3.2.4 离散型随机变量的方差 课件（共19张PPT） 2024-2025学年湘教版（2019）高中数学选择性必修第二册

(共19张PPT)
3.2.4 离散型随机变量的方差
1.通过具体实例，理解离散型随机变量的方差及标准差的概念.
2.掌握二项分布的方差.
3.掌握离散型随机变量的方差的性质，能够用离散型随机变量的方差解决一些实际问题.
样本数据x1，x2,...,xn的平均数为，则方差s2如何表示？
问题1 从两名同学中挑出一名代表班级参加射击比赛.根据以往的成绩记录，甲、乙两名同学击中目标靶的环数X和Y的分布列如下表所示.
如何评价这两名同学的射击水平
X 6 7 8 9 10
P 0.09 0.24 0.32 0.28 0.07
Y 6 7 8 9 10
P 0.07 0.22 0.38 0.30 0.03
通过计算可得，
由于两个均值相等，所以用均值不能区分这两名同学的射击水平.
评价射击水平，除了要了解击中环数的均值外，还要考虑稳定性，即击中环数的离散程度.
E(X)= 8 ；E(Y)=8
问题2 怎样刻画离散型随机变量取值的离散程度 （如何比较离散程度）
为了能直观分析甲乙两名击中环数的离散程度，下面我们分别作出X和Y的概率分布图.
O
6
7
8
10
9
P
0.1
0.2
0.3
0.4
O
6
7
8
10
9
P
0.1
0.2
0.3
0.4
比较两个图形，可以发现乙同学的射击成绩更集中于8环，即乙同学的射击成绩更稳定.
追问：怎样定量刻画离散型随机变量取值的离散程度
样本的方差 ：
随机变量的方差 ：
X x1 x2 xn
P p1 p2 pn
离散型随机变量的分布列如表所示
离散型随机变量的方差
X x1 x2 … xk … xn
P p1 p2 … pk … pn
如果离散型随机变量X的分布列如下表所示.
则
这称为离散型随机变量X的方差.
随机变量的方差和标准差度量了随机变量取值与其均值的偏离程度，反映了随机变量取值的离散程度.
方差或标准差越小，随机变量的取值越集中；
方差或标准差越大，随机变量的取值越分散.
说明：称为离散型随机变量X的标准差.
在方差的计算中，为了使运算简化，还可以用下面的结论.
证明：
例1 有三张形状、大小、质地完全一致的卡片，在每张卡片上分别写上0，1，2，背面朝上，现从中任意抽取一张，将其上数字记作x，然后放回，再抽取一张，其上数字记作y，令ξ=x·y.求：
(1)ξ所取各值的分布列；
(2)随机变量ξ的数学期望与方差.
解：(1)随机变量ξ的可能取值有0，1，2，4，
“ξ=0”是指两次取的卡片上至少有一次为0，其概率为P(ξ=0)=1-
“ξ=1”是指两次取的卡片上都标着1，其概率为P(ξ=1)=
“ξ=2”是指两次取的卡片上一个标着1，另一个标着2，其概率为
P(ξ=2)=
“ξ=4”是指两次取的卡片上都标有2，其概率为P(ξ=4)=
则ξ的分布列为
方法归纳
求随机变量X的方差的步骤：
(1)确定随机变量的所有可能的取值；
(2)求随机变量各个取值对应的概率；
(3)利用公式 求出方差.
例2 已知随机变量X服从参数为p的两点分布，求D(X) .
解：因为随机变量X的分布列为
X 1 0
P p 1-p
且E(X)=p
所以
名称 两点分布 二项分布
X~B(n，p)
公式 D(X)=p(1-p) E(X)=np(1-p)
常见分布的方差
思考：离散型随机变量X加上一个常数，方差会有怎样的变化 离散型随机变量X乘以一个常数，方差又有怎样的变化 它们和期望的性质有什么不同
均值的性质：
方差的性质：
例3 已知一批产品的次品率为0.02，从这批产品中每次随机取一件，有放回地抽取50次，用X表示抽到的次品数.
(1)求D(X)；
(2)假设抽出的产品需要送往专门的检测部门检测，检测费用Y元与次品数X有关，且Y=10X+300，求D(Y).
解：(1) 因为X服从的是参数为50，0.02的二项分布，即
X~B(50，0.02)，
所以D(X)=50×0.02×(1-0.02)=0.98.
(2) D(Y) =D(10X+300)=102D(X)=100×0.98=98.
1.已知随机变量X的分布列为
设Y=2X+3，则D(Y)等于(　　)
A． B． C． D．
X 0 1 2
P
B
2.投资A，B两种股票，每股收益的分布列分别如下表所示.
股票A收益的分布列
股票B收益的分布列
收益X /元 －1 0 2
概率 0.1 0.3 0.6
收益Y /元 0 1 2
概率 0.3 0.4 0.3
(1) 投资 种股票的期望收益大.
(2) 投资 种股票的风险较高.
A
A