第六章 平面向量及其运用 单元测试（含解析）

第六章 平面向量及其运用
一、选择题
1．下列表达式化简结果与相等的是（　　）
A． B．
C． D．
2． 已知向量，则（　　）
A．2 B．1 C．0 D．
3． 在中，，则的面积为（　　）
A．6 B．8 C．24 D．48
4．已知向量，，且，那么（　　）
A． B． C． D．5
5．在锐角中，，则的取值范围为（　　）
A． B． C． D．
6．在中，，，E是AB的中点，EF与AD交于点P，若，则（　　）
A． B． C． D．1
7．在中，内角A，B，C的对边分别是a，b，c，，，，则线段CD长度的最小值为（　　）
A．2 B． C．3 D．
8．在平行四边形中，，是平行四边形内（包括边界）一点，，若，则的取值范围为（　　）
A． B． C． D．
二、多项选择题
9．已知平面向量，下列说法不正确的有（　　）
A．若，，则
B．
C．
D．若，则
10．下列关于平面向量的说法中正确的是（　　）
A．已知点A，B，C是直线l上三个不同的点，O为直线l外一点，且，则
B．已知，则在上的投影的坐标为
C．已知点G为三条边的中线的交点，则
D．已知向量，且与的夹角为锐角，则的取值范围是
11．在中，下列说法正确的是（　　）
A．若，则是等腰三角形
B．若，，则为等边三角形
C．若点是边上的点，且，则的面积是面积的
D．若分别是边中点，点是线段上的动点，且满足，则的最大值为
12．已知点在所在的平面内，，则下列命题正确的是（　　）
A．若，且，则
B．若，则
C．若，则动点的轨迹经过的内心
D．若，则动点的轨迹经过的外心
三、填空题
13．在直角三角形中，，，若，则　 　．
14．已知是锐角的外心，，若，则实数　 　.
15．在中，，则的最大值为　 　.
16．已知平面向量，的夹角为，与的夹角为，，和在上的投影为x，y，则的取值范围是　 　．
四、解答题
17．已知在中，点在线段上，且，延长到，使.设，.
（1）用、表示向量、；
（2）若向量与共线，求的值.
18．已知向量与的夹角，且，．
（1）求；
（2）求．
19．已知的内角的对边分别为，向量，，且．
（1）求角；
（2）如图，的平分线交于，，求的取值范围．
20．如图，在中，已知边上的两条中线相交于点.
（1）用向量的方法证明：；
（2）求的余弦值；
（3）连接，求的值.
21．在中，内角，，的对边分别为，，，且.
（1）求的最小值；
（2）记的面积为，点是内一点，且，证明：
①；
②.
参考答案
1．B
解：对于A，因为，不满足题意，故A错误；
对于B，因为，满足题意，故B正确；
对于C，因为，不满足题意，故C错误；
对于D，因为结果与的具体关系不确定，故D错误.
2．B
解：因为，，所以，
则.
3．C
解：设，
由余弦定理，
因为，，，
所以，即，解得，即，
满足，则为直角三角形，.
4．C
解：由向量，且，
得，则，
则.
5．C
6．A
解：根据题意画出图形，如图所示：
由已知，
则.
因为A，P，D三点共线，
所以.
因为，
所以.
因为E是边AB的中点，
所以.因为E，P，F三点共线，
所以，
则，解得，
从而，，故.
7．D
8．B
9．A,B
解：A.当时，满足，，但不一定成立，选项A错误.
B.设，则，与关系不确定，选项B错误.
C.，选项C正确.
D.由得，，即，
∴，即，选项D正确.
10．A,B,C
11．A,B,D
12．A,B,D
13．．
14．
15．
解：因为，
可得，
所以，
可得，
由正弦定理得，
又因为，
所以，
所以，则，
因为为三角形的内角，所以，
由，
又因为，
当且仅当时，即当时，等号成立，
所以.
16．
17．（1）解：因为，结合图形可知为的中点，
所以，，
因为，则，
所以，.
（2）解：因为，
因为向量与共线，则存在，使得，
即，所以，，解得.
18．（1）解：因为向量与的夹角，且，，
所以，
.
（2）解：．
19．（1）解：因为向量，，且，所以，
则，显然，
，
，解得，因为，所以；
（2）解：设，，易知，且，
，
但由于平分，故有，这里，
所以，得，故，从而，，
故，，
而
，
故，即，
，
又因为，故，
所以.
从而，，当b，c相等时取等号，
最后，对任意满足的实数，令，，，
则此时构成一个满足条件的，且，
综上，的取值范围是.
20．（1）证明：因为为的中点，为的中点，
所以，
因为三点共线，所以设，
所以，
所以，
因为三点共线，所以，得，
所以，所以，
所以，所以；
（2）在中，，
由余弦定理得，
所以，整理得，
解得或（舍去），
所以，所以，
由（1）可知，
，
所以，
，
，
所以，
（3）因为，
，
所以
.
21．（1）解：因为，所以，所以，由正弦定理可得，又由余弦定理得，可得，因为，当且仅当时，等号成立，所以的最小值为.（2）解：设，，，，，的面积分别为，，，①因为，所以，又因为，所以.②由（1）中可得，所以，在，，中，同理可得：，所以，，，所以，即，所以.
（1）解：因为，所以，
所以，
由正弦定理可得，
又由余弦定理得，可得，
因为，当且仅当时，等号成立，
所以的最小值为.
（2）解：设，，，，，的面积分别为，，，
①因为，所以，
又因为，所以.
②由（1）中可得，所以，
在，，中，同理可得：，
所以，，，
所以，
即，所以.
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