＝∠QDE，
∵CD＝2AD，CQ＝2AP，∠PDQ＝90°，
∴△ADP∽△CDQ，
∴DQ＝2AP，
∴DM＝PD，
∴△PDE≌△MDE（SAS），
∴EP＝EM，
当E点在C点左侧时，如图3﹣1﹣1，此时△PBE∽△QDP，
∴PB＝BE，
∵PB＝4﹣t，
∴BE＝2t，
∴E（2t，0），
∴（4﹣t）2+（2t）2＝（2t﹣2﹣t）2+4，
解得t＝﹣5或t＝﹣5（舍）；
当E点在C点右侧，P点在BC上方时，如图3﹣2，△PBE∽△PDQ，
此时E（8﹣2t，0），
∴（6﹣3t）2+4＝（4﹣t）2+（8﹣2t）2，
解得t或t（舍）；
当E点在C点右侧，P点在BC下方时，如图3﹣3，△PBE∽△PDQ，
此时E（2t﹣8，0），P（4﹣t，0），
∴（4﹣t）2+（8﹣2t）2＝（t﹣10）2+4，
解得t＝1（舍）或t＝6；
当E点在C点右侧，P点在BC下方时，如图3﹣4，△PBE∽△QDP，
此时E（t﹣2，0），P（4﹣t，0），
∴（4﹣t）2+（t﹣2）2＝（t+4）2+4，
解得t＝0（舍）或t＝14；
综上所述：t的值为0或6或14或或﹣5．
22．解：（1）把点A（﹣6，0）和点B（2，0）代入抛物线y＝ax2+bx﹣6得，
解得，
∴抛物线的函数解析式yx2+2x﹣6；
（2）①存在：
∵抛物线的函数解析式yx2+2x﹣6交y轴于C，
∴C（0，﹣6），
∵A（﹣6，0），
∴直线AC的解析式为y＝﹣x﹣6，
设点D的坐标为（m，﹣m﹣6），其中﹣6＜m＜0，
∵B（2，0），C（0，﹣6），
∴BD2＝（m﹣2）2+（m+6）2，BC2＝22+62＝40，DC2＝m2+（﹣m﹣6+6）2＝2m2，
∵DE∥BC，
∴当DE＝BC时，以点D，C，B，E为顶点的四边形为平行四边形，
分两种情况：
如图，当BD＝BC时，四边形BDEC为菱形，
∴BD2＝BC2，
∴（m﹣2）2+（m+6）2＝40，
解得：m1＝﹣4，m2＝0（舍去），
∴点D的坐标为（﹣4，﹣2），
∵点D向左移动2各单位长度，向下移动6个单位长度得到点E，
∴点E的坐标为（﹣6，﹣8）；
如图，当CD＝CB时，四边形CBED为菱形，
∴CD2＝CB2，
∴2m2＝40，
解得：m1＝﹣2，m2＝2（舍去），
∴点D的坐标为（﹣2，26），
∵点D向右移动2个单位长度，向上移动6个单位长度得到点E，
∴点E的坐标为（2﹣2，2）；
综上，存在点E，使得以点D，C，B，E为顶点的四边形为菱形，点E的坐标为（﹣6，﹣8）或（2﹣2，2）；
②设点D的坐标为（m，﹣m﹣6），其中﹣6＜m＜0，
∵A（﹣6，0），B（2，0），
∴抛物线的对称轴为直线x＝﹣2，
∵直线BC的函数表达式为y＝3x﹣6，直线l∥BC，
∴设直线l的解析式为y＝3x+b，
∵点D的坐标（m，﹣m﹣6），
∴b＝﹣4m﹣6，
∴M（﹣2，﹣4m﹣12），
∵抛物线的对称轴与直线AC交于点N，
∴N（﹣2，﹣4），
∴MN＝﹣4m﹣12+4＝﹣4m﹣8，
∵S△DMN＝S△AOC，
∴（﹣4m﹣8）（﹣2﹣m）6×6，
整理得：m2+4m﹣5＝0，
解得：m1＝﹣5，m2＝1（舍去），
∴点D的坐标为（﹣5，﹣1），
∴点M的坐标为（﹣2，8），
∴DM3，
答：DM的长为3．
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