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带电粒子在磁场中的运动（一）
【学习目标】 洛伦兹力、圆周运动、圆心、半径、运动时间
【自主学习】
一、基础知识：
1、洛仑兹力
叫洛仑兹力。通电导线所受到的安培力实际上是作用在运动电荷上的洛仑兹力的 。 21*cnjy*com
2、洛仑兹力的方向
用左手定则判定。应用左手定则要注意：
（1）判定负电荷运动所受洛仑兹力的方向，应使四指指向电荷运动的 方向。
（2）洛仑兹力的方向总是既垂直于 又垂直于 ，即总是垂直于 所决定的平面。但在这个平面内电荷运动方向和磁场方向却不一定垂直，当电荷运动方向与磁场方向不垂直时，应用左手定则不可能使四指指向电荷运动方向的同时让磁感线垂直穿入手心，这时只要磁感线从手心穿入即可。【来源：21cnj*y.co*m】
3、洛仑兹力的大小
f= ，其中是带电粒子的运动方向与磁场方向的夹角。
（1）当=90°，即v的方向与B的方向垂直时，f= ，这种情况下洛仑兹力 。
（2）当=0°，即v的方向与B的方向平行时，f= 最小。
（3）当v=0，即电荷与磁场无相对运动时，f= ，表明了一个重要结论：磁场只对相对于磁场运动的电荷有作用力，而对相对磁场静止的电荷没有作用力。21*cnjy*com
4、洛仑兹力作用效果特点
由于洛仑兹力总是垂直于电荷运动方向，因此洛仑兹力总是 功。它只能改变运动电荷的速度 （即动量的方向），不能改变运动电荷的速度 （或动能）。
5、带电粒子在磁场中运动（不计其它作用）
（1）若v//B，带电粒子以速度v做 运动（此情况下洛伦兹力F=0）
（2）若v⊥B，带电粒子在垂直于磁感线的平面内以入射速度v做 运动。
①向心力由洛伦兹力提供： =m
②轨道半径公式：R= = 。
③周期：T= = ，频率：f== 。
角频率： 。
说明：T、F和的两个特点：
①T、f和的大小与轨道半径（R）和运动速率（v）无关，只与 和 有关；
②比荷（）相同的带电粒子，在同样的匀强磁场中，T、f和相同。
二、重点、疑点：
1、洛伦兹力公式F=qvB是如何推导的？
直导线长L，电流为I，导体中运动电荷数为n，截面积为S，电荷的电量为q，运动速度为v，则安培力F′=ILB=nF21cnjy.com
所以洛仑兹力F=
因为I=NqSv（N为单位体积内的电荷数）
所以F=式中n=NSL故F=qvB。
2、如何确立带电粒子在匀强磁场中做匀速圆周运动的圆心、半径及运动时间？
（1）圆心的确定。因为洛伦兹力f指向圆心，根据f⊥v，画出粒子运动轨迹上任意两点（一般是射入和射出磁场的两点）的f的方向，其延长线的交点即为圆心。
（2）半径的确定和计算。圆心找到以后，自然就有了半径（一般是利用粒子入、出磁场时的半径）。半径的计算一般是利用几何知识，常用解三角形的方法及圆心角等于圆弧上弦切角的两倍等知识。
（3）在磁场中运动时间的确定。利用圆心角与弦
切角的关系，或者是四边形内角和等于360°计算出圆
心角的大小，由公式t=×T可求出运动时间。
有时也用弧长与线速度的比。
如图所示，还应注意到：
①速度的偏向角等于弧AB所对的圆心角。
②偏向角与弦切角的关系为：＜180°，=2；＞180°，=360°-2；
（4）注意圆周运动中有关对称规律
如从同一直线边界射入的粒子，再从这一边射出时，速度与边界的夹角相等；在圆形磁场区域内，沿径向射入的粒子，必沿径向射出。21教育网
3、电场和磁场对电荷作用的区别如何？
(1)电荷在电场中一定要受到电场力的作用，而电荷在磁场中不一定受磁场力作用。只有相对于磁场运动且运动方向与磁场不平行的电荷才受磁场力的作用，而相对磁场静止的电荷或虽运动但运动方向与磁场方向平行的电荷则不受磁场力作用．
(2)电场对电荷作用力的大小仅决定于场强E和电荷量q，即F=qE，而磁场对电荷的作用力大小不仅与磁感应强度B和电荷量q有关，还与电荷运动速度的大小v及速度方向与磁场方向的夹角有关，即，F=qvBsin．
(3)电荷所受电场力的方向总是沿着电场线的切线(与电场方向相同或相反)，而电荷所受磁场力的方向总是既垂直于磁场方向，又垂直于运动方向(即垂直于磁场方向和运动方向所决定的平面)．
(4)电荷在电场中运动时，电场力要对运动电荷做功(电荷在等势面)运动除外)，而电荷在磁场中运动时，磁场力一定不会对电荷做功。
【典型例题】
例1、图中MN表示真空室中垂直于纸面的平板，它的一侧有匀强磁场，磁场方向垂直于纸面向里，磁感应强度大小为B。一带电粒子从平板上狭缝O处以垂直于平板的初速v射入磁场区域，最后到达平板上的P点。已知B、v以及P到O的距离l，不计重力，求此粒子的电荷e与质量m之比。【出处：21教育名师】
例2、一个负离子，质量为m，电量为q，以速率v垂直于屏S经小孔O射入有匀强磁场的真空室中，磁感应强度B的方向与离子运动方向垂直，并垂直于纸面向里，如图所示。如果离子进入磁场后经过时间t到达P点，则直线OP与离子入射方向之间的夹角跟t的关系式如何？
例3、如图，在某装置中有一匀强磁场，磁感应强度为B，方向垂直于Oxy所在的纸面向外。某时刻在x=l0、y=0处，一质子沿y轴的负方向进入磁场；同一时刻，在x=-l0、y=0处，一个粒子进入磁场，速度方向与磁场垂直。不考虑质子与粒子的相互作用。设质子的质量为m，电荷量为e。
（1）如果质子经过坐标原点O，它的速度为多大？
（2）如果粒子与质子经最短时间在坐标原点相遇，粒子的速度应为何值？方向如何？
【针对训练】
1、在图所示的各图中，匀强磁场的磁感应强度均为B，带电粒子的速率均为v、带电量均为q。试求出图中带电粒子所受洛仑兹力的大小，并标出洛仑兹力的方向。（ ）
2、每时每刻都有大量带电的宇宙射线向地球射来，地球磁场可以有效地改变这些宇宙射线中大多数带电粒子的运动方向，使它们不能到达地面，这对地球上的生命有十分重要的意义。假设有一个带正电的宇宙射线粒子正垂直于地面向赤道射来，（如图，地球由西向东转，虚线表示地球自转轴，上方为地理北极），在地球磁场的作用下，它将（ ）
A、向东偏转
B、向南偏转
C、向西偏转
D、向北偏转
3、如图所示，光滑半圆形轨道与光滑斜面轨道在B处与圆弧相连，带正电小球从A静止起释放，且能沿轨道前进，并恰能通过圆弧的最高点C。现将整个轨道置于水平向外的匀强磁场中，使球仍能恰好通过圆环最高点C，释放高度H′与原释放高度H的关系是（ ）21教育名师原创作品
A、H′=H
B、H′＜H
C、H′＞H
D、不能确定
4、图为云室中某粒子穿过铅板P前后的轨迹。室中匀强磁场的方向与轨迹所在平面垂直（图中垂直于纸面向里）。由此可知此粒子（ ）
A、一定带正电
B、一定带负电
C、不带电
D、可能带正电，也可能带负电
5、质子（）和粒子（）从静止开始经相同的电势差加速后垂直进入同一匀强磁场做圆周运动，则这两粒子的动能之比Ek1:Ek2= ，轨道半径之比r1:r2= ，周期之比T1:T2= 。
6、如图所示，一电子以速度1.0×107m/s与
x轴成30°的方向从原点出发，在垂直纸面向里
的匀强磁场中运动，磁感应强度B=1T，那么圆运
动的半径为 m，经过时间 s，第一
次经过x轴。（电子质量m=9.1×10-31kg）
7、如图所示，在y＜0的区域内存在匀强磁场，磁场方向垂直于xOy平面并指向纸面外，磁感应强度为B。一带正电的粒子以速度v0从O点射入磁场，入射方向在xOy平面内，与x轴正向的夹角为。若粒子射出磁场的位置与O点的距离为l，求该粒子的电荷量和质量之比。21·cn·jy·com
【能力训练】
1、如图所示，在垂直纸面向里的匀强磁场的边界上，有两个质量和电量均相同的正、负离子，从O点以相同的速度射入磁场中，射入方向均与边界成角。若不计重力，关于正、负离子在磁场中的运动，下列说法正确的是（ ）
A、运动的轨道半径不相同
B、重新回到边界的速度大小和方向都相同
C、重新回到边界的位置与O点距离不相同 D、运动的时间相同
2、如图，在x＞0、y＞0的空间中有恒定的匀强磁场，磁感强度的方向垂直于xOy平面向里，大小为B。现有一质量为m电量为q的带电粒子，在x轴上到原点的距离为x0的P点，以平行于y轴的初速度射入此磁场，在磁场作用下沿垂直于y轴的方向射出此磁场。不计重力的影响。由这些条件可知（ ）
A、不能确定粒子通过y轴时的位置
B、不能确定粒子速度的大小
C、不能确定粒子在磁场中运动所经历的时间
D、以上三个判断都不对
3、K-介子衰变的方程为K-，其中K-介子和介子带负的基元电荷，是介子不带电。一个K-介子沿垂直磁场的方向射入匀强磁场中，其轨迹为圆弧AP，衰变后产生的介子的轨迹为圆弧PB，轨迹在P点相切，它们的半径与之比为2:1。介子的轨迹未画出，由此可知的动量大小与的动量大小之比为（ ）【来源：21·世纪·教育·网】
A、1:1
B、1:2
C、1:3
D、1:6
4、如图所示，粒子和质子从匀强磁场中同一点出发，沿着与磁感应强度垂直的方向以相同的速率开始反向运动。若磁场足够大，则它们再相遇时所走过的路程之比是（不计重力）（ ）
A、1:1
B、1:2
C、2:1
D、4:1
5、一个质量为m、带电量为q的粒子，以速度v垂直射入磁感应强度为B的匀强磁场中，粒子经过一段时间，受到的冲量大小为mv，不计重力，则这段时间可能为（ ）21·世纪*教育网
A、2m/(qB) B、m/(qB) C、m/(3qB) D、7m/(3qB)
6、如图，在一水平放置的平板MN的上方有匀强磁场，磁感应强度的大小为B，磁场方向垂直于纸面向里。许多质量为m带电量为＋q的粒子，以相同的速率v沿位于纸面内的各个方向，由小孔O射入磁场区域。不计重力，不计粒子间的相互影响。下列图中阴影部分表示带电粒子可能经过的区域，其中R＝mv/Bq。哪个图是正确的？
A B
C D
7、如图所示，匀强磁场中有一圆形的空腔管道，
虚线表示中心轴线，在管的一端沿轴线方向入射一束带
电粒子流，其中有质子、氘核和粒子，如果它们以相
同动能入射，已知质子能够沿轴线通过管道，那么还能够通过管道的粒子是 ；如果它们经相同的电势差加速后入射，已知氘核能够沿轴线通过管道，那么还能够沿轴线通过的粒子是 。
8、如图所示一电子以速度v垂直射入磁感应
强度为B，宽度为d的匀强磁场中，穿透磁场时
速度方向与电子原来入射方向夹角30°，则电子
的质量是 。
9、如图所示，在x轴上方有匀强磁场B，一个质量为m，带电量为-q的粒子，以速度v从O点射入磁场，角已知，粒子重力不计，求www-2-1-cnjy-com
（1）粒子在磁场中的运动时间。
（2）粒子离开磁场的位置
10、如图所示，小车A质量为mA=2kg，置于光滑水平面上，初速度为v=14m/s，带电荷量q=0.2C的可视为质点的物体B，质量mB=0.1kg，轻轻放在小车的右端，在它们的周围存在匀强磁场，方向垂直纸面向里，磁感应强度B=0.5T，物体B与小车之间有摩擦力，小车足够长，求（g取10m/s2）：
（1）物体B的最大速度；
（2）小车A的最小速度；
（3）在此过程中产生的内能。
【学后反思】
________________________________________________________________________________________________________________________ 。2-1-c-n-j-y
参考答案：
[典型例题]
例1、解析：粒子初速v垂直于磁场，粒子在磁场中受洛伦兹力而做匀速圈周运动，设其半径为R，由洛伦兹力公式和牛顿第二定律，【版权所有：21教育】
有
因粒子经O点时的速度垂直于OP，故OP是直径，l＝2R
由此得
例2、解析：做出OP的中垂线与OS的交点即为离子做匀速圆周运动的圆心，轨迹如图示：
方法一：弧OP对应的圆心角 ①
周期T= ②
运动时间：t= ③
解得： ④
方法二：弧OP对应的圆心角 ⑤
半径为r，则qvB= ⑥
弧长：l=r· ⑦
线速度：v= ⑧
解得： ⑨
例3、解析：①质子的运动轨迹如图示，其圆心在x=处
其半径r1= ⑴
又r1= ⑵
⑶
②质子从x=l0处至达坐标原点O处的时间为
t= ⑷
又TH= ⑸
⑹
粒子的周期为 ⑺
⑻
两粒子的运动轨迹如图示
由几何关系得： ⑼
又 ⑽
解得：
与x轴正方向的夹角为。
[针对训练]
1、F=qvB F= qvB 0 F=qvB 2、A 3、B 4、A 21世纪教育网版权所有
5、1:2 1:；1:2 6、5.69×10-5 5.95×10-12 7、2·1·c·n·j·y
[能力训练]
1、B 2、D 3、C 4、A 5、CD 6、A 7、； www.21-cn-jy.com
8、2qBd/v 9、 10、（1）10m/s （2）13.5m/s （3）8.75J
× × × × ×
× × × × ×
× × × × ×
× × × × ×
30°
v
O
x
y
O
θ
·· ·· ··
·· ·· ··
·· ·· ··
·· ·· ··
·· ·· ··
·· ·· ··
B
O′
· · · ·
· · · ·
· · · ·
v
l0
O1
O2
· · · ·
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带电粒子在磁场中的运动（三）
【学习目标】 极值、多解问题
【自主学习】
一、带电粒子在有界磁场中运动的极值问题：
注意下列结论，再借助数学方法分析：
1、刚好穿出磁场边界的条件是带电粒子在磁场中运动的轨迹与边界相切。
2、当速度v一定时，弧长越长，轨迹对应的圆心角越大，则带电粒子在有界磁场中运动的时间越长。
3、注意圆周运动中有关对称规律：
如从同一边界射入的粒子，从同一边界射出时，速度与边界的夹角相等；在圆形磁场区域内，沿径向射入的粒子，必沿径向射出。21世纪教育网版权所有
二、洛仑兹力的多解问题
带电粒子在洛伦兹力作用下做匀速圆周运动，由于多种因素的影响，使问题形成多解，多解形成原因一般包含下述几个方面。【来源：21·世纪·教育·网】
（1）带电粒子电性不确定形成多解
受洛伦兹力作用的带电粒子，可能带正电荷，也可能带负电荷，在相同的初速度的条件下，正负粒子在磁场中运动轨迹不同，导致形成多解。
（2）磁场方向不确定形成多解
有些题目只告诉了磁感应强度大小，而未具体指出磁感应强度方向，此时必须要考虑感应强度方向不确定而形成的多解。
（3）临界状态不唯一形成多解
带电粒子在洛伦兹力作用下飞越有界磁场时，
由于粒子运动轨迹是圆弧状，因此，它可能穿过
去了，也可能转过180°从入射界面这边反向飞出，如图所示，于是形成了多解。
（4）运动的重复性形成多解
带电粒子在部分是电场，部分是磁场空间运动时，往往运动具有往复性，因而形成多解。
【典型例题】
1、求带电粒子在有界磁场中运动的速度
例1、如图所示，宽为d的有界匀强磁场的边界为
PQ、MN，一个质量为m，带电量为-q的微粒子沿
图示方向以速度v0垂直射入磁场，磁感应强度为B，
要使粒子不能从边界MN射出，粒子的入射速度v0
的最大值是多大？
2、求带电粒子通过磁场的最大偏转角
例2、如图所示，r=10cm的圆形区域内有匀强磁场，其边界跟y轴在坐标O处相切，磁感应强度B=0.332T，方向垂直纸面向外，在Owww.21-cn-jy.com
处有一放射源S，可沿纸面向各个方向射出速率均
为v=3.2×106m/s的粒子，已知ma=6.64×10-27kg，
q=3.2×10-19C，则粒子通过磁场最大偏转角等于多少？
例3、某电子以固定的正电荷为圆心在匀强磁场中做匀速圆周运动，磁场方向垂直它的运动平面，电子所受电场力恰是磁场对它的作用力的3倍，若电子电荷量为e，质量为m，磁感应强度为B，那么，电子运动的可能角速度是（ ） 21*cnjy*com
A、4eB/m B、3 eB/m C、2 eB/m D、eB/m
【针对训练】
1、如图所示一带电质点，质量为m，电量为q，
以平行于Ox轴的速度v从y轴上的a点射入图中第一
象限所示的区域，为了使该质点能从x轴上的b点以垂直于Ox轴的速度v射出，可在适当的地方加一个垂直于xy平面、磁感强度为B的匀强磁场，若此磁场仅分布在一圆形区域内，试求该圆形区域的最小半径（粒子重力不计）。2·1·c·n·j·y
2、在真空中，半径r=3×10-2m的圆形区域内有匀强磁场，方向如图所示，磁感强度B=0.2T，一个带正电的粒子，以初速度v0=106m/s从磁场边界上直径ab的一端a射入磁场，已知该粒子的比荷108C/kg，不计粒子重力，求：2-1-c-n-j-y
（1）粒子在磁场中作匀速圆周运动的半径是多少？
（2）若要使粒子飞离磁场时有最大偏转角，求入射
时v0方向与ab的夹角及粒子的最大偏转角。
3、在xoy平面内，x轴上方存在磁感应强度为0.5T的匀强磁场，方向如图，一粒子（电荷量与质量的比值为5.0×107C/kg）以5.0×106m/s的速度从O点射入磁场中，其运动方向在xoy平面内。经一段时间粒子从图中的A点飞出磁场，已知OA之间的距离为20cm，求粒子在磁场中的运动时间。（计算结果保留两位有效数字）
【能力训练】
1、如图所示，环状匀强磁场围成的中空区域
内具有自由运动的带电粒子，但由于环状磁场的束缚，
只要速度不很大，都不会穿出磁场的外边缘，设环状
磁场的内半径R1=0.5m，外半径R2=1.0m，磁场的磁感应强度B=1.0T，若被束缚的带电粒子的荷质比为4×107C/kg，中空区域中带电粒子具有各个方向的速度。试计算：21·cn·jy·com
（1）粒子沿环状的半径方向射入磁场，不能穿越磁场的最大速度；
（2）所有粒子不能穿越磁场的最大速度。
2、M、N两极板相距为d，板长均为5d，两板未带电，板间有垂直纸面的匀强磁场，如图所示，一大群电子沿平行于板的方向从各处位置以速度v射入板间，为了使电子都不从板间穿出，求磁感应强度B的范围。21·世纪*教育网
3、如图所示一足够长的矩形区域abcd内充满磁感应强度为B，垂直纸面向里的匀强磁场，现从矩形区域ad边的中点O处，垂直磁场射入一速度方向与ad边夹角30°，大小为v 0 的带正电粒子，已知粒子质量为m，电量为q，ad边长为l，重力影响不计。
（1）试求粒子能从ab边上射出磁场的v0的大小范围。
（2）粒子在磁场中运动的最长时间是多少？
4、图为氢原子核外电子绕核作匀速圆周运动（逆时针方向）的示意图，电子绕核运动可等效地看作环形电流。设此环形电流在通过圆心并垂直圆面的轴线上一点P处产生的磁感强度的大小为B1，现在沿垂直于轨道平面的方向加一磁感强度B0的外来磁场，这时设电子的轨道半径没变，而它的速度发生变化。若用B2表示此时环形电流在P点产生的磁感强度大小，则B0的方向（ ）21*cnjy*com
A、垂直于纸面向里时，B2＞B1
B、垂直于纸面向外时，B2＞B1
C、垂直于纸面向里时，B2＜B1
D、垂直于纸面向外时，B2＜B1
【学后反思】
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参考答案：
[典型例题]
例1、解析：为了使带电粒子入射时不从边界MN射
出，则有临界轨迹与MN相切，如图所示。设粒子
做圆周运动的轨道半径为R，则有Bqv0=m，由几何
关系得Rcos60°+R=d，解得入射粒子的最大速度v0=。
例2、解析：设粒子在洛伦兹力作用下的轨道为R，则有
Bqv=m，所以R=0.2m，在图中，虽然粒子进
入磁场的速度方向不同，但入射点及轨道半径是确定的，
若使粒子飞出磁场有最大偏转角，应使粒子在磁场走过
圆弧最长，或对应的弦最长。显然最大弦长为磁场圆的直径，如图所示，由几何关系得sin，所以最大偏转角等于2=60°。【来源：21cnj*y.co*m】
例3、解析：由于本题中没有明确磁场方向和电子的环绕方向，所以电子受洛伦兹力的方向有两种可能，一种可能是F电与F洛′同时指向圆心，如图（1）、（2），另一种是F洛′背离圆心，如图（3）、（4），所以此题必有两个解。【出处：21教育名师】
在（1）、（2）情况下：
∵F+F′=mr，又F=3F′=3evB
∴4evB=mr
又∵v=r
∴
在图（3）、（4）情况下
F- F′=mr，又F=3F′=3evB
∴2evB=mr 又∵v=r
∴
正确答案：AC
[针对训练]
1、解析：设带电质点在洛伦兹力作用下的
轨道半径为R，则qvB=m，由题意知，质点在
磁场区域中的轨道为半径R的圆周，该段圆弧应
与入射速度方向，出射速度的方向相切。过a点作
平行于x轴的直线，过b点做平行于y轴的直线，则与这两条直线相距均为R的点O′就是轨道圆的圆心，如图所示。显然MN两点既是轨道圆上的点，也是磁场圆上的点，所以MN是磁场圆的一条弦。在以MN为弦的所有圆中以MN为直径的圆最小。由几何关系得，最小圆的半径r=，磁场区域为图中的实线图。21cnjy.com
2、解析：（1）粒子射入磁场后，由于不计重力，所以洛伦兹力充当圆周运动需要的向心力，根据牛顿第二定律有： www-2-1-cnjy-com
=5×10-2m。
（2）粒子在圆形磁场区域轨迹为一段半径R=5cm的圆弧，要使偏转角最大，就要求这段圆弧对应的弧最长，即为场区的直径，粒子运动轨迹的圆心O′在ab弦中垂线上，如图所示。
由几何关系可知：
37°
而最大偏转角
正确答案：R=5×10-2m =37° =74°
3、解：以粒子为研究对象，在磁场中运动时，由洛仑兹力公式和牛顿第二定律得
Bqv=m
所以R=
粒子在磁场中作匀速圆周运动的周期
T=
（1）若粒子沿甲图所示方向射入，设
∠AO1B为，则
∴ 解得
∴粒子在磁场中运动的圆心角
∴粒子在磁场中的运动时间为·T=1.9×10-7s
（2）粒子沿乙图所示方向射入，设∠AO1C为，则
解：
∴粒子在磁场中运动的圆心角
∴粒子在磁场中的运动时间为t2=0.63×10-7s
[能力训练]
1、解析：（1）若粒子沿半径方向射入磁场，设运行半径为r，由qvB=得v=，由此可见要使速度最大，只需半径最大即可。【版权所有：21教育】
当运动轨迹恰好与外圆相切时（如图所示）
半径最大，由图中的几何关系得
R12+r2=(R2-r)2
联立上面的速度表达式并代入数据可得v=1.5×107m/s。
此速度即为沿环状半径方向射入的粒子不能穿越磁场的最大速度。
（2）粒子沿内圆切线方向射入磁场，轨迹与外圆相切，此时
轨迹半径r′最短（如图所示），则有
要使所有粒子都不能穿越磁场区域，必须满足
代入数据得×107m/s，即为所有粒子都不能穿越磁场的最大速度。
方法指导：带电粒子在有界磁场中运动的极值问题：
注意下列结论，再借助数学方法分析：
（1）刚好穿出磁场边界的条件是带电粒子在磁场中运动的轨迹与边界相切
（2）当速度v一定时，弧长越长，轨迹对应的圆心角越大，则带电粒子在有界磁场中运动的时间越长
（3）注意圆周运动中有关对称规律：
如从同一边界射入的粒子，从同一边界射出时，速度与边界的夹角相等；在圆形磁场区域内，沿经向射入的粒子，必沿径向射出。21教育名师原创作品
2、解析：要使电子都不从板间穿出，只要靠近上板的电子不能射出，便满足要求。临界轨迹如图。
洛仑兹力提供向心力
qvB=，故：
B=
圆心为O1时，R1=，此时B1=
圆心为O2时，R22=(R2-d)2+(5d)2，得R2=13d
此时B2=
那必须满足：R1≤R≤R2 也就是≤B≤
3、简析：（1）找临界轨迹如图，因入射方向确定，圆心定都在一条线上，轨迹与ab边相切时，圆心为O1，R1=-R1cos60°，得R1=，轨迹与cd边相切时，圆心为O2
由几何知识得：
R2=
又：R=，得：v0=
故范围：
（2）经分析由ad边射出的粒子时间相等且最长 T=
圆心角=360°-60°=300°
所以t=
4、BC
× × × ×
× × × ×
× × × ×
a
b
c
d
O
30°
·
+
· · ·
· · ·
· · ·
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带电粒子在磁场中的运动（二）
【学习目标】 有界磁场问题
【自主学习】
1、如图所示一电子以速度v垂直射入磁感应
强度为B，宽度为d的匀强磁场中，穿透磁场时
速度方向与电子原来入射方向夹角为30°，则电
子做圆周运动的半径为 ，电子的质量为
，运动时间为 。
总结：
【典型例题】
1、求带电粒子在有界磁场中的运动的时间
例1、如图所示，在半径为r的圆形区域内，
有一个匀强磁场，一带电粒子以速度v0从M点
沿半径方向射入磁场区，并由N点射出，O点为
圆心，∠MON=120°时，求：带电粒子在磁场区域的偏转半径R及在磁场区域中的运动时间。
2、求有界磁场的磁感应强度
例2、如图所示有一边长为a的等边三角形与匀
强磁场垂直，若在三角形某边中点处以速度v发射一
个质量为m、电量为e的电子，为了使电子不射出这
个三角形匀强磁场，则该磁场磁感应强度的最小值为多少？
例3、如图所示，一束质子沿同方向从正方形的顶点a射入匀强磁场，分成两部分，分别从bc边和cd边的中点e、f点射出磁场，求两部分质子的速度之比。（已知sin37°=0.6，cos37°=0.8）
例4、长为L、间距也为L的两平行金属板间有垂直纸面向里的匀强磁场，如图所示，磁感应强度为B。今有质量为m、带电荷量为q的正离子从平行板左端中点以平行于金属板的方向射入磁场。欲使离子不打在极板上，入射离子的速度大小应满足的条件是（ ）21世纪教育网版权所有
① ②
③ ④
以上正确的是（ ）
A、①② B、②③ C、只有④ D、只有②
【针对训练】
1、如图所示，在x轴的上方（y≥0）存在着垂直
于纸面向外的匀强磁场，磁感应强度为B，在原点O有
一个离子源向x轴上方的各个方向发射出质量为m、电
荷量为q的正离子，速率都是v，对那些在xy平面内运
动的离子，在磁场中可能达到的最大x= 。最大y= 。
2、如图所示，正方形区域abcd中充满匀强磁场，磁场方向垂直纸面向里。一个氢核从ad边的中点m沿着既垂直于ad边又垂直于磁场的方向，以一定速度射入磁场，正好从ab边中点n射出磁场。若将磁场的磁感应强度变为原来的2倍，其他条件不变，则这个氢核射出磁场的位置是（ ）
A、在b、n之间某点
B、在n、a之间某点
C、a点
D、在a、m之间某点
3、边长为a的正方形，处于有界
磁场中，如图所示，一束电子以v0水
平射入磁场后，分别从A处和C处
射出，则vA:vC= ，所经
历的时间之比tA:tB= 。
4、如图所示，一电子以与磁场垂直的速度v从P沿PQ方向进入长为d，宽为h的匀强磁场区域，从N处离开磁场，若电子质量为m，电量为e、磁感应强度为B，则（ ）21教育网
①电子在磁场中运动的时间t=d/v
②电子在磁场中运动的时间t=PN/v
③洛仑兹力对电子做的功是Bevh
④电子在N处的速度大小也是v
A、①③ B、①④ C、②③ D、②④
【能力训练】
1、如图所示，在第一象限内有垂直纸面向里的
匀强磁场，一对正、负电子分别以相同速度沿与x轴
成30°角从原点射入磁场，则正、负电子在磁场中运
动时间之比为 。
2、如图所示，一束电子以大小不同的速率沿图示方向飞入横截面是一正方形的匀强磁场，下列判断正确的是（ ）21cnjy.com
A、电子在磁场中运动的时间越长，其轨迹越长
B、电子在磁场中运动的时间越长，其轨迹线所对应的圆心角越大
C、在磁场中运动时间相同的电子，其轨迹线一定重合
D、电子的速率不同，它们在磁场中运动的时间一定不相同
3、如图所示，分布在半径为r的圆形区域内的匀强磁场，磁感应强度为B，方向垂直纸面向里。电量为q、质量为m的带正电的粒子从磁场边缘A点沿圆的半径AO方向射入磁场，离开磁场时速度方向偏转了60°角。试确定：www.21-cn-jy.com
（1）粒子做圆周运动的半径；
（2）粒子的入射速度；
（3）若保持粒子的速度不变，从A点入射时速度的方向顺
时针转过60°角，求粒子在磁场中运动的时间。
4、如图所示，匀强磁场区域的宽度d=8cm，磁感强度
B=0.332T，磁场方向垂直纸面向里，在磁场边界aa′的中
央放置一放射源S，它向各个不同方位均匀放射出速率相同
的粒子，已知粒子的质量m=6.64×10-27 kg，电量q=3.2×10 19C，
初速率v0=3.2×106m/s，则从磁场区另一边界bb′射出时的
最大长度范围为 。
5、如图所示，以O点为圆心，r为半径的圆形空间
存在着垂直纸面向里的匀强磁场，一带电粒子从A点正对
O点以速度v0垂直于磁场射入，从C射出，∠AOC=120°，
则该粒子在磁场中运动的时间是多少？
6、如图所示，区域I和区域II的匀强磁场磁感应强度
大小相等，方向相反。在区域II的A处有一静止的原子
核发生衰变，生成的新核电量为q（大于粒子带电
量），新核和粒子的运动轨迹如图，其中一个由区域II
进入区域I，与光滑绝缘挡板PN垂直相碰后（PN与磁场分界线CD平行），经过一段时间又能返回到A处，已知区域I的宽度为d，试求新核和粒子的轨道半径。（基本电荷电量为e）21·世纪*教育网
【学后反思】
________________________________________________________________________________________________________________________ 。2-1-c-n-j-y
参考答案：
[自主学习]
2d 2eBd/v
[典型例题]
例1、解析：过M和N点作圆形磁场区域半径OM和ON的垂线，两垂线的交点O′即为轨道圆的圆心，如图所示。设轨道圆半径为R，由几何关系可www-2-1-cnjy-com
知R=，粒子通过磁场的时间
t=。
例2、解析：为使带电粒子不射出有界磁场，则有电子运动的
临界轨迹应是等边三角形的内切圆，如图所示。设洛伦兹力
作用下的轨道半径为R，则有Bev=m，由几何关系得
R=，解得B=。
例3、解析：设正方形边长为L，从e、f点射出
的质子做圆周运动的圆心分别是O2，O1，由几何关系
圆心为O1时，R12=(L-R1)2+得R1=
圆心为O2时，R22=(R2-+L2得R2=
又由R=得：R1:R2=vf:ve=:=1:2
例4、A
[针对训练]
1、 2、C 3、1:2，2:1 4、D
[能力训练]
1、2:1 2、B
3、解析：（1）粒子在圆形磁场中运动轨迹
如图弧AB，圆心为O′由几何知识得：
粒子做圆周运动的半径为：R=r·cot30°=r
（2）洛仑兹力提供向心力，由牛顿第二定律：
qvB=
（3）粒子做圆周运动的轨迹如图，
由几何知识知其做圆周运动的圆心恰
为B，且∠ABC=60°
又：T=，故运动时间t=
4、在S′两侧各16cm
5、解析：本题速度偏向角易知，欲求运动时间，只要求出周期即可，但B未知，还需联立半径R求解，故应先画轨迹，明确圆心、半径大小，借助几何关系求得。21·cn·jy·com
粒子在磁场中运动的轨迹是从A到C的圆弧，作AO和CO的垂线，相交于O′点，O′点即为粒子做圆周运动的圆心位置。2·1·c·n·j·y
设运动半径为R′，由几何知识得
R′=rcot30°=
答案：
6、解析：区域II中，原子核发生衰变，则
由动量守恒定律，新核与粒子动量大小相等，设
为P，方向相反，则运动半径：R=，因新核电
量q大于粒子带电量，故新，大圆为粒子轨迹，连接OB、OO′，则OB⊥OO′，由几何关系OO′=2，BO′=，则所以【来源：21·世纪·教育·网】
又：
故：
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