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专题6 分式方程及其运用(含二次根式）
1列运算正确的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【分析】根据，，分式的加减，合并同类项计算即可．
本题考查了二次根式的性质，幂的乘方，分式的加减，合并同类项，熟练掌握公式和运算法则是解题的关键．
【详解】A. ，错误，不符合题意；
B. ，错误，不符合题意；
C. ，错误，不符合题意；
D. ，正确，符合题意；
故选D．
2.代数式有意义时，应满足的条件为（ ）
A． B． C． D．≤-1
【答案】B
【分析】根据分式分母不为0及二次根式中被开方数大于等于0即可求解．
【详解】解：由题意可知：，
∴，
故选：B．
3.方程的解为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】分式方程去分母转化为整式方程，求出整式方程的解即得到x的值，经检验即可得到分式方程的解．
【详解】解：
去分母得：，
移项合并得：，
化系数为“1”得：，
检验，当时，，
∴是原分式方程的解．
故选：D．
4.计算 ．
【答案】6
【分析】利用二次根式的乘法法则进行求解即可．
【详解】解：．
故答案为：6．
5.化简：
【答案】
【详解】此题先把二次根式化简，再进行合并即可求出答案．
解： -=2-=．
故填：．
6.若，则 ．
【答案】1
【分析】根据绝对值的非负性和二次根式的非负性得出a，b的值，即可求出答案．
【详解】∵
∴，，
∴，
故答案为：1．
7.已知
（1）化简A；
（2）若，求A的值．
【答案】（1）；（2）．
【分析】（1）先通分合并后，因式分解，然后约分化简即可；
（2）先把式子移项求，然后整体代入，进行二次根式乘法运算即可．
【详解】解：（1）；
（2）∵，
∴，
∴．
8.在襄阳市创建全国文明城市的工作中，市政部门绿化队改进了对某块绿地的灌浇方式．改进后，现在每天用水量是原来每天用水量的，这样120吨水可多用3天，求现在每天用水量是多少吨？
【答案】现在每天用水量是8吨．
【分析】
设原来每天用水量为x吨，则现在每天用水量为吨，原来使用的天数为天，现在使用的天数为天，根据120吨水现在使用的天数比原来使用的天数多用3天列出方程求解即可.
【详解】
设原来每天用水量为x吨，则现在每天用水量为吨，根据题意得，
-=3
解得，x=10，
经检验，x=10是原方程的根.
∴吨，
答：现在每天用水量是8吨
9.据工信部有关信息显示，预计到2030年，我国新能源汽车保有量将达到6420万辆．为顺应时代发展，加快公共领域充电基础设施建设，某社区计划在社区相关区域建设一些充电基础设施，经过工程招标，拟定购买A型慢充桩和B型快充桩两种型号．已知A型慢充桩比B型快充桩的单价少1.1万元，且用6.4万元购买A型慢充桩与用24万元购买B型快充桩的数量相等．
(1)问A，B两种型号充电桩的单价各是多少？
(2)社区计划共建设50个A，B型充电桩，平均每个充电桩场地建设费用为5000元，且本项目预算建设总费用不超过60万元，那么安装购买A型慢充桩最少要有多少个？
【答案】(1)A种型号充电桩的单价是万元，B种型号充电桩的单价是万元
(2)安装购买A型慢充桩最多个
【分析】本题考查了分式方程的应用，一元一次不等式的应用，找出等量关系式和不等关系式是解题的关键
（1）等量关系式：B型快充桩的单价A型慢充桩的单价1.1万元，6.4万元购买A型慢充桩的数量用24万元购买B型快充桩的数量，列出分式方程，即可求解；
（2）不等关系式：购买A型慢充桩的费用购买B型快充桩的费用充电桩的场地费，列出不等式，即可求解．
【详解】（1）解：设A种型号充电桩的单价是万元，B种型号充电桩的单价是（）万元，由题意得
，
解得：，
经检验：是所列方程的根，且符合实际意义，
（万元），
答：A种型号充电桩的单价是万元，B种型号充电桩的单价是万元；
（2）解：设安装购买A型慢充桩个，由题意得
，
解得：，
是整数，
取，
故安装购买A型慢充桩最多个．
一、二次根式
1.二次根式的意义及性质
理解被开方数是非负数，给出一个式子能准确的判断其是否为二次根式，并能根据二次根式的定义确定被开方数中的字母取值范围．
2. 二次根式有无意义的条件
(1)．如果一个式子中含有多个二次根式，那么它们有意义的条件是：各个二次根式中的被开方数都必须是非负数．
(2)．如果所给式子中含有分母，则除了保证被开方数为非负数外，还必须保证分母不为零．
(3).利用二次根式性质时，如果题目中对根号内的字母给出了取值范围，那么应在这个范围内对根式进行化简，如果题目中没有给出明确的取值范围，那么应注意对题目条件的挖掘，把隐含在题目条件中所限定的取值范围显现出来，在允许的取值范围内进行化简．
3.最简二次根式与同类二次根式
最简二次根式的判断方法：
（1）最简二次根式必须同时满足如下条件：
①被开方数的因数是整数，因式是整式（分母中不应含有根号）；
②被开方数中不含开方开得尽的因数或因式，即被开方数的因数或因式的指数都为1．
（2）判断同类二次根式：先把所有的二次根式化成最简二次根式；再根据被开方数是否相同来加以判断．要注意同类二次根式与根号外的因式无关．
3．二次根式的运算
基础知识归纳：
（1）．二次根式的加减法：实质就是合并同类二次根式．
合并同类二次根式：在二次根式的加减运算中，把几个二次根式化为最简二次根式后，若有同类二次根式，可把同类二次根式合并成一个二次根式．
（2）．二次根式的乘除法
二次根式的乘法：（a≥0，b≥0）．
二次根式的除法：（a≥0，b＞0）．
注意问题归纳：正确把握运算法则是解题的关键
4．二次根式混合运算
基础知识归纳：先乘方，再乘除，最后加减，有括号的先算括号里的（或先去括号）．
注意问题归纳：注意运算顺序．
5．二次根式运算中的技巧
（1）二次根式的混合运算是二次根式乘法、除法及加减法运算法则的综合运用．学习二次根式的混合运算应注意以下几点：
①与有理数的混合运算一致，运算顺序先乘方再乘除，最后加减，有括号的先算括号里面的．
②在运算中每个根式可以看做是一个“单项式“，多个不同类的二次根式的和可以看作“多项式“．
（2）二次根式的运算结果要化为最简二次根式．
（3）在二次根式的混合运算中，如能结合题目特点，灵活运用二次根式的性质，选择恰当的解题途径，往往能事半功倍
二：分式
1.分式的意义：分式有意义的条件是分母不为零；分式无意义的条件是分母等于零；分式值为零的条件是分子为零且分母不为零．
注意：
①分式有意义的条件是分母不为0，无意义的条件是分母为0．
②分式值为0要满足两个条件，分子为0，分母不为0．
2.分式的性质
基础知识：
分式的分子与分母都乘以（或除以）同一个不等于零的整式，分式的值不变．用式子表示为
注意：
分式的基本性质是分式变形的理论依据，所有分式变形都不得与此相违背，否则分式的值改变；
将分式化简，即约分，要先找出分子、分母的公因式，如果分子、分母是多项式，要先将它们分别分解因式，然后再约分，约分应彻底；
巧用分式的性质，可以解决某些较复杂的计算题，可应用逆向思维，把要求的算式和已知条件由两头向中间凑的方式来求代数式的值．
3.分式的加减运算
加减法法则：① 同分母的分式相加减：分母不变，分子相加减
② 异分母的分式相加减：先通分，变为同分母的分式，然后再加减 ．
注意：
1．分式加减运算的运算法则：同分母分式相加减，分母不变，分子相加减；异分母分式相加减，先通分，变为同分母的分式，然后再加减．
2.异分母分式通分的依据是分式的基本性质，通分时应确定几个分式的最简公分母．求最简公分母的方法是：①将各个分母分解因式；②找各分母系数的最小公倍数；③找出各分母中不同的因式，相同因式中取次数最高的，满足②③的因式之积即为各分式的最简公分母．
4.分式的乘除运算
1．乘法法则：分式乘分式，用分子的积作为积的分子，分母的积作为积的分母．乘方法则：分式的乘方，把分子、分母分别乘方．
2．除法法则：分式除以分式，把除式的分子、分母颠倒位置后与被除式相乘．
注意：分式乘除法的运算与因式分解密切相关，分式乘除法的本质是化成乘法后，约去分式的分子分母中的公因式，因此往往要对分子或分母进行因式分解（在分解因式时注意不要出现符号错误），然后找出其中的公因式，并把公因式约去．
要出现符号错误），然后找出其中的公因式，并把公因式约去．
五：分式的混合运算
基础知识：在分式的混合运算中，应先算乘方，再将除法化为乘法，进行约分化简，最后进行加减运算．若有括号，先算括号里面的．灵活运用运算律，运算结果必须是最简分式或整式．
注意：注意运算顺序，计算准确．
1.下列计算正确的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】本题考查了二次根式的除法，减法，化简二次根式，熟练掌握知识点是解题的关键．
分别利用二次根式的的除法，减法，化简二次根式的方法进行计算即可．
【详解】解：A、与不是同类二次根式，不能合并，故本选项不符合题意；
B、，故本选项不符合题意；
C、，故本选项符合题意；
D、，故本选项不符合题意．
故选：C．
2.下列运算正确的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】本题考查了二次根式的运算，根据二次根式的加减，乘法计算，然后逐项判断即可．
【详解】解：A．与不是同类二次根式，不可以合并，故运算错误；
B．，故原运算错误；
C．5与不是同类二次根式，不可以合并，故运算错误；
D．，故原运算正确，
故选：D．
3.下列是最简二次根式的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】本题考查最简二次根式的识别，最简二次根式需满足被开方数不含有分母，被开方数不含有开得尽方的因数或因式，根据定义逐一判断即可．
【详解】解：是最简二次根式，故A选项正确；
中被开方数含有分母，不是最简二次根式，故B选项错误；
中二次根式位于分母位置，不是最简二次根式，故C选项错误；
中被开方数含有开得尽方的因数，不是最简二次根式，故D选项错误；
故选A．
4.计算的结果为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】根据分式的加法运算可进行求解．
【详解】解：原式；
故选C．
5.若，则（ ）
A． B． C． D．9
【答案】B
【分析】根据一个实数的绝对值非负，一个非负实数的算术平方根非负，且其和为零，则它们都为零，从而可求得a、b的值，从而可求得ab的值．
【详解】∵，，且
∴，
即，且
∴，
∴
故选：B．
6.明明与妹妹慧慧周六去广州海珠湖的环湖绿道跑步，绿道一圈路程约为2.5千米，明明的速度是妹妹速度的1.2倍，跑完一圈明明比妹妹少用，设妹妹跑步的速度为，则可列方程为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】本题主要考查了分式方程的应用，理解题意，弄清数量关系是解题关键．设妹妹跑步的速度为，则明明跑步的速度为，根据“跑完一圈明明比妹妹少用”列出方程即可．
【详解】解：设妹妹跑步的速度为，则明明跑步的速度为，
根据题意，可得．
故选：B．
7.2024年3月17日惠州举办了首届马拉松，本届赛事以“畅跑山海惠州，尽享东坡文化”为主题，以弘扬惠州东坡文化为主旨，是一场体现文旅体深度融合的“嘉年华”赛事．已知总赛程约为，在同一场比赛中A选手的平均速度是B选手的1.2倍，最终A选手冲刺终点的时间比B选手提前20分钟，若设B选手的平均速度是，则可列方程为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【分析】本题主要考查了分式方程的应用——行程问题．熟练掌握路程与速度和时间的关系列代数式，时间差列方程，是解决问题的关键．
20分钟化为小时，根据时间差20分钟列出方程，逐一判断即得．
【详解】∵在同一场比赛中A选手的平均速度是B选手的1.2倍， B选手的平均速度是，
∴A选手的平均速度为，
∵总赛程约为，最终A选手冲刺终点的时间比B选手提前20分钟，
，
∴．
故选：B．
8.分式方程的解是 ____
【答案】
【分析】先去分母，将分式方程转化成整式方程求解，再检验即可求解；
【详解】解：方程两边同时乘以2x(x+1)，得
3(x+1)=4x
3x+3=4x
x=3，
检验：把x=3代入2x(x+1)=2×3(3+1)=24≠0，
∴原分式方程的解为：x=3．
故答案为：x=3．
9.已知关于x、y的二元一次方程组（a≠0），则＝_____．
【答案】﹣
【分析】
方程组利用加减法表示出x+y与x﹣y，原式变形后代入计算即可求出值．
【详解】
解：
①+②得：3x+3y＝3a，即x+y＝a，
①﹣②得：x﹣y＝﹣a，
则原式＝＝＝﹣．
故答案为：﹣．
10.若分式的值是正整数，则整数的值是______．
【答案】0，
【分析】
根据题意，分式的值是正整数，可知，分式的分母为1或-1，据此解得的值，最后验根即可．
【详解】
解：分式的值是正整数，，
∴为小于2的整数，
或
或
经检验，当或，分母，
或
故答案为：或．
11.计算 ．
【答案】6
【分析】利用二次根式的乘法法则进行求解即可．
【详解】解：．
故答案为：6．
【点睛】本题考查了二次根式的乘法，熟练掌握二次根式的乘法法则和二次根式的性质是解题的关键．
12.若关于的分式方程有增根，则的值为 ．
【答案】
【分析】本题考查了增根的概念，利用增根的意义即可求解，正确理解增根的含义是解题的关键．
【详解】解：，
，
，
∵关于的分式方程有增根，
∴，
∴，
13.代数式在实数范围内有意义时，x应满足的条件是 ．
【答案】
【分析】根据二次根式有意义的条件解答．
【详解】解：由题意得：，
解得，
故答案为：．
【点睛】此题考查二次根式有意义的条件：被开方数大于等于零．
14.先化简，再求值：，其中．
【答案】，
【分析】先计算括号内的加法，再计算除法运算得到最简结果，代入数值计算即可．
【详解】解：
．
当时，原式．
15.先化简再求值：，其中．
【答案】；1
【分析】先把分式化简后，再把的值代入求出分式的值即可．
【详解】原式
当时，原式．
16.先化简，再求值，其中．
【答案】，
【分析】本题考查了分式的化简求值、分母有理化，括号内先通分，再将除法转化为乘法，约分即可化简，代入计算即可得出答案，熟练掌握运算法则是解此题的关键．
【详解】解：
，
当时，
原式．
17.伴随着“双碳”政策的实施，新能源汽车应运而生，新能源汽车补充电量主要有两种方式，一种是用充电桩充电，一种是换电站换电池．已知某型号油电混合动力汽车每次换电池的时间比加油的时间多1.5分钟，且花6小时完成换电池服务的次数与花4小时完成加油服务的次数相等．求该车每次换电池服务和完成加油服务的时间分别是多少？
【答案】该车每次换电池服务的时间和完成加油服务的时间分别是4.5分钟和3分钟
【分析】本题考查分式方程的应用，找准等量关系并列出分式方程是解题的关键．
设每次完成换电池服务的时间为x分钟，根据“每次换电池的时间比加油的时间多1.5分钟”表示次完成加油服务的时间为分钟，根据“花6小时完成换电池服务的次数与花4小时完成加油服务的次数相等”建立方程，求解即可．
【详解】解：设每次完成换电池服务的时间为x分钟，则每次完成加油服务的时间为分钟，
根据题意，得，
解得，
经检验，是原分式方程的解，且符合题意，
∴（分钟）．
答：该车每次换电池服务的时间和完成加油服务的时间分别是4.5分钟和3分钟．
18.某公司不定期为员工购买某预制食品厂生产的杂酱面、牛肉面两种食品．现该公司分别花费1080元、1200元一次性购买杂酱面、牛肉面两种食品，已知购买杂酱面的份数比牛肉面的份数多，每份牛肉面比每份杂酱面的价格贵5元，求每份牛肉面的价格．
【答案】每份牛肉面的价格为20元
【分析】本题考查分式方程的应用．设每份杂酱面的价格为元，则每份牛肉面的价格为元，根据“购买杂酱面的份数比牛肉面的份数多”列出关于的分式方程，解之经检验后，即可得出结论．
【详解】解：设每份杂酱面的价格为元，则每份牛肉面的价格为元，
根据题意，得．
解得．
经简要是原方程的解．
则每份牛肉面的价格为：（元）．
答：每份牛肉面的价格为20元．
19.2024年3月14日是第五个“国际数学日”，某校数学组在今年“国际数学日”举行了数学游园活动，购买了一批钢笔和自动铅笔作为奖品．在前期询价时，通过电话询问文具店了解到，钢笔的价格比自动铅笔贵60%，且花300元购买的自动铅笔比花400元购买的钢笔多10支．
(1)求前期电话询问时钢笔和自动铅笔的单价分别为多少？
(2)前往文具店购买时，恰逢商家对价格进行了调整：自动铅笔比之前询问时涨价20%，而钢笔则按之前询问价格的8.5折出售．若学校最终购买了钢笔和自动铅笔共200支，且购买奖品的费用没有超过1250元，则学校最多购买了多少支钢笔作为奖品？
【答案】(1)前期电话询问时钢笔的单价是8元，自动铅笔的单价是5元
(2)学校最多购买了62支钢笔作为奖品
【分析】本题考查了分式方程的实际应用，一元一次不等式的应用，解题关键是理清题目中的数量关系，掌握分式方程及一元一次不等式的应用．
（1）设前期电话询问时自动铅笔的单价是元，则自钢笔的单价是元，根据数量=费用单价，结合题意“花300元购买的自动铅笔比花400元购买的钢笔多10支”，即可得到等量关系，列出分式方程求解，并检验解即可；
（2）设学校购买了支钢笔作为奖品，则购买了支自动铅笔，根据费用=单价数量，找到题目中的数量关系：购买自动铅笔费用+购买钢笔费用1250元，列出不等式，求出不等式的最大整数解即可．
【详解】（1）解：设前期电话询问时自动铅笔的单价是元，则自钢笔的单价是元，
根据题意得：，
解得：，
经检验，是所列方程的解，且符合题意，
∴（元），
答：前期电话询问时钢笔的单价是8元，自动铅笔的单价是5元．
（2）解：设学校购买了支钢笔作为奖品，则购买了支自动铅笔，
根据题意得：，
解得：，
又∵为正整数，
∴的最大值为62，
答：学校最多购买了62支钢笔作为奖品．
（2024·广东肇庆·二模）计算的结果为（ ）
A． B． C．5 D．6
【答案】B
【分析】本题考查了二次根式的乘法，根据二次根式的乘法运算法则进行计算即可求解．
【详解】，
故选：B．
（2024·广东阳江·二模）若要使式子有意义，则的取值范围是（ ）
A． B．且
C． D．且
【答案】B
【分析】本题考查的知识点为二次根式有意义的条件和分式有意义的条件．根据二次根式被开方数大于或等于0，分母不等于0，可以求出m的范围．
【详解】解：根据题意得：，
解得：且．
故选：B．
3.（2023·广东广州·中考真题）随着城际交通的快速发展，某次动车平均提速60，动车提速后行驶480与提速前行驶360所用的时间相同．设动车提速后的平均速度为x，则下列方程正确的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【分析】根据提速前后所用时间相等列式即可．
【详解】解：根据题意，得．
故选：B．
4（2023·广东深圳·中考真题）某运输公司运输一批货物，已知大货车比小货车每辆多运输5吨货物，且大货车运输75吨货物所用车辆数与小货车运输50吨货物所用车辆数相同，设有大货车每辆运输x吨，则所列方程正确的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】根据“大货车运输75吨货物所用车辆数与小货车运输50吨货物所用车辆数相同”即可列出方程．
【详解】解：设有大货车每辆运输x吨，则小货车每辆运输吨，
则．
故选B
5（2023·广东·中考真题）某学校开展了社会实践活动，活动地点距离学校，甲、乙两同学骑自行车同时从学校出发，甲的速度是乙的倍，结果甲比乙早到，求乙同学骑自行车的速度．
【答案】乙同学骑自行车的速度为千米/分钟．
【分析】设乙同学骑自行车的速度为x千米/分钟，则甲同学骑自行车的速度为千米/分钟，根据时间=路程÷速度结合甲车比乙车提前10分钟到达，即可得出关于x的分式方程，解之并检验后即可得出结论．
【详解】解：设乙同学骑自行车的速度为x千米/分钟，则甲同学骑自行车的速度为千米/分钟，
根据题意得：，
解得：．
经检验，是原方程的解，且符合题意，
答：乙同学骑自行车的速度为千米/分钟．
6.（2024·广东广州·二模）方程的解为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】本题考查了解分式方程．先去分母，转化为整式方程，再求解，检验即可．
【详解】解：，
去括号得，
解得：，
经检验：是原方程的根，
故选：A．
7（2024·广东汕头·二模）已知时，分式无意义；时，分式的值为0，则的值为（ ）
A．2 B． C．1 D．
【答案】D
【分析】本题考查了分式无意义的条件、分式的值为0的条件，代数式求值，根据分式无意义的条件可得，根据分式的值为0可得，求出a，b的值，再把a，b的值代入代数式计算即可求解，掌握分式无意义的条件、分式的值为的条件是解题的关键．
【详解】解：∵当时，分式无意义，
∴，
解得：，
当时，分式的值为0，
即，
解得：，
∴，
故选：D．
8.（2024·广东江门·一模）若x、y为实数，且满足，则的值为（ ）
A．1或 B．1 C． D．无法确定
【答案】B
【分析】此题主要考查了二次根式以及偶次方的性质，根据非负数的性质列式求出x，y的值，然后代入代数式进行计算即可得解．
【详解】解：，
，即，
，
，
故选：B．
9.（2024·广东·三模）已知，则的值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】本题考查了分式的化简求值，由可得，把转化为即可代入求值，掌握分式的运算法则是解题的关键．
【详解】解：∵，
∴，
∴，
故选：．
10.（2024·广东·中考真题）计算： ．
【答案】1
【分析】本题主要考查了同分母分式减法计算，根据同分母分式减法计算法则求解即可．
【详解】解：，
故答案为：1．
11.（2024·广东·中考真题）方程的解为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】把分式方程去分母转化为整式方程，求出整式方程的解得到x的值，经检验即可得到分式方程的解．
【详解】解：
去分母得：，
去括号得：，
移项、合并同类项得：，
解得：x=9，
经检验：x=9是原分式方程的解，
故选：C．
12.（2024·广东深圳·中考真题）先化简，再求值： ，其中
【答案】，
【解析】
【分析】此题考查了分式的化简求值，熟练掌握分式混合运算的运算顺序和运算法则是解题关键．
原式括号中两项通分并利用同分母分式的减法法则计算，同时利用除法法则变形，约分得到最简结果，把a的值代入计算即可求出值．
【详解】解：
=
=
=，
当时，原式=．
13.（2024·广东惠州·一模）下面是小明化简分式的过程，请认真阅读并完成相应任务：
解：原式 第一步 第二步 第三步 第四步 第五步
【任务一】填空：
①以上化简步骤中，第一步变形使用的方法是______；
②第_____步是进行分式的通分，通分的依据是_____；
③第_____步开始出现错误．
【任务二】请直接写出正确的化简结果：_____．
【答案】任务一：①公式法分解因式；②三，分式的基本性质；③四；任务二：
【分析】根据分式的性质进行化简．
【详解】解：
任务一：①第一步变形使用的方法是公式法分解因式；
②第三步是进行分式的通分，通分的依据是分式的基本性质；
③第四步开始出现错误；
任务二：
解：原式＝
．
故答案为：任务一：①公式法分解因式；②三，分式的基本性质；③四；任务二：．
14.（2024·广东广州·三模）已知．
(1)化简A；
(2)若a、b是方程的两根，求A的值．
【答案】(1)
(2)1
【分析】（1）根据分式的加减乘除混合运算化简即可；
（2）根据a、b是方程的两根，得到，代入求值即可．
本题考查了分式的化简，根与系数关系定理，求代数式的值， 熟练掌握分式的混合运算，根与系数关系定理是解题的关键．
【详解】（1）
．
（2）∵a、b是方程的两根，
∴，
故．
15.（2024·广东广州·中考真题）解方程：．
【答案】
【分析】本题考查的是解分式方程，掌握分式方程的解法是解题关键，注意检验．依次去分母、去括号、移项、合并同类项求解，检验后即可得到答案．
【详解】解：，
去分母得：，
去括号得：，
移项得：，
合并同类项得：，
解得：，
经检验，是原方程的解，
该分式方程的解为．
16.（2022·广东深圳·中考真题）某学校打算购买甲乙两种不同类型的笔记本．已知甲种类型的笔记本的单价比乙种类型的要便宜1元，且用110元购买的甲种类型的数量与用120元购买的乙种类型的数量一样．
(1)求甲乙两种类型笔记本的单价．
(2)该学校打算购买甲乙两种类型笔记本共100件，且购买的乙的数量不超过甲的3倍，则购买的最低费用是多少
【答案】(1)甲类型的笔记本单价为11元，乙类型的笔记本单价为12元
(2)最低费用为1101元
【分析】（1）设甲类型的笔记本单价为x元，则乙类型的笔记本为元．列出方程即可解答；
（2）设甲类型笔记本购买了a件，最低费用为w，列出w关于a的函数，利用一次函数的增减性进行解答即可．
【详解】（1）设甲类型的笔记本单价为x元，则乙类型的笔记本为元．
由题意得：
解得：
经检验是原方程的解，且符合题意．
∴乙类型的笔记本单价为：（元）．
答：甲类型的笔记本单价为11元，乙类型的笔记本单价为12元．
（2）设甲类型笔记本购买了a件，最低费用为w，则乙类型笔记本购买了件．
由题意得：．
∴．
．
∵，
∴当a越大时w越小．
∴当时，w最小，最小值为（元）．
答：最低费用为1101元．
1.实数、在数轴上的位置如图所示，化简的结果是（ ）．
A． B．0 C． D．
【答案】A
【分析】
根据实数a和b在数轴上的位置得出其取值范围，再利用二次根式的性质和绝对值的性质即可求出答案．
【详解】
解：由数轴可知-2＜a＜-1，1＜b＜2，
∴a+1＜0，b-1＞0，a-b＜0，
∴
=
=
=-2
故选A.
2.（2024·广东阳江·一模）已知，计算的值是（ ）
A． B．1 C．3 D．
【答案】A
【分析】本题考查了分式的化简求值，
首先由得到，然后根据分式的混合运算化简，进而求解即可．
【详解】∵
∴
．
故选：A．
（2024·广东广州·二模）代数式有意义时，则x应满足的条件是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】本题考查二次根式有意义的条件及分式有意义的条件，根据二次根式及分式有意义的条件求解是解题的关键．根据二次根式有意义时被开方数为非负数，分式有意义时分母不为零可求解x的取值范围．
【详解】解： 代数式有意义，
，
．
故选：A．
（2021·广东·中考真题）设的整数部分为a，小数部分为b，则的值是（ ）
A．6 B． C．12 D．
【答案】A
【分析】首先根据的整数部分可确定的值，进而确定的值，然后将与的值代入计算即可得到所求代数式的值．
【详解】∵，
∴，
∴的整数部分，
∴小数部分，
∴．
故选：．
5.（2024·广东深圳·三模）在创建文明城市的进程中，某市为美化城市环境，计划种植树木50万棵，由于志愿者的加入，实际每天植树比原计划多，结果提前2天完成任务，设原计划每天植树x万棵，由题意得到的方程是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【分析】本题主要考查了分式方程的应用，设原计划每天植树x万棵，则实际每天植树万棵，根据实际提前2天完成任务，列出方程即可．
【详解】解：设原计划每天植树x万棵，则实际每天植树万棵，由题意可得，
，
故选：A．
6.（2024·广东佛山·二模）在题目“甲、乙两地相距，一辆汽车从甲地匀速开往乙地，…，求汽车实际行驶的时间？”中，若设汽车原计划需行驶，可得方程，则题目中“…”表示的条件是（ ）
A．速度比原计划增加，结果提前到达 B．速度比原计划增加，结果晚到达
C．速度比原计划减少，结果提前到达 D．速度比原计划减少，结果晚到达
【答案】A
【分析】本题主要考查分式的实际运用，理解题目中的数量关系，分式方程表示的含义，掌握分式方程解实际问题的方法是解题的关键．根据设汽车原计划需行驶，可得表示的含义，由此可得，表示的含义，由此即可求解．
【详解】解：设汽车原计划需行驶，则表示原计划的速度，
∴表示的是在原计划的速度上提高，
∴表示实际的速度，
∴A符合题意，
故选：．
7.关于的分式方程的解为负数，则的取值范围____．
【答案】且
【分析】
分式方程去分母化为整式方程，求出整式方程的解得到的值，根据分式方程的解为负数且分式方程分母不为，即且可得到不等式，解出不等式即可．
【详解】
解：去分母得：，
去括号得：，
移项得：，
系数化为：，
分式方程的解为负数，
，
，
分式的分母不为，
且，
即且，
且，
且．
故答案为：且．
8.（2020·广东广州·中考真题）方程的解是 ．
【答案】
【分析】根据分式方程的解法步骤解出即可．
【详解】
左右同乘2(x+1)得: 2x=3
解得x=．
经检验x=是方程的跟．
故答案为: ．
9.某工厂计划加工一批零件240个，实际每天加工零件的个数是原计划的1.5倍，结果比原计划少用2天．设原计划每天加工零件x个，可列方程_________．
【答案】
【分析】
设原计划每天生产零件x个，则实际每天生产零件为1.5x个，根据比原计划少用2天，列方程即可．
【详解】
解：设原计划每天生产零件x个，则实际每天生产零件为1.5x个，
由题意，得.
故答案是：.
10.（2024·广东广州·二模）为了落实“双减”政策，进一步丰富文体活动，学校准备购进一批篮球和足球，已知每个篮球的价格比每个足球的价格多元，用元购进篮球的数量比用元购进足球的数量多个，如果设每个足球的价格为元，可列方程为： ．
【答案】
【分析】此题考查了分式方程的应用，设每个足球的价格为元，则每个篮球的价格为元，用元购进篮球的数量比用元购进足球的数量多个列出方程即可，由解题的关键读懂题意列出分式方程．
【详解】解：设每个足球的价格为元，则每个篮球的价格为元，
由题意得：，
故答案为：．
11.（2024·广东肇庆·一模）计算 ．
【答案】
【分析】本题考查了二次根式的除法，根据二次根式的除法法则计算即可得出答案．
【详解】解：，
故答案为：．
12.（2024·广东中山·一模）计算：的结果为 ．
【答案】1
【分析】本题主要考查了二次根式的乘法、平方差公式等知识点，掌握二次根式的乘法法则成为解题的关键．
【详解】解：．
故答案为：1．
13.（2024·广东·二模）已知，，则 ．
【答案】1
【分析】本题考查了分式的化简求值．先把分子因式分解，再约分化简，代入数据即可求解．
【详解】解：
；
当，时，原式．
故答案为：1．
14.关于的分式方程的解为负数，则的取值范围____．
【答案】且
【分析】
分式方程去分母化为整式方程，求出整式方程的解得到的值，根据分式方程的解为负数且分式方程分母不为，即且可得到不等式，解出不等式即可．
【详解】
解：去分母得：，
去括号得：，
移项得：，
系数化为：，
分式方程的解为负数，
，
，
分式的分母不为，
且，
即且，
且，
且．
故答案为：且．
15.若且，则 ．
【答案】
【分析】根据，利用完全平方公式可得，根据x的取值范围可得的值，利用平方差公式即可得答案．
【详解】∵，
∴，
∵，
∴，
∴=，
∴==，
故答案为：
16.先化简，再求值：，其中a=2．
【答案】，1．
【分析】先将分式进行化简，再把a的值代入化简的结果中求值即可．
【详解】
当a=2时，原式．
17.先化简，再求值：，其中．
【答案】，11
【分析】利用平方差公式约分，再合并同类项即可；
【详解】解：原式=，
将a=5代入得：原式=2×5+1=11.
18.先化简，再求值：其中
【答案】，
【分析】利用分式的相应的运算法则进行化简，再代入相应的值运算即可．
【详解】解：原式
=
将代入得原式．
19.先化简，再求值：，其中．
【答案】；
【分析】本题主要考查分式的混合运算以及二次根式的化简求值，先将原式除法转换为乘法，约分后再通分计算得到最简结果后代入求值即可
【详解】解：
；
当时，原式．
20.解分式方程：．
【答案】x＝．
【分析】
分式方程去分母转化为整式方程，求出整式方程的解得到x的值，经检验即可得到分式方程的解．
【详解】
解：方程，
去分母得：x2﹣4x+4﹣3x＝x2﹣2x，
移项得：-5x=-4，
系数化为1得：x＝，
经检验x＝是分式方程的解．
21.2024年是甲辰龙年，作为中华民族重要的精神象征和文化符号，千百年来，龙的形象贯穿文学、艺术、民俗、服饰、绘画等各个领域，也呈现了吉祥如意、平安幸福的美好寓意．某商店销售A，B两款与龙相关的吉祥物，已知A款吉祥物的单价比B款吉祥物的单价高20元，若顾客花1000元购买A款吉祥物的数量与花500元购买B款吉祥物的数量相同，求A，B两款吉祥物单价．
【答案】每个A款吉祥物的售价为40元，每个B款吉祥物的售价为20元
【分析】本题考查了分式方程实际应用问题，根据题意找到相等关系是解题的关键．设一个B款吉祥物的售价为元，则一个A款吉祥物的售价为元，根据顾客花1000元购买A款吉祥物的数量与花500元购买B款吉祥物的数量相同，即可列出等量关系求解．
【详解】解：设一个B款吉祥物的售价为元，则一个A款吉祥物的售价为元，
根据题意，得，
解得．
经检验，是所列方程的解，且符合题意，
（元）．
答：每个A款吉祥物的售价为40元，每个B款吉祥物的售价为20元．
22.某店在批发中心选购鸡仔饼和杏仁饼．鸡仔饼每盒进价比杏仁饼每盒进价多5元，用300元购进鸡仔饼的盒数是用100元购进杏仁饼的盒数的2 倍．
(1)鸡仔饼、杏仁饼的进价各是多少元/盒？
(2)该店计划购进鸡仔饼、杏仁饼共60盒，其中鸡仔饼每盒售价28 元，杏仁饼每盒售价18元．若鸡仔饼、杏仁饼全部售出时，总获利超过680元，则至少购进鸡仔饼多少盒？
【答案】(1)鸡仔饼的进价是15元/盒，杏仁饼的进价是10元/盒
(2)至少购进鸡仔饼41盒
【分析】本题考查了分式方程的应用以及一元一次不等式的应用，解题的关键是：找出数量关系，正确列出分式方程和一元一次不等式．
（1）设鸡仔饼的进价是元/盒，则杏仁饼的进价是元/盒，根据用300元购进鸡仔饼的盒数是用100元购进杏仁饼的盒数的2倍．列出分式方程，解方程即可；
（2）设购进鸡仔饼盒，则购进杏仁饼盒，根据总获利超过680元，列出一元一次不等式，解不等式，即可解决问题．
【详解】（1）解：设鸡仔饼的进价是元/盒，则杏仁饼的进价是元/盒，
由题意得：，
解得：，
经检验，是原方程的解，且符合题意，
∴，
答：鸡仔饼的进价是15元/盒，杏仁饼的进价是10元/盒；
（2）设购进鸡仔饼盒，则购进杏仁饼盒，
由题意得：，
解得：，
∵为正整数，
∴的最小值为41，
答：至少购进鸡仔饼41盒．
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专题6 分式方程及其运用(含二次根式）
1列运算正确的是（ ）
A． B．
C． D．
2.代数式有意义时，应满足的条件为（ ）
A． B． C． D．≤-1
3.方程的解为（ ）
A． B． C． D．
4.计算 ．
5.化简：
6.若，则 ．
7.已知
（1）化简A；
（2）若，求A的值．
8.在襄阳市创建全国文明城市的工作中，市政部门绿化队改进了对某块绿地的灌浇方式．改进后，现在每天用水量是原来每天用水量的，这样120吨水可多用3天，求现在每天用水量是多少吨？
9.据工信部有关信息显示，预计到2030年，我国新能源汽车保有量将达到6420万辆．为顺应时代发展，加快公共领域充电基础设施建设，某社区计划在社区相关区域建设一些充电基础设施，经过工程招标，拟定购买A型慢充桩和B型快充桩两种型号．已知A型慢充桩比B型快充桩的单价少1.1万元，且用6.4万元购买A型慢充桩与用24万元购买B型快充桩的数量相等．
(1)问A，B两种型号充电桩的单价各是多少？
(2)社区计划共建设50个A，B型充电桩，平均每个充电桩场地建设费用为5000元，且本项目预算建设总费用不超过60万元，那么安装购买A型慢充桩最少要有多少个？
一、二次根式
1.二次根式的意义及性质
理解被开方数是非负数，给出一个式子能准确的判断其是否为二次根式，并能根据二次根式的定义确定被开方数中的字母取值范围．
2. 二次根式有无意义的条件
(1)．如果一个式子中含有多个二次根式，那么它们有意义的条件是：各个二次根式中的被开方数都必须是非负数．
(2)．如果所给式子中含有分母，则除了保证被开方数为非负数外，还必须保证分母不为零．
(3).利用二次根式性质时，如果题目中对根号内的字母给出了取值范围，那么应在这个范围内对根式进行化简，如果题目中没有给出明确的取值范围，那么应注意对题目条件的挖掘，把隐含在题目条件中所限定的取值范围显现出来，在允许的取值范围内进行化简．
3.最简二次根式与同类二次根式
最简二次根式的判断方法：
（1）最简二次根式必须同时满足如下条件：
①被开方数的因数是整数，因式是整式（分母中不应含有根号）；
②被开方数中不含开方开得尽的因数或因式，即被开方数的因数或因式的指数都为1．
（2）判断同类二次根式：先把所有的二次根式化成最简二次根式；再根据被开方数是否相同来加以判断．要注意同类二次根式与根号外的因式无关．
3．二次根式的运算
基础知识归纳：
（1）．二次根式的加减法：实质就是合并同类二次根式．
合并同类二次根式：在二次根式的加减运算中，把几个二次根式化为最简二次根式后，若有同类二次根式，可把同类二次根式合并成一个二次根式．
（2）．二次根式的乘除法
二次根式的乘法：（a≥0，b≥0）．
二次根式的除法：（a≥0，b＞0）．
注意问题归纳：正确把握运算法则是解题的关键
4．二次根式混合运算
基础知识归纳：先乘方，再乘除，最后加减，有括号的先算括号里的（或先去括号）．
注意问题归纳：注意运算顺序．
5．二次根式运算中的技巧
（1）二次根式的混合运算是二次根式乘法、除法及加减法运算法则的综合运用．学习二次根式的混合运算应注意以下几点：
①与有理数的混合运算一致，运算顺序先乘方再乘除，最后加减，有括号的先算括号里面的．
②在运算中每个根式可以看做是一个“单项式“，多个不同类的二次根式的和可以看作“多项式“．
（2）二次根式的运算结果要化为最简二次根式．
（3）在二次根式的混合运算中，如能结合题目特点，灵活运用二次根式的性质，选择恰当的解题途径，往往能事半功倍
二：分式
1.分式的意义：分式有意义的条件是分母不为零；分式无意义的条件是分母等于零；分式值为零的条件是分子为零且分母不为零．
注意：
①分式有意义的条件是分母不为0，无意义的条件是分母为0．
②分式值为0要满足两个条件，分子为0，分母不为0．
2.分式的性质
基础知识：
分式的分子与分母都乘以（或除以）同一个不等于零的整式，分式的值不变．用式子表示为
注意：
分式的基本性质是分式变形的理论依据，所有分式变形都不得与此相违背，否则分式的值改变；
将分式化简，即约分，要先找出分子、分母的公因式，如果分子、分母是多项式，要先将它们分别分解因式，然后再约分，约分应彻底；
巧用分式的性质，可以解决某些较复杂的计算题，可应用逆向思维，把要求的算式和已知条件由两头向中间凑的方式来求代数式的值．
3.分式的加减运算
加减法法则：① 同分母的分式相加减：分母不变，分子相加减
② 异分母的分式相加减：先通分，变为同分母的分式，然后再加减 ．
注意：
1．分式加减运算的运算法则：同分母分式相加减，分母不变，分子相加减；异分母分式相加减，先通分，变为同分母的分式，然后再加减．
2.异分母分式通分的依据是分式的基本性质，通分时应确定几个分式的最简公分母．求最简公分母的方法是：①将各个分母分解因式；②找各分母系数的最小公倍数；③找出各分母中不同的因式，相同因式中取次数最高的，满足②③的因式之积即为各分式的最简公分母．
4.分式的乘除运算
1．乘法法则：分式乘分式，用分子的积作为积的分子，分母的积作为积的分母．乘方法则：分式的乘方，把分子、分母分别乘方．
2．除法法则：分式除以分式，把除式的分子、分母颠倒位置后与被除式相乘．
注意：分式乘除法的运算与因式分解密切相关，分式乘除法的本质是化成乘法后，约去分式的分子分母中的公因式，因此往往要对分子或分母进行因式分解（在分解因式时注意不要出现符号错误），然后找出其中的公因式，并把公因式约去．
要出现符号错误），然后找出其中的公因式，并把公因式约去．
五：分式的混合运算
基础知识：在分式的混合运算中，应先算乘方，再将除法化为乘法，进行约分化简，最后进行加减运算．若有括号，先算括号里面的．灵活运用运算律，运算结果必须是最简分式或整式．
注意：注意运算顺序，计算准确．
1.下列计算正确的是（ ）
A． B． C． D．
2.下列运算正确的是（ ）
A． B． C． D．
3.下列是最简二次根式的是（ ）
A． B． C． D．
4.计算的结果为（ ）
A． B． C． D．
．
5.若，则（ ）
A． B． C． D．9
6.明明与妹妹慧慧周六去广州海珠湖的环湖绿道跑步，绿道一圈路程约为2.5千米，明明的速度是妹妹速度的1.2倍，跑完一圈明明比妹妹少用，设妹妹跑步的速度为，则可列方程为（ ）
A． B． C． D．
7.2024年3月17日惠州举办了首届马拉松，本届赛事以“畅跑山海惠州，尽享东坡文化”为主题，以弘扬惠州东坡文化为主旨，是一场体现文旅体深度融合的“嘉年华”赛事．已知总赛程约为，在同一场比赛中A选手的平均速度是B选手的1.2倍，最终A选手冲刺终点的时间比B选手提前20分钟，若设B选手的平均速度是，则可列方程为（ ）
A． B．
C． D．
8.分式方程的解是 ____
9.已知关于x、y的二元一次方程组（a≠0），则＝_____．
10.若分式的值是正整数，则整数的值是______．
11.计算 ．
12.若关于的分式方程有增根，则的值为 ．
13.代数式在实数范围内有意义时，x应满足的条件是 ．
14.先化简，再求值：，其中．
先化简再求值：，其中．
16.先化简，再求值，其中．
17.伴随着“双碳”政策的实施，新能源汽车应运而生，新能源汽车补充电量主要有两种方式，一种是用充电桩充电，一种是换电站换电池．已知某型号油电混合动力汽车每次换电池的时间比加油的时间多1.5分钟，且花6小时完成换电池服务的次数与花4小时完成加油服务的次数相等．求该车每次换电池服务和完成加油服务的时间分别是多少？
18.某公司不定期为员工购买某预制食品厂生产的杂酱面、牛肉面两种食品．现该公司分别花费1080元、1200元一次性购买杂酱面、牛肉面两种食品，已知购买杂酱面的份数比牛肉面的份数多，每份牛肉面比每份杂酱面的价格贵5元，求每份牛肉面的价格．
19.2024年3月14日是第五个“国际数学日”，某校数学组在今年“国际数学日”举行了数学游园活动，购买了一批钢笔和自动铅笔作为奖品．在前期询价时，通过电话询问文具店了解到，钢笔的价格比自动铅笔贵60%，且花300元购买的自动铅笔比花400元购买的钢笔多10支．
(1)求前期电话询问时钢笔和自动铅笔的单价分别为多少？
(2)前往文具店购买时，恰逢商家对价格进行了调整：自动铅笔比之前询问时涨价20%，而钢笔则按之前询问价格的8.5折出售．若学校最终购买了钢笔和自动铅笔共200支，且购买奖品的费用没有超过1250元，则学校最多购买了多少支钢笔作为奖品？
（2024·广东肇庆·二模）计算的结果为（ ）
A． B． C．5 D．6
（2024·广东阳江·二模）若要使式子有意义，则的取值范围是（ ）
A． B．且
C． D．且
3.（2023·广东广州·中考真题）随着城际交通的快速发展，某次动车平均提速60，动车提速后行驶480与提速前行驶360所用的时间相同．设动车提速后的平均速度为x，则下列方程正确的是（ ）
A. B. C. D.
4（2023·广东深圳·中考真题）某运输公司运输一批货物，已知大货车比小货车每辆多运输5吨货物，且大货车运输75吨货物所用车辆数与小货车运输50吨货物所用车辆数相同，设有大货车每辆运输x吨，则所列方程正确的是（ ）
A． B． C． D．
5（2023·广东·中考真题）某学校开展了社会实践活动，活动地点距离学校，甲、乙两同学骑自行车同时从学校出发，甲的速度是乙的倍，结果甲比乙早到，求乙同学骑自行车的速度．
6.（2024·广东广州·二模）方程的解为（ ）
A． B． C． D．
7（2024·广东汕头·二模）已知时，分式无意义；时，分式的值为0，则的值为（ ）
A．2 B． C．1 D．
8.（2024·广东江门·一模）若x、y为实数，且满足，则的值为（ ）
A．1或 B．1 C． D．无法确定
9.（2024·广东·三模）已知，则的值为（ ）
A． B． C． D．
10.（2024·广东·中考真题）计算： ．
11.（2024·广东·中考真题）方程的解为（ ）
A． B． C． D．
12.（2024·广东深圳·中考真题）先化简，再求值： ，其中
13.（2024·广东惠州·一模）下面是小明化简分式的过程，请认真阅读并完成相应任务：
解：原式 第一步 第二步 第三步 第四步 第五步
【任务一】填空：
①以上化简步骤中，第一步变形使用的方法是______；
②第_____步是进行分式的通分，通分的依据是_____；
③第_____步开始出现错误．
【任务二】请直接写出正确的化简结果：_____．
14.（2024·广东广州·三模）已知．
(1)化简A；
(2)若a、b是方程的两根，求A的值．
15.（2024·广东广州·中考真题）解方程：．
16.（2022·广东深圳·中考真题）某学校打算购买甲乙两种不同类型的笔记本．已知甲种类型的笔记本的单价比乙种类型的要便宜1元，且用110元购买的甲种类型的数量与用120元购买的乙种类型的数量一样．
(1)求甲乙两种类型笔记本的单价．
(2)该学校打算购买甲乙两种类型笔记本共100件，且购买的乙的数量不超过甲的3倍，则购买的最低费用是多少
1.实数、在数轴上的位置如图所示，化简的结果是（ ）．
A． B．0 C． D．
2.（2024·广东阳江·一模）已知，计算的值是（ ）
A． B．1 C．3 D．
（2024·广东广州·二模）代数式有意义时，则x应满足的条件是（ ）
A． B． C． D．
（2021·广东·中考真题）设的整数部分为a，小数部分为b，则的值是（ ）
A．6 B． C．12 D．
5.（2024·广东深圳·三模）在创建文明城市的进程中，某市为美化城市环境，计划种植树木50万棵，由于志愿者的加入，实际每天植树比原计划多，结果提前2天完成任务，设原计划每天植树x万棵，由题意得到的方程是（ ）
A． B．
C． D．
6.（2024·广东佛山·二模）在题目“甲、乙两地相距，一辆汽车从甲地匀速开往乙地，…，求汽车实际行驶的时间？”中，若设汽车原计划需行驶，可得方程，则题目中“…”表示的条件是（ ）
A．速度比原计划增加，结果提前到达 B．速度比原计划增加，结果晚到达
C．速度比原计划减少，结果提前到达 D．速度比原计划减少，结果晚到达
7.关于的分式方程的解为负数，则的取值范围____．
8.（2020·广东广州·中考真题）方程的解是 ．
9.某工厂计划加工一批零件240个，实际每天加工零件的个数是原计划的1.5倍，结果比原计划少用2天．设原计划每天加工零件x个，可列方程_________．
10.（2024·广东广州·二模）为了落实“双减”政策，进一步丰富文体活动，学校准备购进一批篮球和足球，已知每个篮球的价格比每个足球的价格多元，用元购进篮球的数量比用元购进足球的数量多个，如果设每个足球的价格为元，可列方程为： ．
11.（2024·广东肇庆·一模）计算 ．
12.（2024·广东中山·一模）计算：的结果为 ．
13.（2024·广东·二模）已知，，则 ．
14.关于的分式方程的解为负数，则的取值范围____．
15.若且，则 ．
16.先化简，再求值：，其中a=2．
17.先化简，再求值：，其中．
18.先化简，再求值：其中
19.先化简，再求值：，其中．
20.解分式方程：．
21.2024年是甲辰龙年，作为中华民族重要的精神象征和文化符号，千百年来，龙的形象贯穿文学、艺术、民俗、服饰、绘画等各个领域，也呈现了吉祥如意、平安幸福的美好寓意．某商店销售A，B两款与龙相关的吉祥物，已知A款吉祥物的单价比B款吉祥物的单价高20元，若顾客花1000元购买A款吉祥物的数量与花500元购买B款吉祥物的数量相同，求A，B两款吉祥物单价．
22.某店在批发中心选购鸡仔饼和杏仁饼．鸡仔饼每盒进价比杏仁饼每盒进价多5元，用300元购进鸡仔饼的盒数是用100元购进杏仁饼的盒数的2 倍．
(1)鸡仔饼、杏仁饼的进价各是多少元/盒？
(2)该店计划购进鸡仔饼、杏仁饼共60盒，其中鸡仔饼每盒售价28 元，杏仁饼每盒售价18元．若鸡仔饼、杏仁饼全部售出时，总获利超过680元，则至少购进鸡仔饼多少盒？
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