第6章 一次方程组
提优测评卷
一、单选题
1．若xa﹣b﹣2ya+b﹣2＝0是二元一次方程，则a，b的值分别是（ ）
A．1，0 B．0，﹣1 C．2，1 D．2，﹣3
2．已知 是方程的一个解，那么的值是（ ）
A．-1 B． C． D．
3．若与是同类项，则的值是（ ）
A． B． C． D．
4．方程组的解适合方程，则k值为
A．2 B． C．1 D．
5．某农场去年计划生产玉米和小麦共吨，采用新技术后，实际产量为吨，其中玉米超产，小麦超产，设该农场去年计划生产玉米吨、小麦吨，则所列方程组正确的是（ ）
A． B．
C． D．
6．已知方程组的解是，则方程组的解是（ ）．
A． B． C． D．
7．如图，三个一样大小的小长方形沿“横-竖-横”排列在一个长为10，宽为8的大长方形中，则图中一个小长方形的周长为（ ）
A．8 B．10 C．12 D．14
8．已知关于、的二元一次方程组，给出下列结论中正确的是（ ）
①当这个方程组的解、的值互为相反数时，；
②当时，方程组的解也是方程的解；
③无论取什么实数，的值始终不变；
④若用表示，则．
A．①② B．②③ C．①③④ D．②③④
二、填空题
9．请写出一个以x、y为未知数的二元一次方程组，且同时满足下列两个条件：
①由两个二元一次方程组成；②方程组的解为．这样的方程组可以是 ．
10．如果是方程的一组解，则a的值为 ．
11．如表，每一行x，y，t的值都满足方程．如：当第二行中的3，2，6分别对应方程中x，y，t的值时，可得．根据题意，的值等于 ．
x y t
3 2 6
2 3 14
12．利用两块完全相同的直角三角板测量升旗台的高度．首先将两块完全相同的三角板按图1放置，然后交换两块三角板的位置，按图2放置，测量数据如图所示，则升旗台的高度是 cm．
三、解答题
13．下面是颖颖同学解二元一次方程组的过程，请认真阅读并完成相应的任务：
解方程组：，
解：①×2，得③…第一步；
②﹣③，得；
将代入①，得…第二步；
所以，原方程组的解为…第三步；
(1)这种求解二元一次方程组的方法叫做 法，以上求解步骤中，第一步的依据是 ；
(2)第 步开始出现错误，具体错误是 ；
(3)直接写出该方程组的正确解： ．
14．（1）已知关于，的二元一次方程组与方程有相同的解，求的值．
（2）关于，的二元一次方程组的解为正整数，求整数的值．
15．阅读下列文字，请仔细体会其中的数学思想：
(1)解方程组，我们利用加减消元法，很快可以求得此方程组的解为 ；
(2)如何解方程组呢，我们可以把m+5，n+3分别看成一个整体，设m+5＝x，n+3＝y，很快可以求出原方程组的解为 ；
由此请你解决下列问题：
(3)若关于m，n的方程组与有相同的解，求a，b的值．
16．明代数学家程大位的《算法统宗》中有这样一个问题如图所示，其大意为：有一群人分银子，如果每人分七两，则剩余四两；如果每人分九两，则还差八两．问有多少人？所分的银子共有多少两？（注：明代时斤两，故有“半斤八两”这个成语）
17．某县在创建省级卫生文明县城中，对县城内的河道进行整治.现有一段长为米的河道整治任务由甲、乙两个工程队先后接力完成.甲工程队每天整治8米，乙工程队每天整治米，共用时天.
(1)小明、小华两位同学提出解题思路如下：
小明同学：设整治任务完成后甲工程队整治河道米，乙工程队整治河道米.
根据题意，得
小华同学：设整治任务完成后，表示________，表示________；
得
请你补全小明、小华两位同学的解题思路.
(2)求甲、乙两工程队分别整治河道多少米？请从中任选一个方程组求解.（写出完整的解答过程）
18．已知关于，的方程组
（1）请写出方程的所有正整数解；
（2）若方程组的解满足，求的值；
（3）无论实数取何值，方程总有一个公共解，你能把求出这个公共解吗？
（4）如果方程组有整数解，求整数的值．
19．耀州瓷是北方青瓷的代表，出产于陕西省，以瓷质细腻，色泽青翠晶莹、线条明快流畅、造型端庄浑朴著称于世．某瓷器超市有A、B两种规格的倒装壶瓷器按定价销售，已知3件A种规格的倒装壶瓷器和2件B种规格的倒装壶瓷器总售价为1700元，4件A种规格的倒装壶瓷器和1件B种规格的倒装壶瓷器总售价为1600元．
(1)分别求出每件A种规格的倒装壶瓷器和每件B种规格的倒装壶瓷器的定价；
(2)旅游旺季期间，某天该瓷器超市通过销售这两种规格的倒装壶瓷器共获得3600元，且两种规格的倒装壶瓷器都有销售，请你计算该超市这天所有可能的销售方案（即每种规格的倒装壶瓷器各销售了多少件）．
20．阅读下列材料： 小明同学遇到下列问题：
解方程组，他发现如果直接用代入消元法或加减消元法求解，运算量比较大，也容易出错．如果把方程组中的（2x＋3y）和（2x—3y）分别看做一个整体，通过换元，可以解决问题．以下是他的解题过程：
令m＝2x＋3y，n＝2x—3y，原方程组可以化为：，解得
把代入m＝2x＋3y，n＝2x—3y，得，解得
∴原方程组的解为
请你参考小明同学的做法，解决下面的问题：
(1)解方程组：
(2)若方程组的解是，则方程组的解是 ．
21．阅读下列材料，并补全解答过程：
问题：某饭店工作人员第一次买了13只鸡，5只鸭，9只鹅共用了925元．第二次买了2只鸡，4只鸭，3只鹅共用了320元，试问第三次买了鸡，鸭，鹅各一只共需多少元？（假定三次购买鸡，鸭，鹅的单价不变）
解：设鸡，鸭，鹅的单价分别为元．依题意，得
上述方程组可变形为
设，上述方程组可化为
得：______，即______．
答：第三次买鸡，鸭，鹅各一只共需______元．
阅读后，细心的你．可以解决下列问题：
(1)选择题：上述材料中的解答过程运用了______思想方法来指导解题．
A．整体带入 B．数形结合 C．分类讨论
(2)某校体育组购买体育用品甲，乙，丙，丁的件数和用钱金额如下表：
品名 次数 甲 乙 丙 丁 用钱金额（元）
第一次购买件数 5 4 3 1 1882
第二次购买件数 9 7 5 1 2764
那么购买每种体育用品各一件共需多少元？
试卷第1页，共3页
试卷第1页，共3页
参考答案
题号 1 2 3 4 5 6 7 8
答案 C A A A A A C C
1．C
【知识点】加减消元法、二元一次方程的定义
【分析】根据二元一次方程的定义，可得到关于a，b的方程组，解出即可求解．
【详解】解：∵xa﹣b﹣2ya+b﹣2＝0是二元一次方程，
∴ ，
解得：．
故选：C
【点睛】本题主要考查了二元一次方程的定义和解二元一次方程组，熟练掌握相关知识点是解题的关键．
2．A
【知识点】二元一次方程的解
【分析】把代入，然后解关于a的一元一次方程即可．
【详解】把代入，得
a+2=1，
∴a=-1．
故选A．
【点睛】本题考查了求二元一次方程的解，能使二元一次方程左右两边相等的未知数的值叫做二元一次方程的解．
3．A
【知识点】已知同类项求指数中字母或代数式的值、加减消元法
【分析】利用同类项的定义列出方程组，求出方程组的解得到a与b的值，即可确定出a b的值．
【详解】∵3x2a＋by2与 4x3y3a b是同类项，
∴，
①＋②得：5a＝5，即a＝1，
把a＝1代入①得：b＝1，
则a b＝1 1＝0，
故选：A．
【点睛】此题考查了解二元一次方程组，利用了消元的思想，消元的方法有：代入消元法与加减消元法．
4．A
【知识点】已知二元一次方程组的解的情况求参数
【分析】根据方程组的特点，①+②得到x+y=k+1，组成一元一次方程求解即可．
【详解】解：，
再整理得，，
由题意得，，
解得，，
故选A．
【点睛】本题考查的是二元一次方程组的解，掌握加减消元法解二次一次方程组的一般步骤是解题的关键．
5．A
【知识点】根据实际问题列二元一次方程组
【分析】本题考查二元一次方程组的应用，利用去年计划生产小麦和玉米吨，得到，再利用玉米超产，小麦超产，则某农场去年实际生产玉米和小麦共吨，得出等式，进而组成方程组即可．根据计划以及实际生产的粮食吨数得出等式是解题关键．
【详解】解：根据题意可得：．
故选：A．
6．A
【分析】根据二元一次方程组的解可得a-1，b+1的值，然后对比得到x+2，y-1的值，求解即可．
【详解】∵方程组
∴
∴
∴对比两方程组可知：；
∴，
∴x＝6.3，y＝2.2
故选：A．
【点睛】本题考查了二元一次方程组的知识；求解的关键是掌握二元一次方程组的性质，从而完成求解．
7．C
【知识点】几何问题(二元一次方程组的应用)
【分析】设小长方形的长为x，宽为y，根据题意，结合图中摆放列出关于x、y的方程组，然后解方程组即可求解．
【详解】解：设小长方形的长为x，宽为y，
根据题意，得，
解得，
∴小长方形的周长为，
故选：C．
【点睛】本题考查二元一次方程组的应用，理解题意，找准等量关系，正确列出方程组是解答的关键．
8．C
【知识点】相反数的定义、加减消元法
【分析】根据相反数的定义，得到，将方程组加减消元，得到，进而得到，求解得到的值，即可判断①结论；将代入方程组，求得，再将、代入，求出，即可判断②结论；利用加减消得到，即可判断③结论；将变形，即可判断④结论。
【详解】解：，
当这个方程组的解，的值互为相反数时，则，
得：，
，
解得：，①结论正确；
当时，，
解得：
将代入中，得：，
解得：，
方程组的解不是方程的解，②结论错误；
当时，，
，
解得：，
无论取什么实数，的值始终不变，③结论正确；
，④结论正确；
综上所述，正确的结论有①③④，
故答案为：C．
【点睛】本题主要考查的是解二元一次方程组的问题，掌握解二元一次方程组的方法是解题关键．
9．（答案不唯一）
【知识点】已知二元一次方程组的解求参数
【分析】根据二元一次方程组的解的定义，所写方程组为、的和与差的两个方程即可．
【详解】解：方程组可以是．
故答案为：（答案不唯一）．
【点睛】本题考查了二元一次方程组的解，开放型题目，答案不唯一，只要符合题意即可．
10．－1
【知识点】已知二元一次方程组的解求参数
【详解】把代入方程ax+（a-1）y=0中，得-2a+a-1=0，解得a=-1．
11．8
【知识点】已知二元一次方程组的解求参数、二元一次方程的解
【分析】根据题意的，表中x，y，t的值都满足方程，把第二行、第三行中对应的x，y，t分别代入方程中，得到方程组，求解出n，m的值，即可算出．
【详解】∵得，
∴把代入方程得，
∴得方程组
解得
∴
故答案为：8．
【点睛】本题考查二元一次方程，熟练掌握二元一次方程组定义，解二元一次方程组是解题的关键．
12．69
【知识点】几何问题(二元一次方程组的应用)
【分析】设升旗台的高度是，三角板的较长直角边长为，较小直角边长为，列方程组求出x即可．
【详解】解：设升旗台的高度是，三角板的较长直角边长为，较小直角边长为，
则，
解得：
故答案为：．
【点睛】本题考查方程组的应用，找到等量列方程组是解题的关键．
13．(1)加减消元，等式的基本性质
(2)二，合并同类项计算错误
(3)
【知识点】加减消元法
【分析】（1）根据等式的性质及加减消元法的概念即可得出答案；
（2）根据解方程的方法即可得出答案；
（3）根据②﹣①×2，求出的值再代入①即可得出答案．
【详解】（1）这种求解二元一次方程组的方法叫做加减消元法法，以上求解步骤中，第一步的依据是等式的基本性质；
（2）第二步开始出现错误，具体错误是合并同类项计算错误；
（3）①×2，得③
②﹣③，得，
整理可得，
将代入①，得，
解得，
所以，原方程组的解为．
【点睛】本题考查了加减消元法求解二元一次方程组，需满足其中一个未知数的系数相同或互为相反数，若不具备这种特征，则根据等式的性质将其中一个方程变形或将两个方程都变形，使其具备这种形式．
14．（1）；（2）或7
【知识点】已知二元一次方程组的解的情况求参数、二元一次方程组的特殊解法
【分析】本题考查了解二元一次方程组，熟练掌握二元一次方程组的解法是解答本题的关键．
（1）得，从而得出k的方程求解；
（2）由得，结合，取正整数求出，的值，进而可求出整数的值．
【详解】解：（1）
得：
（2）
，取正整数
，或，
或7
15．(1)
(2)
(3)
【知识点】方程组相同解问题、加减消元法、二元一次方程组的特殊解法
【分析】（1）利用加减消元法解二元一次方程组即可得；
（2）直接根据（1）的结论可得，由此即可得；
（3）根据两个方程组有相同的解求出的值，继而求出的值即可得．
【详解】（1）解：，
由①②得：，
解得，
由②①得：，
解得，
则方程组的解为，
故答案为：．
（2）解：由（1）得：，
解得，
即原方程组的解为，
故答案为：．
（3）解：关于的方程组与有相同的解，
，
解得，
将代入方程得：，解得，
将代入方程得：，解得，
则，
解得．
【点睛】本题考查了解二元一次方程组，熟练掌握二元一次方程组的解法，理解同解方程组的意义，并利用整体思想解题是关键．
16．有个人，两银子
【知识点】古代问题(二元一次方程组的应用)
【分析】本题考查二元一次方程组的应用，找准等量关系，正确列出方程组是解题的关键．设有个人，两银子，根据每人分七两，则剩余四两；如果每人分九两，则还差八两，列出方程组进行求解即可．
【详解】解：设有个人，两银子，
根据题意，得，
解得：，
答：有个人，两银子．
17．(1)180，，，甲工程队整治河道用的天数，乙工程队整治河道用时的天数；
(2)甲工程队整治河道120米，乙工程队整治河道60米
【知识点】根据实际问题列二元一次方程组、工程问题(二元一次方程组的应用)
【分析】（1）根据所列式子可知，小华同学所列方程组中未知数为：设整治任务完成后甲工程队整治河道x米，乙工程队整治河道y米；小华同学所列方程组中未知数为：设整治任务完成后，m表示甲工程队整治河道用的天数，n表示乙工程队整治河道用的天数，据此补全方程组即可；
（2）选小明同学所列方程组解答即可．
【详解】（1）解：小明、小华两位同学提出的解题思路如下：
小明同学：设整治任务完成后甲工程队整治河道x米，乙工程队整治河道y米．
根据题意得，
小华同学：设整治任务完成后，m表示甲工程队整治河道用的天数，n表示乙工程队整治河道用时的天数；
得，
故答案为：，，，甲工程队整治河道用的天数，乙工程队整治河道用时的天数, ；
（2）解：选小明同学所列方程组解答如下：
设整治任务完成后甲工程队整治河道x米，乙工程队整治河道y米．
由题意得：，
②整理得：③，
③-①×2得：，
把代入①得：，
方程组的解为，
答：甲工程队整治河道120米，乙工程队整治河道60米．
【点睛】本题主要考查了二元一次方程组的应用，找准等量关系，正确列出二元一次方程组是解题的关键．
18．(1); ;(2);(3)x=0,y=;(4)2或-6.
【知识点】方程组相同解问题、加减消元法、二元一次方程组的特殊解法
【分析】（1）由题意求方程的解且要使x，y都是正整数，将方程移项，再把x和y互相表示出来，在由题意要求x＞0，y＞0，根据以上两个条件可夹出合适的x值,从而代入方程得到相应的y值；
（2）由方程组求得x，y的值，代入方程即可求得m的值；
（3）方程整理后，根据无论m如何变化，二元一次方程总有一个固定的解，列出方程组，求出方程组的解即可．
（4）先把m当作已知求出x、y的值，再根据方程组有正整数解，进行判断，再找出符合条件的正整数m的值即可．
【详解】试题分析：
试题解析（1）由已知方程x+2y=5，移项得x=5-2y，
∵x，y都是正整数，则有x=5-2y＞0，又∵x＞0，
∴0＜y＜2.5，
又∵y为正整数，根据以上条件可知，合适的y值只能是y=1、2，
代入方程得相应x=3、1，
∴方程2x+y=5的正整数解为；
(2) ∵x+y=0
∴x+2y=5变为y=5
∴x=-5
将代入得.
(3) ∵由题意得二元一次方程总有一个公共解
∴方程变为(m+1)x-2y+9=0
∵这个解和m无关，
∴x=0，y=
(4) 将方程组两个方程相加得
∴
∵方程组有整数解且m为整数
∴，，
①m+2=1，计算得：（不符合题意）
②m+2=-1，计算得：（不符合题意）
③m+2=2，计算得：（不符合题意）
④m+2=-2，计算得：（不符合题意）
⑤m+2=4，计算得：（符合题意）∴m=2
⑥ m+2=-4，计算得：（符合题意）∴m=-6
【点睛】考查了二元一次方程的解，首先将方程做适当变形，确定其中一个未知数的取值范围，然后列举出适合条件的所有整数值，再求出另一个未知数的值是解答此题的关键．
19．(1)每件A种规格的倒装壶瓷器的定价为300元，每件B种规格的倒装壶瓷器的定价为400元；
(2)该超市这天一共有两种销售方案：销售A种规格的倒装壶瓷器8件，销售B种规格的倒装壶瓷器3件；销售A种规格的倒装壶瓷器4件，销售B种规格的倒装壶瓷器6件．
【知识点】二元一次方程的解、销售、利润问题(二元一次方程组的应用)
【分析】本题主要考查了二元一次方程的实际应用，二元一次方程组的实际应用：
（1）设每件A种规格的倒装壶瓷器的定价为x元，每件B种规格的倒装壶瓷器的定价为y元，根据3件A种规格的倒装壶瓷器和2件B种规格的倒装壶瓷器总售价为1700元，4件A种规格的倒装壶瓷器和1件B种规格的倒装壶瓷器总售价为1600元列出方程组求解即可；
（2）设销售A种规格的倒装壶瓷器m件，销售B种规格的倒装壶瓷器n件，根据共获得3600元可得关于m、n的二元一次方程，求出该方程的正整数解即可得到答案．
【详解】（1）解：设每件A种规格的倒装壶瓷器的定价为x元，每件B种规格的倒装壶瓷器的定价为y元，
由题意得，，
解得，
答：每件A种规格的倒装壶瓷器的定价为300元，每件B种规格的倒装壶瓷器的定价为400元；
（2）解：设销售A种规格的倒装壶瓷器m件，销售B种规格的倒装壶瓷器n件，
由题意得，，
∴，
∴，
∵m、n都是正整数，
∴当时，；
当时，；
∴该超市这天一共有两种销售方案：销售A种规格的倒装壶瓷器8件，销售B种规格的倒装壶瓷器3件；销售A种规格的倒装壶瓷器4件，销售B种规格的倒装壶瓷器6件．
20．(1)
(2)
【知识点】代入消元法、加减消元法、二元一次方程组的特殊解法
【分析】（1）令，，将方程组整理后，仿照阅读材料中的解法求出解即可；
（2）令，，将方程组整理后，仿照阅读材料中的解法求出解即可．
【详解】（1）解：令，，
原方程组可化为，
解得：，
∴，
两式相加得，将代入中，求得，
∴原方程组的解为 ；
（2）解：，，
原方程组可化为
，
依题意，得
，
∴，
解得．
故答案为：．
【点睛】本题考查了二元一次方程组的解，方程组的解即为能使方程组中两方程都成立的未知数的值．
21．(1)A
(2)购买每种体育用品各一件共需1000元
【知识点】销售、利润问题(二元一次方程组的应用)、二元一次方程组的特殊解法
【分析】本题考查了二元一次方程组的应用以及利用换元法解方程组，解题的关键是利用换元法得出关于a、b的二元一次方程组．
（1）根据题意直接得出运用了整体代入的思想方法；
（2）设体育组所购买的体育用品甲，乙，丙，丁的单价分别为元，根据题意列出方程组，再设，用换元法解出即可．
【详解】（1）解：上述材料中的解答过程运用了整体代入思想方法来指导解题
故答案为：A；
（2）设体育组所购买的体育用品甲，乙，丙，丁的单价分别为元．
根据题意得：，
该方程组可变形为：，
设，
上述方程组又可化为：，
解得：．即．
答：购买每种体育用品各一件共需1000元．
答案第1页，共2页
答案第1页，共2页第6章 一次方程组
提优测评卷
一、单选题
1．若xa﹣b﹣2ya+b﹣2＝0是二元一次方程，则a，b的值分别是（ ）
A．1，0 B．0，﹣1 C．2，1 D．2，﹣3
【答案】C
【知识点】二元一次方程的定义、加减消元法
【分析】根据二元一次方程的定义，可得到关于a，b的方程组，解出即可求解．
【详解】解：∵xa﹣b﹣2ya+b﹣2＝0是二元一次方程，
∴ ，
解得：．
故选：C
【点睛】本题主要考查了二元一次方程的定义和解二元一次方程组，熟练掌握相关知识点是解题的关键．
2．已知 是方程的一个解，那么的值是（ ）
A．-1 B． C． D．
【答案】A
【知识点】二元一次方程的解
【分析】把代入，然后解关于a的一元一次方程即可．
【详解】把代入，得
a+2=1，
∴a=-1．
故选A．
【点睛】本题考查了求二元一次方程的解，能使二元一次方程左右两边相等的未知数的值叫做二元一次方程的解．
3．若与是同类项，则的值是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【知识点】已知同类项求指数中字母或代数式的值、加减消元法
【分析】利用同类项的定义列出方程组，求出方程组的解得到a与b的值，即可确定出a b的值．
【详解】∵3x2a＋by2与 4x3y3a b是同类项，
∴，
①＋②得：5a＝5，即a＝1，
把a＝1代入①得：b＝1，
则a b＝1 1＝0，
故选：A．
【点睛】此题考查了解二元一次方程组，利用了消元的思想，消元的方法有：代入消元法与加减消元法．
4．方程组的解适合方程，则k值为
A．2 B． C．1 D．
【答案】A
【知识点】已知二元一次方程组的解的情况求参数
【分析】根据方程组的特点，①+②得到x+y=k+1，组成一元一次方程求解即可．
【详解】解：，
再整理得，，
由题意得，，
解得，，
故选A．
【点睛】本题考查的是二元一次方程组的解，掌握加减消元法解二次一次方程组的一般步骤是解题的关键．
5．某农场去年计划生产玉米和小麦共吨，采用新技术后，实际产量为吨，其中玉米超产，小麦超产，设该农场去年计划生产玉米吨、小麦吨，则所列方程组正确的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【知识点】根据实际问题列二元一次方程组
【分析】本题考查二元一次方程组的应用，利用去年计划生产小麦和玉米吨，得到，再利用玉米超产，小麦超产，则某农场去年实际生产玉米和小麦共吨，得出等式，进而组成方程组即可．根据计划以及实际生产的粮食吨数得出等式是解题关键．
【详解】解：根据题意可得：．
故选：A．
6．已知方程组的解是，则方程组的解是（ ）．
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】根据二元一次方程组的解可得a-1，b+1的值，然后对比得到x+2，y-1的值，求解即可．
【详解】∵方程组
∴
∴
∴对比两方程组可知：；
∴，
∴x＝6.3，y＝2.2
故选：A．
【点睛】本题考查了二元一次方程组的知识；求解的关键是掌握二元一次方程组的性质，从而完成求解．
7．如图，三个一样大小的小长方形沿“横-竖-横”排列在一个长为10，宽为8的大长方形中，则图中一个小长方形的周长为（ ）
A．8 B．10 C．12 D．14
【答案】C
【知识点】几何问题(二元一次方程组的应用)
【分析】设小长方形的长为x，宽为y，根据题意，结合图中摆放列出关于x、y的方程组，然后解方程组即可求解．
【详解】解：设小长方形的长为x，宽为y，
根据题意，得，
解得，
∴小长方形的周长为，
故选：C．
【点睛】本题考查二元一次方程组的应用，理解题意，找准等量关系，正确列出方程组是解答的关键．
8．已知关于、的二元一次方程组，给出下列结论中正确的是（ ）
①当这个方程组的解、的值互为相反数时，；
②当时，方程组的解也是方程的解；
③无论取什么实数，的值始终不变；
④若用表示，则．
A．①② B．②③ C．①③④ D．②③④
【答案】C
【知识点】相反数的定义、加减消元法
【分析】根据相反数的定义，得到，将方程组加减消元，得到，进而得到，求解得到的值，即可判断①结论；将代入方程组，求得，再将、代入，求出，即可判断②结论；利用加减消得到，即可判断③结论；将变形，即可判断④结论。
【详解】解：，
当这个方程组的解，的值互为相反数时，则，
得：，
，
解得：，①结论正确；
当时，，
解得：
将代入中，得：，
解得：，
方程组的解不是方程的解，②结论错误；
当时，，
，
解得：，
无论取什么实数，的值始终不变，③结论正确；
，④结论正确；
综上所述，正确的结论有①③④，
故答案为：C．
【点睛】本题主要考查的是解二元一次方程组的问题，掌握解二元一次方程组的方法是解题关键．
二、填空题
9．请写出一个以x、y为未知数的二元一次方程组，且同时满足下列两个条件：
①由两个二元一次方程组成；②方程组的解为．这样的方程组可以是 ．
【答案】（答案不唯一）
【知识点】已知二元一次方程组的解求参数
【分析】根据二元一次方程组的解的定义，所写方程组为、的和与差的两个方程即可．
【详解】解：方程组可以是．
故答案为：（答案不唯一）．
【点睛】本题考查了二元一次方程组的解，开放型题目，答案不唯一，只要符合题意即可．
10．如果是方程的一组解，则a的值为 ．
【答案】－1
【知识点】已知二元一次方程组的解求参数
【详解】把代入方程ax+（a-1）y=0中，得-2a+a-1=0，解得a=-1．
11．如表，每一行x，y，t的值都满足方程．如：当第二行中的3，2，6分别对应方程中x，y，t的值时，可得．根据题意，的值等于 ．
x y t
3 2 6
2 3 14
【答案】8
【知识点】二元一次方程的解、已知二元一次方程组的解求参数
【分析】根据题意的，表中x，y，t的值都满足方程，把第二行、第三行中对应的x，y，t分别代入方程中，得到方程组，求解出n，m的值，即可算出．
【详解】∵得，
∴把代入方程得，
∴得方程组
解得
∴
故答案为：8．
【点睛】本题考查二元一次方程，熟练掌握二元一次方程组定义，解二元一次方程组是解题的关键．
12．利用两块完全相同的直角三角板测量升旗台的高度．首先将两块完全相同的三角板按图1放置，然后交换两块三角板的位置，按图2放置，测量数据如图所示，则升旗台的高度是 cm．
【答案】69
【知识点】几何问题(二元一次方程组的应用)
【分析】设升旗台的高度是，三角板的较长直角边长为，较小直角边长为，列方程组求出x即可．
【详解】解：设升旗台的高度是，三角板的较长直角边长为，较小直角边长为，
则，
解得：
故答案为：．
【点睛】本题考查方程组的应用，找到等量列方程组是解题的关键．
三、解答题
13．下面是颖颖同学解二元一次方程组的过程，请认真阅读并完成相应的任务：
解方程组：，
解：①×2，得③…第一步；
②﹣③，得；
将代入①，得…第二步；
所以，原方程组的解为…第三步；
(1)这种求解二元一次方程组的方法叫做 法，以上求解步骤中，第一步的依据是 ；
(2)第 步开始出现错误，具体错误是 ；
(3)直接写出该方程组的正确解： ．
【答案】(1)加减消元，等式的基本性质
(2)二，合并同类项计算错误
(3)
【知识点】加减消元法
【分析】（1）根据等式的性质及加减消元法的概念即可得出答案；
（2）根据解方程的方法即可得出答案；
（3）根据②﹣①×2，求出的值再代入①即可得出答案．
【详解】（1）这种求解二元一次方程组的方法叫做加减消元法法，以上求解步骤中，第一步的依据是等式的基本性质；
（2）第二步开始出现错误，具体错误是合并同类项计算错误；
（3）①×2，得③
②﹣③，得，
整理可得，
将代入①，得，
解得，
所以，原方程组的解为．
【点睛】本题考查了加减消元法求解二元一次方程组，需满足其中一个未知数的系数相同或互为相反数，若不具备这种特征，则根据等式的性质将其中一个方程变形或将两个方程都变形，使其具备这种形式．
14．（1）已知关于，的二元一次方程组与方程有相同的解，求的值．
（2）关于，的二元一次方程组的解为正整数，求整数的值．
【答案】（1）；（2）或7
【知识点】二元一次方程组的特殊解法、已知二元一次方程组的解的情况求参数
【分析】本题考查了解二元一次方程组，熟练掌握二元一次方程组的解法是解答本题的关键．
（1）得，从而得出k的方程求解；
（2）由得，结合，取正整数求出，的值，进而可求出整数的值．
【详解】解：（1）
得：
（2）
，取正整数
，或，
或7
15．阅读下列文字，请仔细体会其中的数学思想：
(1)解方程组，我们利用加减消元法，很快可以求得此方程组的解为 ；
(2)如何解方程组呢，我们可以把m+5，n+3分别看成一个整体，设m+5＝x，n+3＝y，很快可以求出原方程组的解为 ；
由此请你解决下列问题：
(3)若关于m，n的方程组与有相同的解，求a，b的值．
【答案】(1)
(2)
(3)
【知识点】方程组相同解问题、加减消元法、二元一次方程组的特殊解法
【分析】（1）利用加减消元法解二元一次方程组即可得；
（2）直接根据（1）的结论可得，由此即可得；
（3）根据两个方程组有相同的解求出的值，继而求出的值即可得．
【详解】（1）解：，
由①②得：，
解得，
由②①得：，
解得，
则方程组的解为，
故答案为：．
（2）解：由（1）得：，
解得，
即原方程组的解为，
故答案为：．
（3）解：关于的方程组与有相同的解，
，
解得，
将代入方程得：，解得，
将代入方程得：，解得，
则，
解得．
【点睛】本题考查了解二元一次方程组，熟练掌握二元一次方程组的解法，理解同解方程组的意义，并利用整体思想解题是关键．
16．明代数学家程大位的《算法统宗》中有这样一个问题如图所示，其大意为：有一群人分银子，如果每人分七两，则剩余四两；如果每人分九两，则还差八两．问有多少人？所分的银子共有多少两？（注：明代时斤两，故有“半斤八两”这个成语）
【答案】有个人，两银子
【知识点】古代问题(二元一次方程组的应用)
【分析】本题考查二元一次方程组的应用，找准等量关系，正确列出方程组是解题的关键．设有个人，两银子，根据每人分七两，则剩余四两；如果每人分九两，则还差八两，列出方程组进行求解即可．
【详解】解：设有个人，两银子，
根据题意，得，
解得：，
答：有个人，两银子．
17．某县在创建省级卫生文明县城中，对县城内的河道进行整治.现有一段长为米的河道整治任务由甲、乙两个工程队先后接力完成.甲工程队每天整治8米，乙工程队每天整治米，共用时天.
(1)小明、小华两位同学提出解题思路如下：
小明同学：设整治任务完成后甲工程队整治河道米，乙工程队整治河道米.
根据题意，得
小华同学：设整治任务完成后，表示________，表示________；
得
请你补全小明、小华两位同学的解题思路.
(2)求甲、乙两工程队分别整治河道多少米？请从中任选一个方程组求解.（写出完整的解答过程）
【答案】(1)180，，，甲工程队整治河道用的天数，乙工程队整治河道用时的天数；
(2)甲工程队整治河道120米，乙工程队整治河道60米
【知识点】根据实际问题列二元一次方程组、工程问题(二元一次方程组的应用)
【分析】（1）根据所列式子可知，小华同学所列方程组中未知数为：设整治任务完成后甲工程队整治河道x米，乙工程队整治河道y米；小华同学所列方程组中未知数为：设整治任务完成后，m表示甲工程队整治河道用的天数，n表示乙工程队整治河道用的天数，据此补全方程组即可；
（2）选小明同学所列方程组解答即可．
【详解】（1）解：小明、小华两位同学提出的解题思路如下：
小明同学：设整治任务完成后甲工程队整治河道x米，乙工程队整治河道y米．
根据题意得，
小华同学：设整治任务完成后，m表示甲工程队整治河道用的天数，n表示乙工程队整治河道用时的天数；
得，
故答案为：，，，甲工程队整治河道用的天数，乙工程队整治河道用时的天数, ；
（2）解：选小明同学所列方程组解答如下：
设整治任务完成后甲工程队整治河道x米，乙工程队整治河道y米．
由题意得：，
②整理得：③，
③-①×2得：，
把代入①得：，
方程组的解为，
答：甲工程队整治河道120米，乙工程队整治河道60米．
【点睛】本题主要考查了二元一次方程组的应用，找准等量关系，正确列出二元一次方程组是解题的关键．
18．已知关于，的方程组
（1）请写出方程的所有正整数解；
（2）若方程组的解满足，求的值；
（3）无论实数取何值，方程总有一个公共解，你能把求出这个公共解吗？
（4）如果方程组有整数解，求整数的值．
【答案】(1); ;(2);(3)x=0,y=;(4)2或-6.
【知识点】方程组相同解问题、加减消元法、二元一次方程组的特殊解法
【分析】（1）由题意求方程的解且要使x，y都是正整数，将方程移项，再把x和y互相表示出来，在由题意要求x＞0，y＞0，根据以上两个条件可夹出合适的x值,从而代入方程得到相应的y值；
（2）由方程组求得x，y的值，代入方程即可求得m的值；
（3）方程整理后，根据无论m如何变化，二元一次方程总有一个固定的解，列出方程组，求出方程组的解即可．
（4）先把m当作已知求出x、y的值，再根据方程组有正整数解，进行判断，再找出符合条件的正整数m的值即可．
【详解】试题分析：
试题解析（1）由已知方程x+2y=5，移项得x=5-2y，
∵x，y都是正整数，则有x=5-2y＞0，又∵x＞0，
∴0＜y＜2.5，
又∵y为正整数，根据以上条件可知，合适的y值只能是y=1、2，
代入方程得相应x=3、1，
∴方程2x+y=5的正整数解为；
(2) ∵x+y=0
∴x+2y=5变为y=5
∴x=-5
将代入得.
(3) ∵由题意得二元一次方程总有一个公共解
∴方程变为(m+1)x-2y+9=0
∵这个解和m无关，
∴x=0，y=
(4) 将方程组两个方程相加得
∴
∵方程组有整数解且m为整数
∴，，
①m+2=1，计算得：（不符合题意）
②m+2=-1，计算得：（不符合题意）
③m+2=2，计算得：（不符合题意）
④m+2=-2，计算得：（不符合题意）
⑤m+2=4，计算得：（符合题意）∴m=2
⑥ m+2=-4，计算得：（符合题意）∴m=-6
【点睛】考查了二元一次方程的解，首先将方程做适当变形，确定其中一个未知数的取值范围，然后列举出适合条件的所有整数值，再求出另一个未知数的值是解答此题的关键．
19．耀州瓷是北方青瓷的代表，出产于陕西省，以瓷质细腻，色泽青翠晶莹、线条明快流畅、造型端庄浑朴著称于世．某瓷器超市有A、B两种规格的倒装壶瓷器按定价销售，已知3件A种规格的倒装壶瓷器和2件B种规格的倒装壶瓷器总售价为1700元，4件A种规格的倒装壶瓷器和1件B种规格的倒装壶瓷器总售价为1600元．
(1)分别求出每件A种规格的倒装壶瓷器和每件B种规格的倒装壶瓷器的定价；
(2)旅游旺季期间，某天该瓷器超市通过销售这两种规格的倒装壶瓷器共获得3600元，且两种规格的倒装壶瓷器都有销售，请你计算该超市这天所有可能的销售方案（即每种规格的倒装壶瓷器各销售了多少件）．
【答案】(1)每件A种规格的倒装壶瓷器的定价为300元，每件B种规格的倒装壶瓷器的定价为400元；
(2)该超市这天一共有两种销售方案：销售A种规格的倒装壶瓷器8件，销售B种规格的倒装壶瓷器3件；销售A种规格的倒装壶瓷器4件，销售B种规格的倒装壶瓷器6件．
【知识点】二元一次方程的解、销售、利润问题(二元一次方程组的应用)
【分析】本题主要考查了二元一次方程的实际应用，二元一次方程组的实际应用：
（1）设每件A种规格的倒装壶瓷器的定价为x元，每件B种规格的倒装壶瓷器的定价为y元，根据3件A种规格的倒装壶瓷器和2件B种规格的倒装壶瓷器总售价为1700元，4件A种规格的倒装壶瓷器和1件B种规格的倒装壶瓷器总售价为1600元列出方程组求解即可；
（2）设销售A种规格的倒装壶瓷器m件，销售B种规格的倒装壶瓷器n件，根据共获得3600元可得关于m、n的二元一次方程，求出该方程的正整数解即可得到答案．
【详解】（1）解：设每件A种规格的倒装壶瓷器的定价为x元，每件B种规格的倒装壶瓷器的定价为y元，
由题意得，，
解得，
答：每件A种规格的倒装壶瓷器的定价为300元，每件B种规格的倒装壶瓷器的定价为400元；
（2）解：设销售A种规格的倒装壶瓷器m件，销售B种规格的倒装壶瓷器n件，
由题意得，，
∴，
∴，
∵m、n都是正整数，
∴当时，；
当时，；
∴该超市这天一共有两种销售方案：销售A种规格的倒装壶瓷器8件，销售B种规格的倒装壶瓷器3件；销售A种规格的倒装壶瓷器4件，销售B种规格的倒装壶瓷器6件．
20．阅读下列材料： 小明同学遇到下列问题：
解方程组，他发现如果直接用代入消元法或加减消元法求解，运算量比较大，也容易出错．如果把方程组中的（2x＋3y）和（2x—3y）分别看做一个整体，通过换元，可以解决问题．以下是他的解题过程：
令m＝2x＋3y，n＝2x—3y，原方程组可以化为：，解得
把代入m＝2x＋3y，n＝2x—3y，得，解得
∴原方程组的解为
请你参考小明同学的做法，解决下面的问题：
(1)解方程组：
(2)若方程组的解是，则方程组的解是 ．
【答案】(1)
(2)
【知识点】代入消元法、加减消元法、二元一次方程组的特殊解法
【分析】（1）令，，将方程组整理后，仿照阅读材料中的解法求出解即可；
（2）令，，将方程组整理后，仿照阅读材料中的解法求出解即可．
【详解】（1）解：令，，
原方程组可化为，
解得：，
∴，
两式相加得，将代入中，求得，
∴原方程组的解为 ；
（2）解：，，
原方程组可化为
，
依题意，得
，
∴，
解得．
故答案为：．
【点睛】本题考查了二元一次方程组的解，方程组的解即为能使方程组中两方程都成立的未知数的值．
21．阅读下列材料，并补全解答过程：
问题：某饭店工作人员第一次买了13只鸡，5只鸭，9只鹅共用了925元．第二次买了2只鸡，4只鸭，3只鹅共用了320元，试问第三次买了鸡，鸭，鹅各一只共需多少元？（假定三次购买鸡，鸭，鹅的单价不变）
解：设鸡，鸭，鹅的单价分别为元．依题意，得
上述方程组可变形为
设，上述方程组可化为
得：______，即______．
答：第三次买鸡，鸭，鹅各一只共需______元．
阅读后，细心的你．可以解决下列问题：
(1)选择题：上述材料中的解答过程运用了______思想方法来指导解题．
A．整体带入 B．数形结合 C．分类讨论
(2)某校体育组购买体育用品甲，乙，丙，丁的件数和用钱金额如下表：
品名 次数 甲 乙 丙 丁 用钱金额（元）
第一次购买件数 5 4 3 1 1882
第二次购买件数 9 7 5 1 2764
那么购买每种体育用品各一件共需多少元？
【答案】(1)A
(2)购买每种体育用品各一件共需1000元
【知识点】二元一次方程组的特殊解法、销售、利润问题(二元一次方程组的应用)
【分析】本题考查了二元一次方程组的应用以及利用换元法解方程组，解题的关键是利用换元法得出关于a、b的二元一次方程组．
（1）根据题意直接得出运用了整体代入的思想方法；
（2）设体育组所购买的体育用品甲，乙，丙，丁的单价分别为元，根据题意列出方程组，再设，用换元法解出即可．
【详解】（1）解：上述材料中的解答过程运用了整体代入思想方法来指导解题
故答案为：A；
（2）设体育组所购买的体育用品甲，乙，丙，丁的单价分别为元．
根据题意得：，
该方程组可变形为：，
设，
上述方程组又可化为：，
解得：．即．
答：购买每种体育用品各一件共需1000元．
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