机密★启用前
·2025届高三2月人学大联考
数学
本试卷共4页。全卷满分150分，考试时间120分钟。
注意事项：
1.答题前，考生务必将自已的姓名、准考证号填写在本试卷和答题卡上。
2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应的答案标号涂黑，如有改动，用
橡皮擦干净后，再选涂其他答案；回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效。
3,考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。
一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符
合题目要求的，
1.设集合A={0,1},B={x|x2-5x十t=0},若A∩B={1},则AUB=
A.{0,-4,1}
B.{0,1}
C.{0,1,2
D.{0,1,4}
2.x-
一2i的虚部为
A-日
c唱
D-2
3已知函数fx)=1干x则fm)+f(偏)-
A时
B.1
C.m+1
D.1
4.已知非零向量a,b满足引2a-b=a+b1,且c0s
=号，则合-
A号
B号
C.1
5记数列a}的前n项和为S,若数列》
是公差为1的等差数列，则222
as
A.1
B.2
C.2025
D.2022
6.已知taa-tan明=2-2ana·tang,tan(a-g)=号，则tana-tang-
A.1
B7
c
D,2
7.已知球与圆台的上下底面和侧面都相切，若圆台的母线长为6，下底面半径是上底面半径的2
倍，则球的表面积为
A.8π
B.16π
C.24π
D.32x
【高三数学试题第1页（共4页）】
CS扫描全能王
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8,在直角坐标系2Oy中，F1,F,分别为椭圓C,+少
6=1(a>b>0)的左、右焦点，过点F2作z轴
的垂线交C于A,D两点，连接AF1并延长交C于另一点B,且AD=8,AB=9,则C的长轴长为
A.7或10
B.6
C.7或9
D.10
二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要
求，全部选对得6分，部分选对得部分分，选错得0分
9.已知函数f(x)=sin.x一√3cosx,则
A.f(x)的最小值为一√
B.f(x)的最小正周期为2π
Cy-f(x)的图象关于直线x=一晋对称
D,将f(x)的图象向右平移个单位长度，得到y=2sinx的图象
10.设工y∈R则使得，C>x一y”成立的一个充分不必要条件是
2
A.xiB.1og3(y-x)>0
c1>1>0
D.x1已知等比数列a,}的公比g>1,g-1=一当am取得最小值时，下列说法正确的是
Ag=号
B.a1不为整数
C.{an}中有且仅有一项为奇数
D.{am}中的所有整数之和S<100
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分，
12.某高三年级组采用随机抽样的方式抽取了20名学生在某次数学周测中解答填空压轴题的时
间记录如下表：
解答时间/分钟
[0,5)
[5,10)
[10,15)
15,20)
频数
2
8
8
2
根据上表数据估计这20名学生解答时间的平均值为
,中位数为
13.已知M为抛物线y2=8x上一点，以M为圆心，1为半径作得圆M,过点N(6,0)作圆M的两
条切线，切点分别为A,B,则四边形MANB周长的最小值是
14若(x2+z-1)=a+a2+z),则a,=
0
【高三数学试题第2页（共4页）】
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参考答案、提示及评分细则
１．【答案】D
【解析】由A∩B＝{１}可知１２－５＋t＝０ t＝４,当t＝４时,x２－５x＋４＝０,解得x＝１或x＝４,即B＝{１,４}．
故A∪B＝{０,１,４},故选D．
２．【答案】A
(
【解析】 ４－i ４－i
)(１＋i) ５ １ １
z＝ －２i＝ ,其虚部为 ,故选１－i ２ －２i＝２－２i －２ A．
３．【答案】B
１ ２
２ ２ ( ) ２
【解析】易得函数f( )
x
x ＝ ２的定义域为R,且f(x)＋f( １ ) x x x １＝ ２＋ ２＝ ２＋ ２＝１,故１＋x x １＋x
１＋ ( １ ) １＋x １＋xx
选B．
４．【答案】B
【解析】由|２a－b|＝|a＋b|两边平方得４a２－４a b＋b２＝a２＋２a b＋b２,整理得a２＝２a b,所以|a|＝
, ２ ,所以|a| ２２|b|cos＜ab＞＝ ,故选３|b| |b|＝３ B．
５．【答案】A
【 】 Sn S解析 易知
a ＝
１
a ＋１×
(n－１)＝n,故Sn＝nan,当n≥２时,Sn－１＝(n－１)an－１,两式相减得(n－１)an＝
n １
(n－１)an－１, , { } ,
a
即an＝an－１ 故 an 为常数列 则a ＝a ,故
２０２５
２０２５ ３ ,故选a ＝１ A．３
６．【答案】C
【解析】由tan(α－β)
１,可得 tanα－tan＝ β
１,即 １( ),即有
３ １＋tanα tan ＝ tanα－tan ＝ １＋tanα tan ２－２tanα tanβ ３ β ３ β β
１( ５ ５ ４＝３ １＋tanα
tanβ),解得tanα tanβ＝ ,故７ tanα－tanβ＝２－２tanα
tanβ＝２－２× ＝ ,故选７ ７ C．
７．【答案】D
【解析】考虑圆台的轴截面(如图),记球的半径为r,两底面圆圆心分别为O１,O２,线段
O１O２ 的中点为O,易知OO１＝r．作OM⊥AB,由过圆外一点作圆的切线,切线长相等
得O１A＝AM,O２B＝BM,于是O１A＋O２B＝AB＝６,而O２B＝２O１A,故可知O１A＝
２,O B＝４,故(２r)２＝AB２２ －(O２B－O１A)２＝３６－４＝３２,即r２＝８,故球的表面积S＝
４πr２＝３２π,故选D．
【高三数学试题参考答案 第 １ 页(共７页)】
{#{QQABJQO5xgiQgBTACQ5rUQGQCEuQkJAgLWokgQCUOAwKgRFABAA=}#}
８．【答案】D
【解析】由题意可知AF２＝DF２＝４,设椭圆的半长轴长为a,则AF１＝２a－４,BF１＝９－(２a－４)＝１３－２a,
( AF ４ ２BF２＝２a－BF１＝２a－ １３－２a)＝４a－１３,在Rt△AF１F２ 中,cosA＝
２
AF ＝２a－４＝
,在
a－２ △ABF２
中,
１
AB２＋AF２－BF２ ９２＋４２－BF２ ９７－(４a－１３)２ －１６a２＋１０４a－７２ －２a２＋１３a－９
cosA＝ ２ ２ ２ ,２AB AF ＝２ ２×９×４ ＝ ７２ ＝ ７２ ＝ ９
所以 ２ －２a
２＋１３a－９,整理得 ( ２ ) ,即 ２ ７
a－２＝ ９ －a ２a －１７a＋３５ ＝０ ２a －１７a＋３５＝０
,解得a＝５或a＝ ,当２ a
７
＝ 时,AF１＝３,BF１＝６,AF１＜BF１,不满足题意,故舍去;当a＝５时,AF１＝６,BF１＝３,AF１＞BF１,满足２
题意,故C 的长轴长为１０,故选D．
９．【答案】BC
【解析】f(x)
π
＝sinx－ ３cosx＝２sin(x－ ) ,最小值为－２,故 A错误;由最小正周期 ２π ,可知３ T＝１＝２π B正
确:因为f( π－ ) ＝－２,故 π ２π６ C正确;将f(x)的图象向右平移 个单位长度,得到y＝２sin(x－ ) 的图象,故３ ３
D错误,故选BC．
１０．【答案】BCD
【解析】由题意可得ey＋２y＞ex＋２x,易知函数f(x)＝ex＋２x 单调递增,故x＜y,对于 A,x３＜y３ x＜y,
ey－ex故“x＜y”是“ ＞x－y”的充要条件,故A错误;对于B,由log３(y－x)２ ＞０
得y＞x＋１＞x,能推出x＜
y
,反之不成立,所以“ ( ) ”是“e －e
x
y log３ y－x ＞０ ＞x－y”的充分不必要条件,故B正确;对于 ,由
１ １
２ C x＞ ＞y
y x y x
０可得 ,故
e －e １ １ e －e
０＜x＜y ２ ＞x－y
,反之不成立,故“ ＞ ＞０”是“ ＞x－y”的充分不必要条件,故x y ２
C
y x
正确;对于D,
e －e
|x|＜y ０＜x＜y 或x＜０＜y,故“|x|＜y”是“ ＞x－y”的充分不必要条件,故 正２ D
确,故选BCD．
１１．【答案】BCD
q１０ q１０【解析】由题意可得a １０１１＝a１q ＝( )２,要使a１１取得最小值,则函数f(q)＝( )２要取得最小值,这等q－１ q－１
q５ ５q４(() q
)
价于函数 －１ －q
５ ４q５－５q４ q４(４q－５)
gq ＝ 取得最小值,易得g′(q)－１ ＝ (－１)２ ＝ ( ＝
,因为 ＞１,所以
q q q－１)２ (q－１)２ q
【高三数学试题参考答案 第 ２ 页(共７页)】
{#{QQABJQO5xgiQgBTACQ5rUQGQCEuQkJAgLWokgQCUOAwKgRFABAA=}#}
当 ( ,５q∈ １ ４ ) 时,
５ ５
g(q)单调递减,当q∈ ( ,４ ＋∞ ) 时,g(q)单调递增,故当q＝ 时,４ a１１取得最小值,故 A
; q
１０
错误 ５
１０
a１１＝( )２＝１６ ( ) 不为整数,故 正确;由于 ５－１ ４ Bq q＝ ,若an 为４的倍数,则an＋１为整数;若４ an
不为４的倍数,则an＋１不为整数,且am(m＞n)均不为整数,将
５
q＝ 代入,解得４ a１＝１６
,a２＝２０,a３＝２５,则
am(m＞３)均不为整数,所以{an}中有且仅有一项为奇数,{an}中的所有整数之和S＝１６＋２０＋２５＜１００,故
CD正确,故选BCD．
１２．【答案】１０,１０(第一个空３分,第二个空２分)
【解析】 １ ２＋８x＝ ×(２０ ２．５×２＋７．５×８＋１２．５×８＋１７．５×２
)＝１０．因为解答时间位于区间[０,１０)的频率为 ２０ ＝
１,所以解答时间的中位数为
２ １０．
故答案为１０,１０．
１３．【答案】２ ３１＋２
【解析】易得C四边形MANB＝MA＋MB＋NA＋NB,其中 MA＝MB＝１,NA＝NB＝ MN２－１．设点 M(x,
y),则MN２＝(x－６)２＋y２＝(x－２)２＋３２≥３２,故NA≥ ３１,于是四边形 MANB 周长的最小值是２ ３１
＋２．故答案为２ ３１＋２．
１４．【答案】－７
１４ １４ １４
【解析】等式两边求导可得７(２x＋１)(x２＋x－１)６＝∑ia i－１i (２＋x) ,代入x＝－１,有∑iai＝－７,故∑iai
i＝１ i＝１ i＝０
１４
＝∑iai＝－７,故答案为－７．
i＝１
１５．【解析】(１)由已知得bcosC＋ccosB＝２acosA,由正弦定理得sinA＝sin(B＋C)＝２sinAcosA, ２分
因为sinA≠０,所以２cosA＝１,即
１
cosA＝ , ２ ４
分
又因为A∈(０,π),所以
π
A＝ ． 分３ ６
()外接圆半径 a a２ r＝ ＝ ,要使外接圆的半径最小,只需a 最小,而 ２ ２ ２２sinA a ＝b ＋c －２bccosA＝b
２＋c２－bc
３
≥２bc－bc＝bc＝４, １１分
当且仅当 ２３b＝c＝２时取等号,此时a＝２,则rmin＝ ． １２分３
故 ４π△ABC 外接圆面积的最小值为 ． １３分３
【高三数学试题参考答案 第 ３ 页(共７页)】
{#{QQABJQO5xgiQgBTACQ5rUQGQCEuQkJAgLWokgQCUOAwKgRFABAA=}#}
１６．【解析】(１)证明:如图,取CD 的中点E,连接BE,因为AB∥CD,
１
AB＝２CD＝DE
,所以四边形ABED 为
平行四边形,则AD＝BE＝１, ２分
又 DE ＝EC ＝１,所 以 DE ＝EC ＝BE,则 ∠CBD ＝９０°,所 以
BD⊥BC, ４分
因为CP⊥平面PBD,BD 平面PBD,所以CP⊥BD, ５分
因为CP∩BC＝C,CP 平面PBC,BC 平面PBC,所以BD⊥平面PBC． ６分
(２)因为AB⊥AD,所以BD＝ ２,易知四边形 ABED 为矩
形,所以BC＝ ２,又 PC＝１,PC⊥PB,所以 PB＝１,所以
△PBC 为等腰直角三角形,其斜边上的高为
２
． ８分２
以B 为坐标原点,BC,BD 所在直线分别为x 轴、y 轴,过B 作垂直于平面ABCD 的直线为z 轴,建立如图
所示的空间直角坐标系,则 ２ ２ ２ ２B(０,０,０),D(０,２,０),C(２,０,０),P ( ,０,２ ２ ) ,E ( , ,２ ２ ０) ,AD
→＝BE→＝
( ２,２,０) , ２ ２DP→＝ ( ,－ ２, ) ,P→ ２ ２C＝ ( ,０,－ ) , ２ ２ ２ ２ ２ ２ １０分
ìAD→
２ ２
n＝ x＋ y＝０,
( , ,),
２ ２
设平面PAD 的法向量为n＝ xyz 则 í １２分
DP
→ ２ ２n＝２x－ ２y＋２z＝０
,
取x＝１,可得n＝(１,－１,－３)． １３分
→
设直线PC 与平面PAD 所成角为 ,则
|PC n| ２２ ２ ２２
θ sinθ＝|cos＜P→C,n＞|＝
|P→
＝ ＝ ,
C||n| １× １１ １１
故直线 与平面 所成角的正弦值为２ ２２PC PAD ． １１ １５
分
１７．【解析】(１)由C 的实轴长为４,得a２＝４, １分
４＋b２由 ５＝ ,得b２＝１, 分４ ２ ３
y２
故C 的标准方程为 ２４－x ＝１．
４分
(２)设M(x０,y０)(x０＞０,y０＞０), ５分
|x －y| |x ＋y|
点M 到直线y＝x 的距离d１＝
０ ０ ,同理点M 到直线y＝－x 的距离d２＝
０ ０ , ７分
２ ２
【高三数学试题参考答案 第 ４ 页(共７页)】
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, , |x０－y０| |x０＋y因为直线 ＝x 与 ＝－x 互相垂直 所以四边形OAMB 为矩形 其面积为dd ＝ ０
|
y y １ ２ ＝
２ ２
|x２ ２０－y０|, 分
２ ９
y２ |x２, ０ ２ －
(４x２＋４)| |３x２＋４| ３x２＋４
由点M 在C 上 得４－x０＝１
,所以 ２＝４x２＋４,所以dd ＝ ０ ０y０ ０ １ ２ ２ ＝
０ ＝ ０２ ２ ＝８
,
因为M 在第一象限,所以x０＝２, １１分
代入C 的方程得y０＝２５,所以M(２,２５),又F(０,５), １２分
y２
所以直线MF 的方程为
５
y＝ x＋ ５,与 －x２＝１联立消y 整理得 ２２ ４ １１x －２０x－４＝０
,由xMxN ＝２xN ＝
４
－ ,得
２
xN ＝－ , 分１１ １１ １４
|x |
由平面几何知识可得|MF|＝ M ＝１１． 分|NF| |x １５N|
１８．【解析】(１)易得f′(x)
１
＝ ,则f′(１)＝１, 分x １
g(１)
３
＝a＋b－ ＝f(１)＝０, ２分２
g′(x)＝２ax＋b,g′(１)＝２a＋b＝f′(１)＝１, ３分
解得 , １b＝２a＝－ ． ２ ５
分
(２)由题意可得 ( ) ( ) ( )
１ ３
hx ＝f x －g x ＝lnx＋ ２ , 分２x －２x＋２ ６
２ (
则 ( ) １ x －２x＋１ x－１
)２
h′x ＝ ＋x－２＝ ＝ ≥０(x＞０), 分x x x ８
故h(x)在(０,＋∞)单调递增,所以h(x)的单调递增区间为(０,＋∞),无单调递减区间． １０分
(３)法一:由题意可转化为h(x)＝f(x)－g(x)＝lnx－ax２－bx－c两次与x 轴相切． １１分
１ －２ax２－bx＋１
h′(x)＝ －２ax－b＝ (x＞０),可转化为h′(x)存在两个变号零点, １３分x x
设 b １－２ax２－bx＋１＝－２a(x－x１)(x－x２),其中０＜x１＜x２,x１＋x２＝－ , ,２a x１x２＝－２a
显然a＜０, １５分
则h′(x)在区间(０,x１)和(x２,＋∞)上为正,在区间(x１,x２)上为负, １６分
若h(x１)＝０,则h(x２)＜h(x１)＝０;若h(x２)＝０,则h(x１)＞h(x２)＝０,h(x)不可能与x 轴相切两次,故不
存在． １７分
【高三数学试题参考答案 第 ５ 页(共７页)】
{#{QQABJQO5xgiQgBTACQ5rUQGQCEuQkJAgLWokgQCUOAwKgRFABAA=}#}
法二:假设存在满足题意的实数a,b,c,设切点分别为x１,x２,不妨x２＞x１＞０, １１分
ìax２ １＋bx１＋c＝lnx１
ìf(x１)＝g(x１)
ax２２＋bx２＋c＝lnx２
f(x２)＝g(x )
２ ２ax
２
１＋bx１－１＝０
则 í ,即 í １ ,则{ , １３分 f′(x )＝g′(x ) ２ax１＋b＝ １ １ x ２１ ２ax２＋bx２－１＝０
( ) ( ) f′x２ ＝g′x２ １
２ax２＋b＝ x２
则关于x 的二次方程２ax２＋bx－１＝０有两相异实根,故 Δ＝b２＋８a＞０,同时
b
x１＋x２＝－ ,２a x１x２＝
ax２１ { １＋bx１＋c＝lnx１－ ,显然a＜０＜b,而 相减得lnx －lnx ＝a(x２－x２２a １ ２ １ ２)＋b(x１－x２), １４分ax２２＋bx２＋c＝lnx２
lnx －lnx x －x
整理得 １ ２ ( ) b ２
x －x ＝ax１＋x２ ＋b＝
,故 ２ １ ,
１ ２ ２ lnx２－lnx ＝１ b
x２
x －x x －x x －１ x
先证 ２ １ ＞ x１x２ ,即证
２ １＝ １ ＞ln ２, 分lnx２－lnx １５１ x１x２ x２ x１
x１
t－１
t－
x ２
令t＝ ２
( )
＞１,设函数 ()
t－１
Gt ＝lnt－ ,则G′(t)
１ ２t －t＋２t－１ － t－１
x ＝t－ ＝ ＝ ＜０
,故
t G
(t)
１ t ２tt ２tt
在定义域内单调递减,G(t)＜G(１)＝０,原不等式成立, １６分
则２ １＞ － ,两边平方得
４ １
b ２a b２＞－
,由于a＜０,故－８a＞b２,得b２ 与 ２２a ＋８a＜０ b ＋８a＞０
,矛盾,
故不存在． １７分
１９．【解析】(１)(i)由题意可得P(X＝１)＝２m(１－m), ２分
故当 １m＝ 时取最大值,其极大似然估计为
１
． 分２ ２ ４
(i)由题得m∈N ,且m≥３,
( )( )
P(X＝３)＝C３
１ m m m－１ m－２
m m ＝ ( ) m ＝ m , ６分２ ３ m－３ ２ ６ ２
(m＋１)m(m－１)
令 m
(m－１)(m－２) a ６ ２m＋１m＋１ m＋１am＝ ６ ２m
,则 ＝ ( , 分am m m－１)(m－２)＝２m－４ ８
６ ２m
其中m≥３,２m－４＞０．当m＜５时,m＋１＞２m－４,则am＋１＞am; ９分
当m＝５时,有a５＝a６;当m≥６时,am＋１＜am,故am 在m＝５或m＝６有最大值,则m 在X＝３下的极大似
然估计为５或６． １０分
【高三数学试题参考答案 第 ６ 页(共７页)】
{#{QQABJQO5xgiQgBTACQ5rUQGQCEuQkJAgLWokgQCUOAwKgRFABAA=}#}
(２)显然有 m＞k,设 m 次点击后获得的积分为随机变量X,由题可知 X 服从二项分布B(m,p),则
P(X＝k)＝Ckpk (１－p)m－km , １１分
(m＋１)
a Ck pk (１－p)m＋１－k ( )
(１－p)
同 ( )( )设 k m＋１－k １ i am ＝ Ckpk m－k
m＋１ m＋１
m (１－p) ,则 a ＝ Ck k m－k ＝m mp (１－p) m
＝
k (m－k)
(m＋１)(１－p)
． m－k＋１ １３
分
当( ) ,即 k 时, ,当 k 时, ,当 k１－p m＋１－p＜m－k＋１ m＞ －１ ap m＋１
＜am m＜ －１ am＋１＞am m＝ －１时,p p
am＋１＝am． １４分
①:若
k
－１为整数,则对m 的极大似然估计m０ 为
k k k k
－１和 ,满足m
p p p ０
≤ ,当 ∈N 时等号成立, １５分
p p
②:若
k k
－１不为整数,记N 为小于 －１的最大整数,则
k
N＋１＞ －１,则
k
m≤N＜ －１时,a ＞a ;当
p p p p m＋１ m
k
m≥N＋１＞ －１时,am＋１＜am, １６分p
则m 的极大似然估计 为
k,故 k km N＋１＜ m ≤ ,综上可知:等号能成立的条件为 ∈N ０ ０ ． １７分p p p
【高三数学试题参考答案 第 ７ 页(共７页)】
{#{QQABJQO5xgiQgBTACQ5rUQGQCEuQkJAgLWokgQCUOAwKgRFABAA=}#}