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专题7一元一次不等式（组）及其运用
（2021·广东深圳·中考真题）不等式的解集在数轴上表示为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【分析】根据不等式性质求出不等式解集，表示在数轴上即可．
【详解】解：不等式x-1＞2，
解得：x＞3．
表示在数轴上为：
故选：D．
（2020·广东·中考真题）不等式组的解集为（ ）
A．无解 B． C． D．
【答案】D
【分析】分别求出每一个不等式的解集，根据口诀：同大取大、同小取小、大小小大中间找、大大小小无解了确定不等式组的解集．
【详解】解：解不等式2 3x≥ 1，得：x≤1，
解不等式x 1≥ 2（x＋2），得：x≥ 1，
则不等式组的解集为 1≤x≤1，
故选：D．
3.为了治理环境，九年级部分同学去植树，若每人平均植树7棵，还剩9棵；若每人平均植树9棵．则有1名同学植树的棵树小于8棵．若设同学人数为x人，下列各项能准确的求出同学人数与种植的树木的数量的是（ ）
A．7x+9﹣9（x﹣1）＞0 B．7x+9﹣9（x﹣1）＜8
C． D．
【答案】C
【分析】
根据题意可得种植的树木的数量为（7x+9）棵，再根据关键语句“每人平均植树9棵．则有1名同学植树的棵树小于8棵”列出不等式组即可．
【详解】
解：设同学人数为x人，则种植的树木的数量为（7x+9）棵，由题意得：
，
故选：C．
4.满足不等式组的非负整数解的个数为（ ）
A．4 B．5 C．6 D．7
【答案】B
【分析】
分别求出每一个不等式的解集，即可确定不等式组的解集，继而可得知不等式组的非负整数解的个数．
【详解】
解：
解不等式①得：x＞-2.5，
解不等式②得：x≤4，
∴不等式组的解集为：-2.5＜x≤4，
∴不等式组的所有非负整数解是：0，1，2，3，4，
所以非负整数解的个数为5个，
故选：B．
5.解不等式：
【答案】
【分析】先移项合并同类项，然后将未知数系数化为1即可．
【详解】解：，
移项得：，
合并同类项得：，
不等式两边同除以3得：．
6.解不等式组：．
【答案】x≥3
【分析】根据解不等式组的解法步骤解出即可．
【详解】
由①可得x≥3,
由②可得x>2,
∴不等式的解集为：x≥3．
7.“壮丽70载，奋进新时代”．值伟大祖国70华诞之际，某网店特别推出甲、乙两种纪念文化衫，已知甲种纪念文化衫的售价比乙种纪念文化衫多15元，广益中学陈老师从该网店购买了2件甲种纪念文化衫和3件乙种纪念文化衫，共花费255元．
（1）该网店甲、乙两种纪念文化衫每件的售价各是多少元？
（2）根据消费者需求，该网店决定用不超过8780元购进甲、乙两种纪念文化衫共200件，且甲种纪念文化衫的数量大于乙种纪念文化衫数量的，已知甲种纪念文化衫每件的进价为50元，乙种纪念文化衫每件的进价为40元．
①若设购进甲种纪念文化衫m件，则该网店有哪几种进货方案？
②若所购进纪念文化衫均可全部售出，请求出网店所获利润W（元）与甲种纪念文化衫进货量m（件）之间的函数关系式，并说明当m为何值时所获利润最大？最大利润是多少？
【答案】（1）甲种纪念文化衫每件的售价是60元，乙种纪念文化衫每件的售价是45元；（2）①进货方案有三种，分别为：方案一：购进甲种纪念文化衫76件，则乙种纪念文化衫为124件；方案二：购进甲种纪念文化衫77件，则乙种纪念文化衫为123件；方案三：购进甲种纪念文化衫78件，则乙种纪念文化衫为122件；②W＝5m+1000，当m＝78时，所获利润最大，最大利润为1390元．
【分析】
（1）设甲种纪念文化衫每件的售价是x元，乙种纪念文化衫每件的售价是y元，由题意，列二元一次方程组，求解即可；（2）①若购进甲种纪念文化衫m件，则乙种纪念文化衫为（200 m）件，由题意得一元一次不等式组，求解，并根据m为整数，可求得m的值，即可得进货方案；②用含m的式子表示出W，根据一次函数的性质可得答案．
【详解】
解：（1）设甲种纪念文化衫每件的售价是x元，乙种纪念文化衫每件的售价是y元，由题意得：
解得：
答：甲种纪念文化衫每件的售价是60元，乙种纪念文化衫每件的售价是45元．
（2）①若购进甲种纪念文化衫m件，则乙种纪念文化衫为（200﹣m）件，
由题意得：
解得：75＜m≤78
∵m为整数
∴m的值为：76，77，78．
进货方案有三种，分别为：
方案一：购进甲种纪念文化衫76件，则乙种纪念文化衫为124件；
方案二：购进甲种纪念文化衫77件，则乙种纪念文化衫为123件；
方案三：购进甲种纪念文化衫78件，则乙种纪念文化衫为122件．
②由题意得：
W＝（60﹣50）m+（45﹣40）（200﹣m）＝5m+1000
∵5＞0
∴W随m的增大而增大，且75＜m≤78
∴当m＝78时，W最大，W的最大值为：5×78+1000＝1390元．
答：②当m＝78时，所获利润最大，最大利润为1390元．
一、有关概念
1．不等式
用不等号表示不等关系的式子，叫做不等式．
2．不等式的解集
对于一个含有未知数的不等式，任何一个适合这个不等式的未知数的值，都叫做这个不等式的解．
对于一个含有未知数的不等式，它的所有解的集合叫做这个不等式的解的集合，简称这个不等式的解集．
求不等式的解集的过程，叫做解不等式．
3．用数轴表示不等式的方法
4．一元一次不等式的概念
一般地，不等式中只含有一个未知数，未知数的次数是1，且不等式的两边都是整式，这样的不等式叫做一元一次不等式．
5．一元一次不等式组的概念
几个一元一次不等式合在一起，就组成了一个一元一次不等式组．
几个一元一次不等式的解集的公共部分，叫做它们所组成的一元一次不等式组的解集．
求不等式组的解集的过程，叫做解不等式组．
基本方法归纳：判断不等式（组）时只需看未知数的个数及未知数的次数为1即可；不等式的解只需带入不等式是否成立即可；不等式（组）的解集是所有解得集合．
注意问题归纳： 不等式组的解集是所有解得公共部分．
二：不等式基本性质
1．不等式两边都加上（或减去）同一个数或同一个整式，不等号的方向不变．
2．不等式两边都乘以（或除以）同一个正数，不等号的方向不变．
3．不等式两边都乘以（或除以）同一个负数，不等号的方向改变．
基本方法归纳：观察不等式的变化再选择应用那个性质．
注意问题归纳：不等式两边都乘以（或除以）同一个负数，不等号的方向改变；乘以（或除以）同一个正数，不等号的方向不变．
三：一元一次不等式（组）的解法
1．解一元一次不等式的步骤
①去分母；②去 括号 ；③移项；④合并同类项；⑤系数化为1．
2．一元一次不等式组的解法
（1）分别求出不等式组中各个不等式的解集
（2）利用数轴求出这些不等式的解集的公共部分，即这个不等式组的解集．
基本方法归纳：根据解一元一次不等式（组）的步骤计算即可．
注意问题归纳：不等式组的解集在数轴上表示的方法：把每个不等式的解集在数轴上表示出来（＞，≥向右画；＜，≤向左画），数轴上的点把数轴分成若干段，如果数轴的某一段上面表示解集的线的条数与不等式的个数一样，那么这段就是不等式组的解集．有几个就要几个．在表示解集时“≥”，“≤”要用实心圆点表示；“＜”，“＞”要用空心圆点表示．
四：一元一次不等式（组）的应用
1．列一元一次不等式（组）解应用题的一般步骤：
（1）审题，分析题中已知什么，未知什么，明确各量之间的关系，寻找不等关系．
（2）设未知数，一般求什么就设什么为x，但有时也可以间接设未知数．
（3）列一元一次不等式（组） （4）解一元一次不等式（组）．
（5）检验，看解集是否符合题意．
（6）写出答案．
2．解应用题的书写格式：
设→根据题意→解一元一次不等式（组）→答．
基本方法归纳：解题时先理解题意找到不等关系列出一元一次不等式（组）求解最后检验即可．
注意问题归纳：找对不等关系最后一定要检验．
1.不等式组的解集在数轴上表示为（ ）
A. B.
C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】先解出不等式组的解集，然后将解集表示在数轴上即可．
【详解】解：解不等式，得，
解不等式，得，
∴不等式组的解集为，
在数轴上表示为：
故选：B．
2.（2023·广东·中考真题）一元一次不等式组的解集为( )
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】第一个不等式解与第二个不等式的解，取公共部分即可.
【详解】解：
解不等式得：
结合得：不等式组的解集是，
故选：D．
3.下列按条件列出的不等式中，不正确的是（ ）
A．x超过0，则 B．x是不大于0的数，则
C．x是不小于的数，则 D．是负数，则
【答案】D
【分析】
根据不等式的定义进行解答.
【详解】
A选项，x超过0，可表示成，故本选项正确，不符合题意；
B选项，x是不大于0的数，可表示成，故本选项正确，不符合题意；
C选项，x是不小于的数，可表示成，故本选项正确，不符合题意；
D选项，是负数，可表示成，故本选项错误，符合题意．
故选D．
4.若关于的不等式只有2个正整数解，则的取值范围为( )
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】
先解不等式得出，根据不等式只有2个正整数解知其正整数解为1和2，据此得出，解之可得答案．
【详解】
解：，
，
则，
不等式只有2个正整数解，
不等式的正整数解为1、2，
则，
解得：，
故选：．
5.已知关于的分式方程的解为非正数，则的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】
表示出分式方程的解，由解为非正数得出关于k的不等式，解出k的范围即可．
【详解】
解：方程两边同时乘以得：，
∴，
∴，
∴，
∵解为非正数，
∴，
∴，
故选：A．
6.已知不等式组的最小整数解为，最大整数解为，则的值为________．
【答案】
【详解】
解不等式，得；解不等式，得，∴不等式组的解集为，∴，，∴．
7.某商品进价4元，标价5元出售，商家准备打折销售，但其利润率不能少于，则最多可打 折．
【答案】8.8
【分析】设打x折，由题意可得，然后求解即可．
【详解】解：设打x折，由题意得，
解得：；
故答案为8.8．
8.若关于的不等式组有个整数解，则的取值范围为 ．
【答案】/
【分析】本题考查了解一元一次不等式组和一元一次不等式组的整数解，先求出不等式组的解集，再根据不等式组有个整数解即可求出的取值范围，正确求出一元一次不等式组的解集是解题的关键．
【详解】解：，
解得，，
解得，，
∴不等式组的解集为，
∵不等式组有个整数解，
∴，
故答案为：．
9.解不等式组：．
【答案】
【分析】分别解出两个不等式，根据求不等式组解集的口诀得到解集．
【详解】解：
解①得：，
解②得：，
∴不等式组的解集是．
10.某商场在世博会上购置A，B两种玩具，其中B玩具的单价比A玩具的单价贵25元，且购置2个B玩具与1个A玩具共花费200元．
(1)求A，B玩具的单价；
(2)若该商场要求购置B玩具的数量是A玩具数量的2倍，且购置玩具的总额不高于20000元，则该商场最多可以购置多少个A玩具？
【答案】(1)A、B玩具的单价分别为50元、75元；
(2)最多购置100个A玩具．
【分析】（1）设A玩具的单价为x元每个，则B玩具的单价为元每个；根据“购置2个B玩具与1个A玩具共花费200元”列出方程即可求解；
（2）设A玩具购置y个，则B玩具购置个，根据“购置玩具的总额不高于20000元”列出不等式即可得出答案．
【详解】（1）解：设A玩具的单价为x元，则B玩具的单价为元；
由题意得：；
解得：，
则B玩具单价为（元）；
答：A、B玩具的单价分别为50元、75元；
（2）设A玩具购置y个，则B玩具购置个，
由题意可得：，
解得：，
∴最多购置100个A玩具．
11.民生无小事，枝叶总关情，广东在“我为群众办实事”实践活动中推出“粤菜师傅”、“广东技工”、“南粤家政”三项培训工程，今年计划新增加培训共100万人次
（1）若“广东技工”今年计划新增加培训31万人次，“粤菜师傅”今年计划新增加培训人次是“南粤家政”的2倍，求“南粤家政”今年计划新增加的培训人次；
（2）“粤菜师傅”工程开展以来，已累计带动33.6万人次创业就业，据报道，经过“粤菜师傅”项目培训的人员工资稳定提升，已知李某去年的年工资收入为9.6万元，预计李某今年的年工资收入不低于12.48万元，则李某的年工资收入增长率至少要达到多少？
【答案】（1）“南粤家政”今年计划新增加的培训人次为23万次；（2）李某的年工资收入增长率至少要达到30%．
【分析】（1）设“南粤家政”今年计划新增加培训人次为x万次，则“粤菜师傅”今年计划新增加培训人次为2x万次，根据今年计划新增加培训共100万人次列出方程求解即可；
（2）设李某的年工资收入增长率为y，根据“今年的年工资收入不低于12.48万元”列出一元一次不等式求解即可．
【详解】解：设“南粤家政”今年计划新增加培训人次为x万次，则“粤菜师傅”今年计划新增加培训人次为2x万次，根据题意得，
解得，
答：“南粤家政”今年计划新增加的培训人次为23万次；
（2）设李某的年工资收入增长率为y，根据题意得，
解得，
答：李某的年工资收入增长率至少要达到30%．
12.（2024·广东惠州·三模）解不等式组 ，并在数轴上表示它们的解集．
【答案】，数轴见解析
【分析】本题考查了解一元一次不等式组，在数轴上表示解集．熟练掌握解一元一次不等式组，在数轴上表示解集是解题的关键．
先分别计算两个不等式的解集，进而可得不等式组的解集，最后在数轴上表示解集即可．
【详解】解：，
解不等式①得，
解不等式②得，
∴不等式组的解集为．
在数轴上表示它们的解集如下：
13.（2024·广东佛山·三模）“红缬退风花著子，绿针浮水稻抽秧”这是宋朝诗人姚孝锡所作．诗中的“水稻”是我国种植的重要经济作物．某村在政府的扶持下建起了水稻种植基地，准备种植甲、乙两种水稻，若种植30亩甲种水稻和50亩乙种水稻，总收入为42万元；若种植50亩甲种水稻和30亩乙种水稻，总收入为38万元．
(1)求种植这两种水稻，平均每亩收入各是多少万元？
(2)村里规划种植这两种水稻共250亩，且甲种水稻的种植面积不少于乙种水稻种植面积的1.5倍，问甲种水稻的种植面积最少是多少？
【答案】(1)种植甲种水稻平均每亩收入万元，种植甲种水稻平均每亩收入万元
(2)甲种水稻的种植面积最少亩
【分析】本题考查了二元一次方程组的应用，一元一次不等式的应用；
（1）等量关系式：种植30亩甲种水稻的收入种植50亩乙种水稻的收入万元，种植50亩甲种水稻的收入种植30亩乙种水稻的收入万元，据此列出方程，即可求解；
（2）不等关系式：种植甲种水稻的亩数种植乙种水稻的亩数，据此列出不等式，即可求解；
找出等量关系式、不等关系式是解题的关键．
【详解】（1）解：设种植甲种水稻平均每亩收入万元，种植乙种水稻平均每亩收入万元，由题意得
，
解得：，
答：种植甲种水稻平均每亩收入万元，种植甲种水稻平均每亩收入万元；
（2）解：设种植甲种水稻亩，则种植乙种水稻（）亩，由题意得
，
解得：，
答：甲种水稻的种植面积最少亩．
1.（2024·广东广州·中考真题）若，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】本题考查了不等式的基本性质，熟练掌握不等式的基本性质是解题关键．根据不等式的基本性质逐项判断即可得．
【详解】解：A．∵，
∴，则此项错误，不符题意；
B．∵，
∴，则此项错误，不符题意；
C．∵，
∴，则此项错误，不符合题意；
D．∵，
∴，则此项正确，符合题意；
故选：D．
2.（2023·广东河源·二模）不等式组无解，则a的取值范围为 ．
【答案】
【分析】根据不等式组无解，可得出，即可得出答案．
【详解】∵不等式组无解，
∴a的取值范围是；
故答案为：．
（2024·广东·中考真题）关于x的不等式组中，两个不等式的解集如图所示，则这个不等式组的解集是 ．
【答案】/
【分析】本题主要考查了求不等式组的解集，在数轴上表示不等式组的解集，根据“同大取大，同小取小，大小小大中间找，大大小小找不到（无解）”求出不等式组的解集即可．
【详解】解：由数轴可知，两个不等式的解集分别为，，
∴不等式组的解集为，
故答案为：．
（2024·广东揭阳·三模）已知关于、的方程组的解满足．则的取值范围是 ．
【答案】/
【分析】本题考查了二元一次方程组，一元一次不等式．将方程组内两个方程相加是解题的关键．
两个方程相加可得出，根据列出关于的不等式即可．
【详解】解：，
①+②得：
解得：
，
．
得：，
解得：．
故答案为：．
5.某水果店新购进一批山竹，每千克山竹的成本为9元．山竹在运输和存储过程中会有10%的自然损坏，去掉损坏的山竹后水果店为了销售完这批山竹后，获取的利润不低于35%，完好山竹每千克的售价至少为________元．
【答案】13.5
【分析】
由“总利润=总售价-总成本”和“利润=成本×利润率”，根据题意可以列出相应的不等式，从而可以求得售价的最小值．
【详解】
解：设购进这批山竹a千克，完好山竹每千克的售价x元，依题意得：
，
解得，x≥13.5，
即完好山竹每千克的售价至少13.5元，
故答案为：13.5．
6.（2024·广东广州·三模）解不等式组
【答案】
【分析】先求出不等式的解集，再根据不等式的解集求出不等式组的解集即可，
本题考查了，解一元一次不等式组，解题的关键是：熟练掌握元一次不等式组的解法．
【详解】解：
由①得，，由②得，，
∴原不等式的解集是：．
7.（2024·广东深圳·中考真题）
背景 【缤纷618，优惠送大家】 今年618各大电商平台促销火热，线下购物中心也亮出大招，年中大促进入“白热化”．深圳各大购物中心早在5月就开始推出618活动，进入6月更是持续加码，如图，某商场为迎接即将到来的618优惠节，采购了若干辆购物车．
素材 如图为某商场叠放的购物车，右图为购物车叠放在一起的示意图，若一辆购物车车身长，每增加一辆购物车，车身增加．
问题解决
任务1 若某商场采购了n辆购物车，求车身总长L与购物车辆数n的表达式；
任务2 若该商场用直立电梯从一楼运输该批购物车到二楼，已知该商场的直立电梯长为，且一次可以运输两列购物车，求直立电梯一次性最多可以运输多少辆购物车？
任务3 若该商场扶手电梯一次性可以运输24辆购物车，若要运输100辆购物车，且最多只能使用电梯5次，求：共有多少种运输方案？
【答案】任务1：；任务2：一次性最多可以运输18台购物车；任务3：共有3种方案
【解析】
【分析】本题考查了求函数表达式，一元一次不等式的应用，正确掌握相关性质内容是解题的关键．
任务1：根据一辆购物车车身长，每增加一辆购物车，车身增加，且采购了n辆购物车，L是车身总长，即可作答．
任务2：结合“已知该商场的直立电梯长为，且一次可以运输两列购物车”，得出，再解不等式，即可作答．
任务3：根据“该商场扶手电梯一次性可以运输24辆购物车，若要运输100辆购物车，且最多只能使用电梯5次”，列式，再解不等式，即可作答．
【详解】解：任务1：∵一辆购物车车身长，每增加一辆购物车，车身增加
∴
任务2：依题意，∵已知该商场的直立电梯长为，且一次可以运输两列购物车，
令，
解得：
∴一次性最多可以运输18辆购物车；
任务3：设x次扶手电梯，则次直梯，
由题意∵该商场扶手电梯一次性可以运输24辆购物车，若要运输100辆购物车，且最多只能使用电梯5次
可列方程为：，
解得：，
∵x为整数，
∴，
方案一：直梯3次，扶梯2次；
方案二：直梯2次，扶梯3次：
方案三：直梯1次，扶梯4次
答：共有三种方案.
8（2024·广东惠州·二模）某中学计划购买消毒液和洗手液两种物品．若购买10瓶消毒液和3瓶洗手液需用180元；若购买4瓶消毒液和6瓶洗手液需用 120 元．
(1)消毒液和洗手液的单价各是多少元
(2)学校决定购买消毒液和洗手液共110瓶，总费用不超过1350元，最多可以购买多少瓶消毒液
【答案】(1)消毒液和洗手液的单价分别为15元和10元．
(2)最多可以购买50瓶消毒液．
【分析】本题考查了二元一次方程组的应用，一元一次不等式的应用；
（1）设消毒液和洗手液的单价分别为x元和y元，根据题意列出二元一次方程组，解方程组即可求解；
（2）设可以购买m瓶消毒液，则可以购买瓶洗手液，根据题意列出一元一次不等式，解不等式，取最大整数解，即可求解．
【详解】（1）解：设消毒液和洗手液的单价分别为x元和y元，
依题意得：
解得：
答：消毒液和洗手液的单价分别为15元和10元．
（2）设可以购买m瓶消毒液，则可以购买瓶洗手液，
依题意得： ，
解得： ．最大整数解为
答：最多可以购买50瓶消毒液．
1.（2024·广东·二模）若一元一次不等式组的解集为，则a的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】本题考查了不等式组的解集，解题关键是根据不等式组解集的确定方法，列出不等式，解不等式即可．
【详解】解：一元一次不等式组的解集为，
所以，，
解得，，
故选：D
2（2024·广东广州·一模）不等式组的解集在数轴上表示为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【分析】本题考查了一元一次不等式组的解法及数轴上表示不等式，熟悉掌握运算的法则是解题的关键．
根据不等式组的运算法则进行运算求解即可．
【详解】解：
由①可得：
，
由②可得：
，
∴不等式的解集为：，
故选：A．
3.（2024·广东云浮·一模）若不等式的解集为，则m的取值范围为（ ）．
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】本题考查了不等式的性质：（1）不等式的两边同时加上或减去同一个数或整式不等号的方向不变；（2）不等式的两边同时乘以或除以同一个正数不等号的方向不变；（3）不等式的两边同时乘以或除以同一个负数不等号的方向改变．根据不等式的解集为得出，然后求出m的取值范围即可．
【详解】解：∵不等式的解集为，
∴，
∴m的取值范围为．
故选：A．
4.若关于x的不等式组有且只有3个整数解，则a的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】
先求出不等式组的解集（含有字母a），利用不等式组有三个整数解，逆推出a的取值范围即可．
【详解】
解：解不等式得：，
解不等式得：，
∴不等式组的解集为：，
∵不等式组有三个整数解，
∴三个整数解为：2，3，4，
∴，
解得：，
故选：C．
5.不等式组的最小整数解是__________．
【答案】0
【分析】
先求出不等式组的解集，然后写出所有整数解即可得出答案．
【详解】
解：解不等式组，
解①式得x<3，
解②式得x>，
∴得不等式的解集为，
∵ x为整数，故x可取0，1，2，
∴最小整数解为0，
故答案为：0．
6.不等式组的解集是_______________．
【答案】
【分析】
先分别求出两个不等式的解，再找出它们的公共部分即为不等式组的解集．
【详解】
解不等式①得：
解不等式②得：
则不等式组的解集为
故答案为：．
7.（2024·广东东莞·二模）解不等式组，并写出它的所有整数解．
【答案】不等式组的解集是， 不等式组的整数解是
【分析】本题考查的是解一元一次不等式组，分别求出每一个不等式的解集，根据口诀：同大取大、同小取小、大小小大中间找、大大小小无解了确定不等式组的解集，再写出它的所有整数解．
【详解】
由①得：得
由②得：得，
所以不等式组的解集是：，
则不等式组的整数解是：．
8.（2024·广东广州·一模）某文具店准备购进甲、乙两种圆规，若购进甲种圆规10个，乙种圆规30个，需要340元；若购进甲种圆规30个，乙种圆规50个，需要700元．
(1)求购进甲、乙两种圆规的单价各是多少元；
(2)文具店购进甲、乙两种圆规共100个，每个甲种圆规的售价为15元，每个乙种圆规的售价为12元，销售这两种圆规的总利润不低于480元，那么这个文具店至少购进甲种圆规多少个？
【答案】(1)购进甲圆规每个需要10元，乙圆规每个需要8元
(2)这个文具店至少购进甲种圆规80个
【分析】本题考查了二元一次方程组的应用，不等式的应用，解题的关键是：
（1）设购进甲圆规每个需要x元，乙圆规每个需要y元，根据“若购进甲种圆规10个，乙种圆规30个，需要340元；若购进甲种圆规30个，乙种圆规50个，需要700元”，可列关于x、y的二元一次方程组，求解即可；
（2）设购进甲圆规m个，则购进乙圆规个，根据“销售这两种圆规的总利润不低于480元”列出关于m的不等式，求解即可．
【详解】（1）解：设购进甲圆规每个需要x元，乙圆规每个需要y元，
根据题意，得，
解得，
答：购进甲圆规每个需要10元，乙圆规每个需要8元；
（2）解：设购进甲圆规m个，则购进乙圆规个，
根据题意，得，
解得，
答：这个文具店至少购进甲种圆规80个．
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专题7一元一次不等式（组）及其运用
不等式的解集在数轴上表示为（ ）
A． B．
C． D．
不等式组的解集为（ ）
A．无解 B． C． D．
3.为了治理环境，九年级部分同学去植树，若每人平均植树7棵，还剩9棵；若每人平均植树9棵．则有1名同学植树的棵树小于8棵．若设同学人数为x人，下列各项能准确的求出同学人数与种植的树木的数量的是（ ）
A．7x+9﹣9（x﹣1）＞0 B．7x+9﹣9（x﹣1）＜8
C． D．
4.满足不等式组的非负整数解的个数为（ ）
A．4 B．5 C．6 D．7
5.解不等式：
6.解不等式组：．
7.“壮丽70载，奋进新时代”．值伟大祖国70华诞之际，某网店特别推出甲、乙两种纪念文化衫，已知甲种纪念文化衫的售价比乙种纪念文化衫多15元，广益中学陈老师从该网店购买了2件甲种纪念文化衫和3件乙种纪念文化衫，共花费255元．
（1）该网店甲、乙两种纪念文化衫每件的售价各是多少元？
（2）根据消费者需求，该网店决定用不超过8780元购进甲、乙两种纪念文化衫共200件，且甲种纪念文化衫的数量大于乙种纪念文化衫数量的，已知甲种纪念文化衫每件的进价为50元，乙种纪念文化衫每件的进价为40元．
①若设购进甲种纪念文化衫m件，则该网店有哪几种进货方案？
②若所购进纪念文化衫均可全部售出，请求出网店所获利润W（元）与甲种纪念文化衫进货量m（件）之间的函数关系式，并说明当m为何值时所获利润最大？最大利润是多少？
一、有关概念
1．不等式
用不等号表示不等关系的式子，叫做不等式．
2．不等式的解集
对于一个含有未知数的不等式，任何一个适合这个不等式的未知数的值，都叫做这个不等式的解．
对于一个含有未知数的不等式，它的所有解的集合叫做这个不等式的解的集合，简称这个不等式的解集．
求不等式的解集的过程，叫做解不等式．
3．用数轴表示不等式的方法
4．一元一次不等式的概念
一般地，不等式中只含有一个未知数，未知数的次数是1，且不等式的两边都是整式，这样的不等式叫做一元一次不等式．
5．一元一次不等式组的概念
几个一元一次不等式合在一起，就组成了一个一元一次不等式组．
几个一元一次不等式的解集的公共部分，叫做它们所组成的一元一次不等式组的解集．
求不等式组的解集的过程，叫做解不等式组．
基本方法归纳：判断不等式（组）时只需看未知数的个数及未知数的次数为1即可；不等式的解只需带入不等式是否成立即可；不等式（组）的解集是所有解得集合．
注意问题归纳： 不等式组的解集是所有解得公共部分．
二：不等式基本性质
1．不等式两边都加上（或减去）同一个数或同一个整式，不等号的方向不变．
2．不等式两边都乘以（或除以）同一个正数，不等号的方向不变．
3．不等式两边都乘以（或除以）同一个负数，不等号的方向改变．
基本方法归纳：观察不等式的变化再选择应用那个性质．
注意问题归纳：不等式两边都乘以（或除以）同一个负数，不等号的方向改变；乘以（或除以）同一个正数，不等号的方向不变．
三：一元一次不等式（组）的解法
1．解一元一次不等式的步骤
①去分母；②去 括号 ；③移项；④合并同类项；⑤系数化为1．
2．一元一次不等式组的解法
（1）分别求出不等式组中各个不等式的解集
（2）利用数轴求出这些不等式的解集的公共部分，即这个不等式组的解集．
基本方法归纳：根据解一元一次不等式（组）的步骤计算即可．
注意问题归纳：不等式组的解集在数轴上表示的方法：把每个不等式的解集在数轴上表示出来（＞，≥向右画；＜，≤向左画），数轴上的点把数轴分成若干段，如果数轴的某一段上面表示解集的线的条数与不等式的个数一样，那么这段就是不等式组的解集．有几个就要几个．在表示解集时“≥”，“≤”要用实心圆点表示；“＜”，“＞”要用空心圆点表示．
四：一元一次不等式（组）的应用
1．列一元一次不等式（组）解应用题的一般步骤：
（1）审题，分析题中已知什么，未知什么，明确各量之间的关系，寻找不等关系．
（2）设未知数，一般求什么就设什么为x，但有时也可以间接设未知数．
（3）列一元一次不等式（组） （4）解一元一次不等式（组）．
（5）检验，看解集是否符合题意．
（6）写出答案．
2．解应用题的书写格式：
设→根据题意→解一元一次不等式（组）→答．
基本方法归纳：解题时先理解题意找到不等关系列出一元一次不等式（组）求解最后检验即可．
注意问题归纳：找对不等关系最后一定要检验．
1.不等式组的解集在数轴上表示为（ ）
A. B.
C. D.
2.（2023·广东·中考真题）一元一次不等式组的解集为( )
A． B． C． D．
3.下列按条件列出的不等式中，不正确的是（ ）
A．x超过0，则 B．x是不大于0的数，则
C．x是不小于的数，则 D．是负数，则
4.若关于的不等式只有2个正整数解，则的取值范围为( )
A． B． C． D．
5.已知关于的分式方程的解为非正数，则的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
6.已知不等式组的最小整数解为，最大整数解为，则的值为________．
7.某商品进价4元，标价5元出售，商家准备打折销售，但其利润率不能少于，则最多可打 折．
8.若关于的不等式组有个整数解，则的取值范围为 ．
9.解不等式组：．
10.某商场在世博会上购置A，B两种玩具，其中B玩具的单价比A玩具的单价贵25元，且购置2个B玩具与1个A玩具共花费200元．
(1)求A，B玩具的单价；
(2)若该商场要求购置B玩具的数量是A玩具数量的2倍，且购置玩具的总额不高于20000元，则该商场最多可以购置多少个A玩具？
11.民生无小事，枝叶总关情，广东在“我为群众办实事”实践活动中推出“粤菜师傅”、“广东技工”、“南粤家政”三项培训工程，今年计划新增加培训共100万人次
（1）若“广东技工”今年计划新增加培训31万人次，“粤菜师傅”今年计划新增加培训人次是“南粤家政”的2倍，求“南粤家政”今年计划新增加的培训人次；
（2）“粤菜师傅”工程开展以来，已累计带动33.6万人次创业就业，据报道，经过“粤菜师傅”项目培训的人员工资稳定提升，已知李某去年的年工资收入为9.6万元，预计李某今年的年工资收入不低于12.48万元，则李某的年工资收入增长率至少要达到多少？
12.（2024·广东惠州·三模）解不等式组 ，并在数轴上表示它们的解集．
13.（2024·广东佛山·三模）“红缬退风花著子，绿针浮水稻抽秧”这是宋朝诗人姚孝锡所作．诗中的“水稻”是我国种植的重要经济作物．某村在政府的扶持下建起了水稻种植基地，准备种植甲、乙两种水稻，若种植30亩甲种水稻和50亩乙种水稻，总收入为42万元；若种植50亩甲种水稻和30亩乙种水稻，总收入为38万元．
(1)求种植这两种水稻，平均每亩收入各是多少万元？
(2)村里规划种植这两种水稻共250亩，且甲种水稻的种植面积不少于乙种水稻种植面积的1.5倍，问甲种水稻的种植面积最少是多少？
1.（2024·广东广州·中考真题）若，则（ ）
A． B． C． D．
2.（2023·广东河源·二模）不等式组无解，则a的取值范围为 ．
（2024·广东·中考真题）关于x的不等式组中，两个不等式的解集如图所示，则这个不等式组的解集是 ．
（2024·广东揭阳·三模）已知关于、的方程组的解满足．则的取值范围是 ．
5.某水果店新购进一批山竹，每千克山竹的成本为9元．山竹在运输和存储过程中会有10%的自然损坏，去掉损坏的山竹后水果店为了销售完这批山竹后，获取的利润不低于35%，完好山竹每千克的售价至少为________元．
6.（2024·广东广州·三模）解不等式组
7.（2024·广东深圳·中考真题）
背景 【缤纷618，优惠送大家】 今年618各大电商平台促销火热，线下购物中心也亮出大招，年中大促进入“白热化”．深圳各大购物中心早在5月就开始推出618活动，进入6月更是持续加码，如图，某商场为迎接即将到来的618优惠节，采购了若干辆购物车．
素材 如图为某商场叠放的购物车，右图为购物车叠放在一起的示意图，若一辆购物车车身长，每增加一辆购物车，车身增加．
问题解决
任务1 若某商场采购了n辆购物车，求车身总长L与购物车辆数n的表达式；
任务2 若该商场用直立电梯从一楼运输该批购物车到二楼，已知该商场的直立电梯长为，且一次可以运输两列购物车，求直立电梯一次性最多可以运输多少辆购物车？
任务3 若该商场扶手电梯一次性可以运输24辆购物车，若要运输100辆购物车，且最多只能使用电梯5次，求：共有多少种运输方案？
8（2024·广东惠州·二模）某中学计划购买消毒液和洗手液两种物品．若购买10瓶消毒液和3瓶洗手液需用180元；若购买4瓶消毒液和6瓶洗手液需用 120 元．
(1)消毒液和洗手液的单价各是多少元
(2)学校决定购买消毒液和洗手液共110瓶，总费用不超过1350元，最多可以购买多少瓶消毒液
1.（2024·广东·二模）若一元一次不等式组的解集为，则a的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
2（2024·广东广州·一模）不等式组的解集在数轴上表示为（ ）
A． B．
C． D．
3.（2024·广东云浮·一模）若不等式的解集为，则m的取值范围为（ ）．
A． B． C． D．
4.若关于x的不等式组有且只有3个整数解，则a的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
5.不等式组的最小整数解是__________．
6.不等式组的解集是_______________．
7.（2024·广东东莞·二模）解不等式组，并写出它的所有整数解．
8.（2024·广东广州·一模）某文具店准备购进甲、乙两种圆规，若购进甲种圆规10个，乙种圆规30个，需要340元；若购进甲种圆规30个，乙种圆规50个，需要700元．
(1)求购进甲、乙两种圆规的单价各是多少元；
(2)文具店购进甲、乙两种圆规共100个，每个甲种圆规的售价为15元，每个乙种圆规的售价为12元，销售这两种圆规的总利润不低于480元，那么这个文具店至少购进甲种圆规多少个？
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