§3 空间点、直线、平面之间的位置关系
3.1 空间图形基本位置关系的认识
学习目标
1.了解空间点、直线、平面之间的位置关系并会用图形语言、符号语言表示位置关系,提升直观想象、数学抽象的核心素养.
2.掌握利用定义判断直线与直线、直线与平面、平面与平面的位置关系,培养数学抽象的核心素养.
知识探究
问题1:空间图形由点、线、面构成.点动成线,线动成面,面动成体.可见点是空间图形最基本的元素,线和面都是点的集合.元素与集合的关系有几种 元素a和集合A的关系如何用符号表示
提示:两种;a是集合A的元素记为a∈A,a不是集合A的元素记为
a A.
知识点1 点与直线、点与平面的位置关系
(1)点与直线的位置关系有两种:点在直线上和点在直线外.
位置关系 图形表示 符号表示
点B在直线a上, 点A在直线a外 B∈a, A a
(2)点与平面的位置关系有两种:点在平面内和点在平面外.
位置关系 图形表示 符号表示
点A在平面α内, 点B在平面α外 A∈α, B α
问题2:在同一平面内,直线与直线的位置关系有哪几种
提示:有相交和不相交两种.
知识点2 直线与直线、直线与平面的位置关系
(1)直线与直线的位置关系有两种:直线与直线相交和直线与直线不相交.
位置关系 图形表示 符号表示
直线a和直线b相交 a∩b=O
直线a和直线b 不相交 或 a∩b=
(2)直线与平面的位置关系有三种:直线在平面内、直线与平面相交和直线与平面平行.
位置关系 图形表示 符号表示
直线a在平面α内(直线a上的每个点都在平面α内) a α
直线a与平面α相交(直线a和平面α只有一个公共点) a∩α=A
直线a与平面α平行(直线a和平面α没有公共点) a∥α (a∩α= )
[思考] 空间中,两条直线不相交,一定平行吗
提示:不一定.
问题3:两条直线可以只有一个公共点,直线和平面也可以只有一个公共点,两个平面是否可以只有一个公共点呢
提示:不可以.
知识点3 平面与平面的位置关系
平面与平面的位置关系有两种:平面与平面不相交和平面与平面相交.
位置关系 图形表示 符号表示
平面α与平面β不相交,则称这两个平面平行 α∥β (α∩β= )
平面α与平面β相交 α∩β=a
探究点一 点与直线、点与平面的位置关系
[例1] 如图,O是长方体ABCDA1B1C1D1的对角线BD1的中点,判断点A与直线AB,BC,CC1,C1O,平面ABCD、平面BCC1B1的位置关系,并用符号表示.
解:点A在直线AB上,在直线BC,CC1外,在直线C1O上,在平面ABCD内,在平面BCC1B1外;
符号表示分别是A∈AB,A BC,A CC1,A∈C1O,A∈平面ABCD,
A 平面BCC1B1.
判断点是否在直线上和是否在平面内时,要注意利用直线是无限延伸的、平面是无限延展的,同时要注意利用题目的隐含条件,例如平行四边形的对角线互相平分、棱台的棱延长后交于一点.
[针对训练] 如图,点O是棱台ABCDA1B1C1D1的两条侧棱 BB1,CC1的延长线的交点,判断点O与直线BB1,BC,AA1,平面BCC1B1、平面ABCD、平面ADD1A1的位置关系,并用符号表示.
解:点O在直线BB1上,在直线BC外,在直线AA1上,在平面BCC1B1内,在平面ABCD外,在平面ADD1A1内;符号表示分别是O∈BB1,O BC,O∈AA1,O∈平面BCC1B1,O 平面ABCD,O∈平面ADD1A1.
探究点二 直线与直线、直线与平面的位置关系
[例2] 在长方体ABCDA1B1C1D1中,判断直线AB与直线BC,CD,C1D1,平面ABCD、平面BCC1B1、平面A1B1C1D1的位置关系,并用符号表示.
解:直线AB与BC相交于点B,与CD不相交,与C1D1不相交,在平面ABCD内,与平面BCC1B1相交于点B,与平面A1B1C1D1平行.
用符号表示分别为AB∩BC=B,AB∩CD= ,AB∩C1D1= ,AB 平面ABCD,
AB∩平面BCC1B1=B,AB∥平面A1B1C1D1.
直线与直线的位置关系分为两种,事实上,两条直线不相交还可以再分为两种情况,将在后面学习;直线和平面的位置关系分为三种,其中直线和平面相交、直线和平面平行这两种情况可以统称为直线在
平面外.
[针对训练] 如图,在四棱台ABCDA1B1C1D1中,判断直线AA1与直线AB,CD,BB1,平面ABCD、平面BCC1B1、平面ADD1A1的位置关系,并用符号表示.
解:如图,设棱台侧棱所在直线交点为E,
直线AA1与直线AB相交于点A,与直线CD不相交,与直线BB1相交于点E,与平面ABCD相交于点A,与平面BCC1B1相交于点E,在平面ADD1A1内.
用符号表示分别为AA1∩AB=A,AA1∩CD= ,
AA1∩BB1=E,AA1∩平面ABCD=A,AA1∩平面BCC1B1=E,AA1 平面ADD1A1.
探究点三 平面与平面的位置关系
[例3] 三个平面α,β,γ,平面α,β互相平行,平面α与平面γ交于直线m,平面β与平面γ交于直线n,画出上述语句对应的图形并用符号语言表示.
解:图形如图所示.
用符号语言表示为α∥β,α∩γ=m,β∩γ=n.
[变式探究] 用符号语言表示下列语句,并画出图形.
三个平面α,β,γ交于一点P,且平面α与平面β交于PA,平面α与平面γ交于PB,平面β与平面γ交于PC.
解:用符号语言表示为α∩β∩γ=P,α∩β=PA,α∩γ=PB,β∩γ=PC.图形表示如图所示.
用大写字母表示平面时,例如平面ABCD,“平面”两个字一般不能省略,用希腊字母α,β等表示平面时,“平面”两个字可以省略.
当堂检测
1.能正确表示点A在直线l上且直线l在平面α内的是( C )
A B
C D
解析:选项A只表示点A在直线l上;选项D表示直线l与平面α相交于点A;选项B中点A不在直线l上.故选C.
2.如图所示,用符号语言可表述为( A )
A.α∩β=m,n α,m∩n=A
B.α∩β=m,n∈α,m∩n=A
C.α∩β=m,n α,A m,A n
D.α∩β=m,n∈α,A∈m,A∈n
3.如图所示,在长方体ABCDA1B1C1D1中,直线B1D1与长方体的六个面之间有 种位置关系.
解析:直线B1D1在平面A1B1C1D1内,直线B1D1与平面BCC1B1、平面ABB1A1、平面ADD1A1、平面CC1D1D都相交,直线B1D1与平面ABCD平
行.故直线B1D1与长方体的六个面之间有3种位置关系.
答案:3
课时作业
选题明细表
知识点、方法 题号
空间图形的基本位置关系的理解 1,2,3
空间图形位置关系的符号表示 4,5,8,12,13,14
空间图形位置关系的应用 6,7,9,10,11,15
基础巩固
1.三棱台的一条侧棱所在直线与其对面所在的平面之间的关系是( A )
A.相交 B.平行
C.直线在平面内 D.平行或直线在平面内
解析:由棱台延长各侧棱交于一点恢复成棱锥的形状可知,三棱台的一条侧棱所在直线与其对面所在的平面相交.故选A.
2.已知平面α∥平面β,直线m α,直线n β,则直线m,n( C )
A.平行或相交 B.相交
C.不相交 D.相交或不相交
解析:平面α∥平面β,直线m α,直线n β,则直线m,n没有公共点.故选C.
3.下列各图符合立体几何作图规范要求的是( D )
A.直线在平面内 B.平面与平面相交
C.直线与平面相交 D.两直线不相交
解析:若直线在平面内,应将直线画在平面内,A错误;平面与平面相交时,两个平面相交于直线,而不是点,B错误;直线与平面相交,看不到的部分应当画虚线,C错误;两直线不相交满足作图规范,D正确.
故选D.
4.下列符号语言与文字语言转化不正确的是( C )
A.点A在平面α内,但不在平面β内 A∈α,A β
B.直线a经过平面α外一点M M∈a,M α
C.直线l与平面α有公共点 l α
D.直线l既在平面α内,又在平面β内(即平面α和平面β相交于直线l) α∩β=l
解析:直线l与平面α有公共点时l α或l与平面α相交,因此C不正确.故选C.
5.已知点A,直线a,平面α,以下命题表述正确的个数是( A )
①A∈a,a α A α;②A∈a,a∈α A∈α;③A a,a α A α.
A.0 B.1 C.2 D.3
解析:①不正确,如a∩α=A;②不正确,因为“a∈α”表述错误;③不正确,如图所示,A a,a α,但A∈α.故选A.
6.如图,在正方体ABCDA1B1C1D1中,回答下列问题:
(1)平面AA1B1B∩平面A1B1C1D1= ;
(2)平面A1C1CA∩平面ABCD= .
答案:(1)A1B1 (2)AC
7.已知平面α与平面β、平面γ都相交,则这三个平面可能的交线有
条.
解析:当β与γ相交时,若α过β与γ的交线,有1条交线;若α不过β与γ的交线,有3条交线;当β与γ平行时,有2条交线.
答案:1或2或3
8.把下列符号叙述所对应的图形的字母编号填在题后横线上.
A B
C D
①A α,a α: .
②α∩β=a,P α且P β: .
③a α,a∩α=A: .
④α∩β=a,α∩γ=c,β∩γ=b,a∩b∩c=O: .
解析:①A α,a α,表示点A在平面α外且直线a在平面α内,故C符合;
②α∩β=a,P α且P β,表示平面α,β相交于直线a,
点P在平面α外且点P在平面β外,故D符合;
③a α,a∩α=A,表示直线a在平面α外,直线a与平面α相交于点A,故A符合;
④α∩β=a,α∩γ=c,β∩γ=b,a∩b∩c=O,
表示平面α,β相交于直线a,平面α,γ相交于直线c,平面β,γ相交于直线b,
直线a,b,c相交于点O,故B符合.
答案:①C ②D ③A ④B
能力提升
9.若直线a不平行于平面α,则下列结论成立的是( D )
A.α内的所有直线均与a平行
B.α内不存在与a平行的直线
C.α内的直线均与a相交
D.直线a与平面α有公共点
解析:直线a不平行于平面α,则直线a在α内或a与α相交,当a α时,A,B错误;当a与α相交时,α内存在直线与a不相交,C错误.
故选D.
10.平面α与平面β平行且a α,有下列说法:①a与β内的所有直线都平行;②a与β平行;③a与β内的无数条直线平行.其中正确的个数是( C )
A.0 B.1 C.2 D.3
解析:因为α∥β,a α,所以a与β无公共点,所以a∥β,但是不平行于β内的所有直线,①不正确,②正确;因为a与β内的所有直线都没有公共点,所以a与β内的无数条直线平行,故③正确.故选C.
11.(多选题)在正方体ABCDA1B1C1D1中,E,F分别为AD,AA1的中点,则下列直线中与直线EF不相交的是( ABC )
A.A1B1 B.BB1
C.B1C1 D.A1D1
解析:直线A1B1,BB1,B1C1与EF不相交,直线A1D1与EF相交.故选ABC.
12.用符号语言表示点、直线、平面之间的位置关系:
(1)点A,B在直线 a上: ;
(2)直线a在平面α内: ;
(3)点D在直线 b上,点C在平面α内: .
答案:(1)A∈a,B∈a (2)a α (3)D∈b,C∈α
13.用符号表示下列语句,并画出图形.
(1)平面α与β相交于直线l,直线a与α,β分别相交于点A,B;
(2)点A,B在平面α内,直线a与平面α交于点C,点C不在直线AB上.
解:(1)用符号表示为α∩β=l,a∩α=A,a∩β=B,图形如图所示.
(2)用符号表示为A∈α,B∈α,a∩α=C,C AB,图形如图所示.
14.根据下面图形用符号表示下列点、直线、平面之间的关系.
(1)点P与直线AB;
(2)点C与直线AB;
(3)点M与平面AC;
(4)点A1与平面AC;
(5)直线AB与直线BC;
(6)直线AB与平面AC;
(7)平面A1B与平面AC.
解:(1)点P∈直线AB.
(2)点C 直线AB.
(3)点M∈平面AC.
(4)点A1 平面AC.
(5)直线AB∩直线BC=B.
(6)直线AB 平面AC.
(7)平面A1B∩平面AC=直线AB.
应用创新
15.一个平面将空间分成两部分,那么两个平面呢 三个平面呢
解:(1)两个平面有两种情形.
当两个平面平行时,将空间分成三部分[如图(a)];
当两个平面相交时,将空间分成四部分[如图(b)].
(2)三个平面有五种情形.
当三个平面互相平行时,将空间分成四部分[如图(c)];
当两个平面平行,第三个平面与它们相交时,将空间分成六部分[如图(d)];
当三个平面相交于同一条直线时,将空间分成六部分[如图(e)];
当三个平面相交于三条直线,且三条交线相交于一点时,将空间分成八部分[如图(f)];
当三个平面相交于三条直线,且三条交线相互平行时,将空间分成七部分[如图(g)].§3 空间点、直线、平面之间的位置关系
3.1 空间图形基本位置关系的认识
学习目标
1.了解空间点、直线、平面之间的位置关系并会用图形语言、符号语言表示位置关系,提升直观想象、数学抽象的核心素养.
2.掌握利用定义判断直线与直线、直线与平面、平面与平面的位置关系,培养数学抽象的核心素养.
知识探究
问题1:空间图形由点、线、面构成.点动成线,线动成面,面动成体.可见点是空间图形最基本的元素,线和面都是点的集合.元素与集合的关系有几种 元素a和集合A的关系如何用符号表示
提示:两种;a是集合A的元素记为a∈A,a不是集合A的元素记为
a A.
知识点1 点与直线、点与平面的位置关系
(1)点与直线的位置关系有两种:点在直线上和点在直线外.
位置关系 图形表示 符号表示
点B在直线a上, 点A在直线a外 B∈a, A a
(2)点与平面的位置关系有两种:点在平面内和点在平面外.
位置关系 图形表示 符号表示
点A在平面α内, 点B在平面α外 A∈α, B α
问题2:在同一平面内,直线与直线的位置关系有哪几种
提示:有相交和不相交两种.
知识点2 直线与直线、直线与平面的位置关系
(1)直线与直线的位置关系有两种:直线与直线相交和直线与直线不相交.
位置关系 图形表示 符号表示
直线a和直线b相交 a∩b=O
直线a和直线b 不相交 或 a∩b=
(2)直线与平面的位置关系有三种:直线在平面内、直线与平面相交和直线与平面平行.
位置关系 图形表示 符号表示
直线a在平面α内(直线a上的每个点都在平面α内) a α
直线a与平面α相交(直线a和平面α只有一个公共点) a∩α=A
直线a与平面α平行(直线a和平面α没有公共点) a∥α (a∩α= )
[思考] 空间中,两条直线不相交,一定平行吗
提示:不一定.
问题3:两条直线可以只有一个公共点,直线和平面也可以只有一个公共点,两个平面是否可以只有一个公共点呢
提示:不可以.
知识点3 平面与平面的位置关系
平面与平面的位置关系有两种:平面与平面不相交和平面与平面相交.
位置关系 图形表示 符号表示
平面α与平面β不相交,则称这两个平面平行 α∥β (α∩β= )
平面α与平面β相交 α∩β=a
探究点一 点与直线、点与平面的位置关系
[例1] 如图,O是长方体ABCDA1B1C1D1的对角线BD1的中点,判断点A与直线AB,BC,CC1,C1O,平面ABCD、平面BCC1B1的位置关系,并用符号表示.
判断点是否在直线上和是否在平面内时,要注意利用直线是无限延伸的、平面是无限延展的,同时要注意利用题目的隐含条件,例如平行四边形的对角线互相平分、棱台的棱延长后交于一点.
[针对训练] 如图,点O是棱台ABCDA1B1C1D1的两条侧棱 BB1,CC1的延长线的交点,判断点O与直线BB1,BC,AA1,平面BCC1B1、平面ABCD、平面ADD1A1的位置关系,并用符号表示.
探究点二 直线与直线、直线与平面的位置关系
[例2] 在长方体ABCDA1B1C1D1中,判断直线AB与直线BC,CD,C1D1,平面ABCD、平面BCC1B1、平面A1B1C1D1的位置关系,并用符号表示.
直线与直线的位置关系分为两种,事实上,两条直线不相交还可以再分为两种情况,将在后面学习;直线和平面的位置关系分为三种,其中直线和平面相交、直线和平面平行这两种情况可以统称为直线在
平面外.
[针对训练] 如图,在四棱台ABCDA1B1C1D1中,判断直线AA1与直线AB,CD,BB1,平面ABCD、平面BCC1B1、平面ADD1A1的位置关系,并用符号表示.
探究点三 平面与平面的位置关系
[例3] 三个平面α,β,γ,平面α,β互相平行,平面α与平面γ交于直线m,平面β与平面γ交于直线n,画出上述语句对应的图形并用符号语言表示.
[变式探究] 用符号语言表示下列语句,并画出图形.
三个平面α,β,γ交于一点P,且平面α与平面β交于PA,平面α与平面γ交于PB,平面β与平面γ交于PC.
用大写字母表示平面时,例如平面ABCD,“平面”两个字一般不能省略,用希腊字母α,β等表示平面时,“平面”两个字可以省略.
当堂检测
1.能正确表示点A在直线l上且直线l在平面α内的是( )
A B
C D
2.如图所示,用符号语言可表述为( )
A.α∩β=m,n α,m∩n=A
B.α∩β=m,n∈α,m∩n=A
C.α∩β=m,n α,A m,A n
D.α∩β=m,n∈α,A∈m,A∈n
3.如图所示,在长方体ABCDA1B1C1D1中,直线B1D1与长方体的六个面之间有 种位置关系.
课时作业
选题明细表
知识点、方法 题号
空间图形的基本位置关系的理解 1,2,3
空间图形位置关系的符号表示 4,5,8,12,13,14
空间图形位置关系的应用 6,7,9,10,11,15
基础巩固
1.三棱台的一条侧棱所在直线与其对面所在的平面之间的关系是( )
A.相交 B.平行
C.直线在平面内 D.平行或直线在平面内
2.已知平面α∥平面β,直线m α,直线n β,则直线m,n( )
A.平行或相交 B.相交
C.不相交 D.相交或不相交
3.下列各图符合立体几何作图规范要求的是( )
A.直线在平面内 B.平面与平面相交
C.直线与平面相交 D.两直线不相交
4.下列符号语言与文字语言转化不正确的是( )
A.点A在平面α内,但不在平面β内 A∈α,A β
B.直线a经过平面α外一点M M∈a,M α
C.直线l与平面α有公共点 l α
D.直线l既在平面α内,又在平面β内(即平面α和平面β相交于直线l) α∩β=l
5.已知点A,直线a,平面α,以下命题表述正确的个数是( )
①A∈a,a α A α;②A∈a,a∈α A∈α;③A a,a α A α.
A.0 B.1 C.2 D.3
6.如图,在正方体ABCDA1B1C1D1中,回答下列问题:
(1)平面AA1B1B∩平面A1B1C1D1= ;
(2)平面A1C1CA∩平面ABCD= .
7.已知平面α与平面β、平面γ都相交,则这三个平面可能的交线有
条.
8.把下列符号叙述所对应的图形的字母编号填在题后横线上.
A B
C D
①A α,a α: .
②α∩β=a,P α且P β: .
③a α,a∩α=A: .
④α∩β=a,α∩γ=c,β∩γ=b,a∩b∩c=O: .
能力提升
9.若直线a不平行于平面α,则下列结论成立的是( )
A.α内的所有直线均与a平行
B.α内不存在与a平行的直线
C.α内的直线均与a相交
D.直线a与平面α有公共点
10.平面α与平面β平行且a α,有下列说法:①a与β内的所有直线都平行;②a与β平行;③a与β内的无数条直线平行.其中正确的个数是( )
A.0 B.1 C.2 D.3
11.(多选题)在正方体ABCDA1B1C1D1中,E,F分别为AD,AA1的中点,则下列直线中与直线EF不相交的是( )
A.A1B1 B.BB1
C.B1C1 D.A1D1
12.用符号语言表示点、直线、平面之间的位置关系:
(1)点A,B在直线 a上: ;
(2)直线a在平面α内: ;
(3)点D在直线 b上,点C在平面α内: .
13.用符号表示下列语句,并画出图形.
(1)平面α与β相交于直线l,直线a与α,β分别相交于点A,B;
(2)点A,B在平面α内,直线a与平面α交于点C,点C不在直线AB上.
14.根据下面图形用符号表示下列点、直线、平面之间的关系.
(1)点P与直线AB;
(2)点C与直线AB;
(3)点M与平面AC;
(4)点A1与平面AC;
(5)直线AB与直线BC;
(6)直线AB与平面AC;
(7)平面A1B与平面AC.
应用创新
15.一个平面将空间分成两部分,那么两个平面呢 三个平面呢
