3.2 刻画空间点、线、面位置关系的公理
第1课时 基本事实1,2,3及推论
学习目标
1.理解并掌握三个基本事实及推论,发展数学抽象的核心素养.
2.通过三个基本事实及其推论的应用,增强数学抽象与逻辑推理的核心素养.
知识探究
问题1:最少几个点确定一条直线 最少几个点确定一个平面呢
提示:两点确定一条直线.最少三个点确定一个平面.
问题2: 平行线是怎样定义的
提示:在同一平面内不相交的两条直线称为平行线.
知识点1 基本事实1,2及其推论
(1)基本事实1、基本事实2.
基本事实 文字语言 图形语言 符号语言 作用
基本事实1 过不在一条直线上的三个点,有且只有一个平面 若A,B,C三点不共线,则存在唯一的平面α,使A,B,C∈α ①确定一个平面的依据; ②判定点线共面
基本事实2 如果一条直线上的两个点在一个平面内,那么这条直线在这个平面内 若A∈l,B∈l,且A∈α,B∈α,则l α 判定直线在平面内
(2)基本事实1、基本事实2的三个推论.
推论 文字语言 图形语言 符号语言
推论1 一条直线和该直线外一点确定一个平面 若A a,则存在唯一平面α,使A∈α,a α
推论2 两条相交直线确定一个平面 若a∩b=P,则存在唯一平面α,使a α,b α
推论3 两条平行直线确定一个平面 若a∥b,则存在唯一平面α,使a α,b α
[思考1] 基本事实1中的“有且只有一个”是什么意思
提示:其含义是“存在”并且“唯一”,它与“确定一个平面”的含义是等价的.
[思考2] 基本事实1中的“三点”,为什么强调是不在同一直线上的三点
提示:因为共线的三点是不能确定一个平面的.
知识点2 基本事实3
基本事实 文字语言 图形语言 符号语言 作用
基本事实3 如果两个不重合的平面有一个公共点,那么它们有且只有一条过该点的公共直线 P∈α,P∈β α∩β=l,且P∈l,其中l表示一条直线 ①判定两个平面相交; ②判定点在直线上
[思考3] 基本事实3为什么要强调“不重合的两个平面”
提示:因为两个不重合的平面,只要它们有公共点,则两个平面的交点构成的集合就是一条直线.
探究点一 点、线共面问题
[例1] 如图所示,已知直线a∥b∥c,l∩a=A,l∩b=B,l∩c=C.求证:直线a,b,c和l共面.
点、线共面问题是指证明一些点或直线在同一平面内的问题,主要依据是基本事实1、基本事实2及其推论.
解决该类问题有以下两个常用的方法.
(1)纳入平面法:先由部分元素确定一个平面,再证其他元素也在该平面内.
(2)辅助平面法(平面重合法):先由有关的点、线确定平面α,再由其余元素确定平面β,最后证明平面α,β重合.
[针对训练] 如图所示,l1∩l2=A,l2∩l3=B,l1∩l3=C,求证:直线l1,l2,l3在同一平面内.
探究点二 点共线问题
[例2] 如图所示,在正方体ABCDA1B1C1D1中,设线段A1C与平面ABC1D1交于点Q,求证:B,Q,D1三点共线.
点共线问题是证明三个或三个以上的点在同一条直线上,主要依据是基本事实3,解决此类问题常用的方法有:
(1)首先找出两个平面,然后证明这些点都是这两个平面的公共点,根据基本事实3知,这些点都在这两个平面的交线上.
(2)选择其中两点确定一条直线,然后证明其他点也在这条直线上.
[针对训练] 如图,已知在四边形ABCD中,AB∥CD,直线AB,BC,AD,DC分别与平面α相交于点E,G,H,F.
求证:E,F,G,H四点共线.
探究点三 线共点问题
[例3] 求证:三棱台A1B1C1ABC三条侧棱延长后相交于一点.
证明三线共点问题的基本方法:先确定待证的三线中的两条相交于一点,再证明第三条直线也过该点.常结合基本事实3,证出该点在不重合的两个平面内,故该点在它们的交线(第三条直线)上,从而证明三线共点.
[针对训练] 如图所示,已知E,F,G,H分别是正方体ABCDA1B1C1D1的棱AB,BC,CC1,C1D1的中点.求证:EF,HG,DC三线共点.
当堂检测
1.当我们停放自行车时,只要将自行车旁的脚撑放下,自行车就稳了,这用到了( )
A.三点确定一个平面
B.不共线的三点确定一个平面
C.两条相交直线确定一个平面
D.两条平行直线确定一个平面
2.两个平面重合的条件是它们的公共部分中有( )
A.三个点 B.一个点和一条直线
C.无数个点 D.两条相交直线
3.空间四点A,B,C,D共面而不共线,那么这四点中( )
A.必有三点共线 B.必有三点不共线
C.至少有三点共线 D.不可能有三点共线
4.(多选题)下列说法正确的是( )
A.三角形一定是平面图形
B.四边形一定是平面图形
C.梯形一定是平面图形
D.平面α和平面β一定有交线
课时作业
选题明细表
知识点、方法 题号
基本事实及推论的理解 1,2,3,4,9,10
基本事实及推论的应用 5,6,7,8, 11,12,13
基础巩固
1.设α,β表示两个平面,l表示直线,A,B,C表示三个不同的点,则下列命题正确的个数是( )
①若A∈l,A∈α,B∈l,B∈α,则l α;
②若A∈l,A∈α,则l α;
③若A,B,C∈α,A,B,C∈β,且A,B,C不共线,则α与β重合.
A.0 B.1 C.2 D.3
2.空间四个点中,三点共线是这四个点共面的( )
A.充分不必要条件
B.必要不充分条件
C.充要条件
D.既不充分也不必要条件
3.一条直线和这条直线外不共线的三点,最多可确定( )
A.三个平面 B.四个平面
C.五个平面 D.六个平面
4.(多选题)以下四个命题正确的是( )
A.圆一定是平面图形
B.若点A,B,C,D共面,点A,B,C,E共面,则点A,B,C,D,E共面
C.空间中,相交于同一点的三条直线在同一平面内
D.两两相交且不共点的三条直线确定一个平面
5.如图所示,在四面体中,若直线EF和GH相交,则它们的交点一定( )
A.在直线BD上 B.在直线AB上
C.在直线CB上 D.都不对
6.下列命题不正确的有 .(填序号)
①依次首尾相接的四条线段必共面;
②空间中有三个角为直角的四边形一定是平面图形;
③若α∩β=l,直线a 平面α,直线b 平面β,且a∩b=P,则P∈l;
④若n条直线中任意两条共面,则它们共面.
7.在长方体ABCDA1B1C1D1的所有棱中,既与AB共面,又与CC1共面的棱有 条.
8.若直线l与平面α相交于点O,A,B∈l,C,D∈α,且AC∥BD,则O,C,D三点的位置关系是 .
能力提升
9.(多选题)下列说法,不正确的有( )
A.如果一条直线与另两条直线都相交,那么这三条直线必共面
B.若直线a,b共面,直线a,c共面,则直线b,c一定共面
C.如果三条直线相互平行,那么这三条直线在同一个平面内
D.如果一条直线与两条平行直线都相交,那么这三条直线确定一个
平面
10.(1)空间任意4点,没有任何3点共线,它们最多可以确定 个平面;
(2)空间5点,其中有4点共面,它们没有任何 3点共线,这5个点最多可以确定 个平面.
11.如图,已知平面α,β,且α∩β=l.在梯形ABCD中,AD∥BC,且AB α,CD β.
求证:AB,CD,l共点(相交于一点).
12.如图,已知在四棱锥PABCD中,底面ABCD为菱形,E,F分别是BC,
PC的中点,点G在PD上,且PG=PD.证明:点A,E,F,G四点共面.
应用创新
13.如图,直四棱柱ABCDA1B1C1D1的底面是边长为2的正方形,AA1=
3,E,F分别是AB,BC的中点,过点D1,E,F的平面记为α,则平面α截直四棱柱ABCDA1B1C1D1所得截面的面积为 . 3.2 刻画空间点、线、面位置关系的公理
第1课时 基本事实1,2,3及推论
学习目标
1.理解并掌握三个基本事实及推论,发展数学抽象的核心素养.
2.通过三个基本事实及其推论的应用,增强数学抽象与逻辑推理的核心素养.
知识探究
问题1:最少几个点确定一条直线 最少几个点确定一个平面呢
提示:两点确定一条直线.最少三个点确定一个平面.
问题2: 平行线是怎样定义的
提示:在同一平面内不相交的两条直线称为平行线.
知识点1 基本事实1,2及其推论
(1)基本事实1、基本事实2.
基本事实 文字语言 图形语言 符号语言 作用
基本事实1 过不在一条直线上的三个点,有且只有一个平面 若A,B,C三点不共线,则存在唯一的平面α,使A,B,C∈α ①确定一个平面的依据; ②判定点线共面
基本事实2 如果一条直线上的两个点在一个平面内,那么这条直线在这个平面内 若A∈l,B∈l,且A∈α,B∈α,则l α 判定直线在平面内
(2)基本事实1、基本事实2的三个推论.
推论 文字语言 图形语言 符号语言
推论1 一条直线和该直线外一点确定一个平面 若A a,则存在唯一平面α,使A∈α,a α
推论2 两条相交直线确定一个平面 若a∩b=P,则存在唯一平面α,使a α,b α
推论3 两条平行直线确定一个平面 若a∥b,则存在唯一平面α,使a α,b α
[思考1] 基本事实1中的“有且只有一个”是什么意思
提示:其含义是“存在”并且“唯一”,它与“确定一个平面”的含义是等价的.
[思考2] 基本事实1中的“三点”,为什么强调是不在同一直线上的三点
提示:因为共线的三点是不能确定一个平面的.
知识点2 基本事实3
基本事实 文字语言 图形语言 符号语言 作用
基本事实3 如果两个不重合的平面有一个公共点,那么它们有且只有一条过该点的公共直线 P∈α,P∈β α∩β=l,且P∈l,其中l表示一条直线 ①判定两个平面相交; ②判定点在直线上
[思考3] 基本事实3为什么要强调“不重合的两个平面”
提示:因为两个不重合的平面,只要它们有公共点,则两个平面的交点构成的集合就是一条直线.
探究点一 点、线共面问题
[例1] 如图所示,已知直线a∥b∥c,l∩a=A,l∩b=B,l∩c=C.求证:直线a,b,c和l共面.
证明:法一 因为a∥b,所以a,b确定一个平面α.
因为A∈a,B∈b,所以A∈α,B∈α.又A∈l,B∈l,
则a,b,l都在平面α内,即b在a,l确定的平面内.
同理可证c在a,l确定的平面内.
因为过a与l只能确定一个平面,
所以直线a,b,c,l共面于a,l确定的平面.
法二 因为a∩l=A,b∩l=B,c∩l=C,a∥b,
所以过a,b可以确定一个平面α.
因为A∈a,B∈b,a α,b α,
所以A∈α,B∈α,所以AB α,即l α.
又因为b∥c,所以过b,c可以确定一个平面β,同理可证l β.
因为α,β都过相交直线b,l,所以α与β重合.故直线a,b,c和l共面.
点、线共面问题是指证明一些点或直线在同一平面内的问题,主要依据是基本事实1、基本事实2及其推论.
解决该类问题有以下两个常用的方法.
(1)纳入平面法:先由部分元素确定一个平面,再证其他元素也在该平面内.
(2)辅助平面法(平面重合法):先由有关的点、线确定平面α,再由其余元素确定平面β,最后证明平面α,β重合.
[针对训练] 如图所示,l1∩l2=A,l2∩l3=B,l1∩l3=C,求证:直线l1,l2,l3在同一平面内.
证明:法一(纳入平面法)
因为l1∩l2=A,所以l1和l2确定一个平面α.
因为l2∩l3=B,所以B∈l2.
又因为l2 α,所以B∈α.同理可证C∈α.
因为B∈l3,C∈l3,所以l3 α.
所以直线l1,l2,l3在同一平面内.
法二(辅助平面法)
因为l1∩l2=A,所以l1和l2确定一个平面α.
因为l2∩l3=B,所以l2和l3确定一个平面β.
因为A∈l2,l2 α,所以A∈α.
因为A∈l2,l2 β,所以A∈β.
同理可证B∈α,B∈β,C∈α,C∈β.
所以不共线的三个点A,B,C既在平面α内,又在平面β内,
所以平面α和β重合,即直线l1,l2,l3在同一平面内.
探究点二 点共线问题
[例2] 如图所示,在正方体ABCDA1B1C1D1中,设线段A1C与平面ABC1D1交于点Q,求证:B,Q,D1三点共线.
证明:如图所示,
连接A1B,CD1,
显然B∈平面A1BCD1,
D1∈平面A1BCD1,
所以BD1 平面A1BCD1.
同理,BD1 平面ABC1D1,
所以平面ABC1D1∩平面A1BCD1=BD1.
因为A1C∩平面ABC1D1=Q,
所以Q∈平面ABC1D1.
又因为A1C 平面A1BCD1,
所以Q∈平面A1BCD1.所以Q在平面A1BCD1与平面ABC1D1的交线上,
即Q∈BD1,
所以B,Q,D1三点共线.
点共线问题是证明三个或三个以上的点在同一条直线上,主要依据是基本事实3,解决此类问题常用的方法有:
(1)首先找出两个平面,然后证明这些点都是这两个平面的公共点,根据基本事实3知,这些点都在这两个平面的交线上.
(2)选择其中两点确定一条直线,然后证明其他点也在这条直线上.
[针对训练] 如图,已知在四边形ABCD中,AB∥CD,直线AB,BC,AD,DC分别与平面α相交于点E,G,H,F.
求证:E,F,G,H四点共线.
证明:因为AB∥CD,所以AB,CD确定一个平面β.
因为AB∩α=E,所以E∈AB,E∈α.
又AB β,所以E∈β,
所以E在α与β的交线l上.
同理可证F,G,H也在α与β的交线l上.
所以E,F,G,H四点共线.
探究点三 线共点问题
[例3] 求证:三棱台A1B1C1ABC三条侧棱延长后相交于一点.
证明:如图,延长AA1,BB1,
设AA1∩BB1=P,又BB1 平面BCC1B1,所以P∈平面BCC1B1,
AA1 平面ACC1A1,所以P∈平面ACC1A1,
所以P为平面BCC1B1和平面ACC1A1的公共点.
又因为平面BCC1B1∩平面ACC1A1=CC1,
所以P∈CC1,即AA1,BB1,CC1延长后交于一点P.
证明三线共点问题的基本方法:先确定待证的三线中的两条相交于一点,再证明第三条直线也过该点.常结合基本事实3,证出该点在不重合的两个平面内,故该点在它们的交线(第三条直线)上,从而证明三线共点.
[针对训练] 如图所示,已知E,F,G,H分别是正方体ABCDA1B1C1D1的棱AB,BC,CC1,C1D1的中点.求证:EF,HG,DC三线共点.
证明:如图所示,连接C1B,GF,HE,由题意知HC1∥EB,且HC1=EB,所以四边形HC1BE是平行四边形,所以HE∥C1B.
又C1G=GC,CF=BF,
所以GF∥C1B,且GF=C1B.
所以GF∥HE,且GF≠HE,所以HG与EF相交,设交点为K,
所以K∈HG.因为HG 平面D1C1CD,
所以K∈平面D1C1CD.
因为K∈EF,EF 平面ABCD,
所以K∈平面ABCD.
因为平面D1C1CD∩平面ABCD=DC,
所以K∈DC,所以EF,HG,DC三线共点.
当堂检测
1.当我们停放自行车时,只要将自行车旁的脚撑放下,自行车就稳了,这用到了( B )
A.三点确定一个平面
B.不共线的三点确定一个平面
C.两条相交直线确定一个平面
D.两条平行直线确定一个平面
解析:自行车前后轮与脚撑分别接触地面,此时三个接触点不在同一条直线上,所以可以确定一个平面,即地面,从而使得自行车稳定.故选B.
2.两个平面重合的条件是它们的公共部分中有( D )
A.三个点 B.一个点和一条直线
C.无数个点 D.两条相交直线
解析:若三个点共线,则两个平面可能相交于三点共线的直线,故A错误;若点在直线上,则两个平面可能相交于这条直线,故B错误;若无数个点共线,则两个平面可能相交于无数个点共线的直线,故C错误;两个平面重合的条件是它们的公共部分中有两条相交直线,故D正确.故选D.
3.空间四点A,B,C,D共面而不共线,那么这四点中( B )
A.必有三点共线 B.必有三点不共线
C.至少有三点共线 D.不可能有三点共线
解析:如图(1)(2)所示,A,C,D均不正确,只有B正确.故选B.
4.(多选题)下列说法正确的是( AC )
A.三角形一定是平面图形
B.四边形一定是平面图形
C.梯形一定是平面图形
D.平面α和平面β一定有交线
解析:由基本事实1可知A正确;四边形可以是空间四边形,故B错误;梯形一定是平面图形,故C正确;当α∥β时,两平面无交线,故D错误.故选AC.
课时作业
选题明细表
知识点、方法 题号
基本事实及推论的理解 1,2,3,4,9,10
基本事实及推论的应用 5,6,7,8, 11,12,13
基础巩固
1.设α,β表示两个平面,l表示直线,A,B,C表示三个不同的点,则下列命题正确的个数是( C )
①若A∈l,A∈α,B∈l,B∈α,则l α;
②若A∈l,A∈α,则l α;
③若A,B,C∈α,A,B,C∈β,且A,B,C不共线,则α与β重合.
A.0 B.1 C.2 D.3
解析:若A∈l,A∈α,B∈l,B∈α,则l α,由基本事实2,
可得①正确;
若l与α相交于点A,可得②不正确;若A,B,C∈α,A,B,C∈β,且A,B,C不共线,则α与β重合,由不共线的三点确定一个平面,可得③正确.故选C.
2.空间四个点中,三点共线是这四个点共面的( A )
A.充分不必要条件
B.必要不充分条件
C.充要条件
D.既不充分也不必要条件
解析:空间四个点中,有三个点共线,根据“一条直线与直线外一点可以确定一个平面”得到这四个点共面,即充分性成立;反之,当四个点共面时,不一定有三点共线,即必要性不成立,所以空间四个点中,三点共线是这四个点共面的充分不必要条件.故选A.
3.一条直线和这条直线外不共线的三点,最多可确定( B )
A.三个平面 B.四个平面
C.五个平面 D.六个平面
解析:直线之外不共线的三点记为A,B,C.当直线在A,B,C所确定的平面内时,它们只能确定一个平面;当A,B,C三点中有两点与直线共面时,能确定三个平面;当A,B,C三点中没有两点与直线共面时,一条直线与直线外的每一个点确定一个平面,A,B,C三点确定一个平面,最多可确定四个平面.故选B.
4.(多选题)以下四个命题正确的是( AD )
A.圆一定是平面图形
B.若点A,B,C,D共面,点A,B,C,E共面,则点A,B,C,D,E共面
C.空间中,相交于同一点的三条直线在同一平面内
D.两两相交且不共点的三条直线确定一个平面
解析:由于圆上存在不共线的三点,因此圆一定是平面图形,A正确;从条件看出两个平面有三个公共点A,B,C,但是若A,B,C共线,不能得出D,E共面,因此B不正确;三棱锥三条侧棱所在直线相交于一点,但这三条直线不共面,因此C错误;两两相交且不共点的三条直线确定一个平面,D正确.故选AD.
5.如图所示,在四面体中,若直线EF和GH相交,则它们的交点一定( A )
A.在直线BD上 B.在直线AB上
C.在直线CB上 D.都不对
解析:直线EF和GH相交,设交点为M,
因为EF 平面ABD,HG 平面CBD,
所以M∈平面ABD,且M∈平面CBD.
因为平面ABD∩平面CBD=BD,
所以M∈BD,
所以EF与HG的交点在直线BD上.故选A.
6.下列命题不正确的有 .(填序号)
①依次首尾相接的四条线段必共面;
②空间中有三个角为直角的四边形一定是平面图形;
③若α∩β=l,直线a 平面α,直线b 平面β,且a∩b=P,则P∈l;
④若n条直线中任意两条共面,则它们共面.
解析:对于①,依次首尾相接的四条线段可能不共面,比如空间四边形,故①错误;
对于②,空间中四个点不一定共面,有三个角为直角的四边形可能是空间图形,如图所示,空间四边形ABCD1,故②错误;对于③,因为直线a 平面α,直线b 平面β,且a∩b=P,所以P∈平面α,且P∈平面β,又α∩β=l,所以P∈l,故③正确;对于④,举反例如正方体的侧棱任意两条都共面,但这4条侧棱却不共面,故④错误.
答案:①②④
7.在长方体ABCDA1B1C1D1的所有棱中,既与AB共面,又与CC1共面的棱有 条.
解析:由题图可知,既与AB共面又与CC1共面的棱有CD,BC,BB1,AA1,
C1D1共5条.
答案:5
8.若直线l与平面α相交于点O,A,B∈l,C,D∈α,且AC∥BD,则O,C,D三点的位置关系是 .
解析:如图,因为AC∥BD,所以AC与BD确定一个平面,记作平面β,
则α∩β=CD.
因为l∩α=O,所以O∈α.
又因为O∈AB,AB β,所以O∈β,所以O∈CD,
所以O,C,D三点共线.
答案:共线
能力提升
9.(多选题)下列说法,不正确的有( ABC )
A.如果一条直线与另两条直线都相交,那么这三条直线必共面
B.若直线a,b共面,直线a,c共面,则直线b,c一定共面
C.如果三条直线相互平行,那么这三条直线在同一个平面内
D.如果一条直线与两条平行直线都相交,那么这三条直线确定一个
平面
解析:对于A,当三条直线交于同一点时,三条直线可能不共面,故A错误;对于B,若直线a,b共面,直线a,c共面,则直线b,c可能不共面,比如a,b相交,且a∥c,此时b,c可能不共面,故B错误;对于C,当三条直线相互平行时,三条直线可能不共面,如棱柱的侧棱,故C错误;对于D,一条直线与两条平行直线都相交,那么这三条直线确定一个平面,故D正确.故选ABC.
10.(1)空间任意4点,没有任何3点共线,它们最多可以确定 个平面;
(2)空间5点,其中有4点共面,它们没有任何 3点共线,这5个点最多可以确定 个平面.
解析:(1)可以想象三棱锥的4个顶点,它们总共确定4个平面.
(2)可以想象四棱锥的5个顶点,它们总共确定7个平面.
答案:(1)4 (2)7
11.如图,已知平面α,β,且α∩β=l.在梯形ABCD中,AD∥BC,且AB α,CD β.
求证:AB,CD,l共点(相交于一点).
证明: 因为在梯形ABCD中,AD∥BC,
所以AB,CD是梯形ABCD的两腰.
所以AB,CD必定相交于一点,
设AB∩CD=M.
又因为AB α,CD β,所以M∈α,M∈β.
又因为α∩β=l,所以M∈l,
即AB,CD,l共点(相交于一点).
12.如图,已知在四棱锥PABCD中,底面ABCD为菱形,E,F分别是BC,
PC的中点,点G在PD上,且PG=PD.证明:点A,E,F,G四点共面.
证明:如图,连接EF,AG,在平面ABCD内,连接AE并延长交DC的延长线于点M,则有CM=CD.
在平面PCD内,连接GF并延长交DC的延长线于点M1.
取GD的中点N,连接CN.
则由PG=PD可知PG=GN=ND.
因为点F为PC的中点,
所以在△PCN中有GF∥CN,即GM1∥CN.
所以在△GM1D中有CM1=CD.所以点M与点M1重合,
即AE与GF相交于点M.
所以A,E,F,G四点共面.
应用创新
13.如图,直四棱柱ABCDA1B1C1D1的底面是边长为2的正方形,AA1=
3,E,F分别是AB,BC的中点,过点D1,E,F的平面记为α,则平面α截直四棱柱ABCDA1B1C1D1所得截面的面积为 .
解析:如图,设直线EF分别交DA,DC的延长线于点P,Q,连接D1P,交AA1于点M,连接D1Q,交CC1于点N,连接ME,FN,所以平面α截直四棱柱ABCDA1B1C1D1的截面为五边形D1MEFN.由平行线分线段成比例可知AP=BF=1,故DP=DD1=3,故△DD1P为等腰直角三角形,所以AM=AP=1,故A1M=2,则D1M=D1N=2,ME=EF=FN=.连接MN,易知MN=2,所以五边形D1MEFN可以分成等边三角形D1MN和等腰梯形MEFN两部分,
等腰梯形MEFN的高h==,则等腰梯形MEFN的面积为×=.又=×(2)2=2,所以五边形D1MEFN的面积为2+=.
答案:
