2024-2025学年河北省沧州市献县高二（上）期末数学试卷（含答案）

2024-2025学年河北省沧州市献县高二（上）期末数学试卷
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.直线的倾斜角为( )
A. B. C. D.
2.已知向量，，若，则的值是( )
A. B. C. D.
3.若直线与直线平行，则实数的值为( )
A. B. C. D.
4.记为等差数列的前项和，若，，则数列的公差为( )
A. B. C. D.
5.已知定点，，动点满足，则动点的轨迹是( )
A. 椭圆的一部分 B. 双曲线的一支 C. 抛物线的一部分 D. 直线
6.在数列中，，则( )
A. B. C. D.
7.已知为椭圆的上焦点，是椭圆上一点，为圆：上一点，则的最大值为( )
A. B. C. D.
8.已知双曲线的右焦点为，点，是双曲线上关于原点对称的两点，点在第一象限，且以为直径的圆经过点，直线交双曲线于另一点，且，则双曲线的离心率为( )
A. B. C. D.
二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.构成晶体的最基本的几何单元称为晶胞，其形状、大小与空间格子的平行六面体单位相同，保留了整个晶格的所有特征晶胞是能完整反映晶体内部原子或离子在三维空间分布的化学结构特征的最小单元晶胞具体形状大小由它的三组棱长，，及棱间交角，，合称为“晶胞参数”来表征如图，某晶胞的形状为平行六面体，，，且设，则下列说法正确的是( )
A. 与的夹角为 B.
C. 的长为 D. 平面
10.已知数列，满足，，则下列说法正确的是( )
A. 为等差数列 B. 为等比数列
C. 的前项和为 D. 的最小值为
11.已知抛物线的焦点为，，是抛物线上两动点，为坐标原点，则下列说法正确的有( )
A. 抛物线的准线方程为
B. 若，则线段的中点到轴的距离为
C. 若直线经过点，过，分别作抛物线的切线交于点，则
D. 若直线与轴正半轴交于点，在轴负半轴上存在点，满足，则
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.若，，成等比数列，则 ______．
13.已知空间四点，则向量在向量上的投影向量的坐标为______．
14.若关于的方程有两个不相等的实根，则实数的取值范围为______．
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.本小题分
已知圆：，点为圆上一动点，点，线段的中点为，点的轨迹为曲线．
求曲线的方程；
求曲线与的公共弦长．
16.本小题分
如图，在三棱锥中，平面平面，且，，．
求点到平面的距离；
求平面与平面夹角的余弦值．
17.本小题分
已知双曲线：的左、右焦点分别为，，渐近线方程为，点到渐近线的距离为．
求双曲线的方程；
已知直线经过点，且与双曲线相交于，两点，若的面积为，求直线的方程．
18.本小题分
已知数列的前项和为，对任意正整数，满足．
令，求；
求数列的前项和．
19.本小题分
已知椭圆：的右焦点为，过点作与轴垂直的直线交椭圆于，两点，，且椭圆经过点．
求椭圆的方程；
若，分别是椭圆的左、右顶点，过点且斜率不为的直线交椭圆于，两点，直线与直线交于点记，，的斜率分别为，，，证明：为定值．
参考答案
1.
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3.
4.
5.
6.
7.
8.
9.
10.
11.
12.或
13.
14.
15.解：设，因为点，线段的中点为，
所以，又为圆：上一动点，
所以，
化简可得曲线的方程为；
将圆：与曲线：的方程相减可得，
所以两圆的公共弦所在直线方程为，
又圆心到公共弦所在直线的距离，且圆的半径，
所以曲线与的公共弦长为．
16.解：证明：取的中点，连接，
因为，所以，
由于平面平面，平面平面，平面，
所以平面，
因为，
所以，
故以为坐标原点，以平行于的直线为轴，以，所在直线分别为轴，轴建立如图所示的空间直角坐标系，
因为，，所以，
故A，，，，
所以．，，
设平面的法向量为，
则，即，
令，得，
所以点到平面的距离为．
由知，，
设平面的法向量为，
则，
令，得，
由可知，平面的一个法向量为，
设平面与平面夹角为，
则，
故平面与平面夹角的余弦值为．
17.解：因为双曲线的渐近线方程为，点到渐近线的距离为，
所以，
解得，，，
则双曲线的方程为；
直线的斜率不为，
设直线的方程为，，，
联立，消去并整理得，
此时，
解得，
由韦达定理得，
所以，
则的面积，
整理得，
解得．
故直线的方程为或．
18.解：已知数列的前项和为，对任意正整数，满足，
当时，，
则，
即，
又，
则，
又，
即，
则，
则，其中，
又满足上式，
即；
由可得：，
则，
则，
由可得：，
则．
19.解：因为为椭圆的通径，
所以，
解得，
则椭圆的方程为，
因为点在椭圆上，
所以，
解得或舍去，
所以，
则椭圆的方程为；
证明：由知，，，
设直线的方程为，，，
联立，消去并整理得，
此时，
由韦达定理得，，
所以，
易知，，
所以，
解得，
直线的方程为，
直线的方程为，
联立，
解得，
则点在定直线上，
将代入直线的方程中，
解得，
即，
此时，
则．
故为定值，定值为．
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