4.2 平面与平面平行
学习目标
1.理解平面与平面平行的性质定理和判定定理,培养直观想象与数学抽象的核心素养.
2.通过平面与平面平行的性质定理和判定定理的应用,提升逻辑推理的核心素养.
知识探究
问题1:平面与平面平行时,一个平面内的直线与另一个平面有什么位置关系
提示:平行.
知识点1 平面与平面平行的性质定理
(1)文字语言:两个平面平行,如果另一个平面与这两个平面相交,那么两条交线平行.
(2)符号语言:α∥β,α∩γ=a,β∩γ=b a∥b.
(3)图形语言:如图所示.
(4)实质:面面平行,得线线平行.
[思考1] 如果两个平面平行,那么这两个平面内的所有直线都相互平行吗
提示:不一定,它们可能异面.
[思考2] 通过基本事实4可知,平行于同一条直线的两条直线互相平行,该基本事实推广到空间是“平行于同一平面的两个平面互相平行”,这个推广正确吗
提示:正确.
问题2:如果两个平面没有公共点,则两个平面平行吗
提示:平行.
知识点2 平面与平面平行的判定定理
(1)文字语言:如果一个平面内的两条相交直线与另一个平面平行,那么这两个平面平行.
(2)符号语言:a α,b α,a∩b=A,a∥β,b∥β α∥β.
(3)图形语言:如图所示.
(4)实质:线面平行,得面面平行.
[思考3] 如果平面α内的两条直线与平面β平行,则α,β一定平行吗
提示:不一定平行,还可以相交.
(1)平面与平面平行的判定定理的一个推论:如果一个平面内的两条相交直线分别平行于另一个平面内的两条相交直线,则这两个平面平行.
符号表示:a α,b α,a∩b=O,a′ β,b′ β,a′∩b′=O′,a∥a′,b∥b′ α∥β.
(2)关于面面平行常见的结论.
①两个平面平行,其中一个平面内的任意一条直线平行于另一个平面.
②夹在两个平行平面之间的平行线段长度相等.
③经过平面外一点有且只有一个平面与已知平面平行.
④两条直线被三个平行平面所截,截得的对应线段成比例.
探究点一 平面与平面平行的性质
[例1] 如图,已知平面α∥平面β,P是平面α,β外的一点(不在α与β之间),直线PB,PD分别与α,β相交于点A,B和C,D.
(1)求证:AC∥BD.
(2)已知PA=4,AB=5,PC=3,求PD的长.
[变式探究] 在本例中,若点P在α与β之间,在第(2)问条件下求CD的长.
利用面面平行的性质定理证明线线平行的关键是把要证明的直线看作是平面的交线,往往需要有三个平面,即有两平面平行,再构造第三个平面与两平行平面都相交.
探究点二 平面与平面平行的判定
[例2] 如图,在四棱锥PABCD中,E为PA的中点,F为BC的中点,底面ABCD是平行四边形,对角线AC,BD相交于点O.
求证:平面EFO∥平面PCD.
证明平面与平面平行的常用方法:要证明面面平行,关键是要在其中一个平面中找到两条相交直线和另一个平面平行,而要证明线面平行,还要通过线线平行来证明,注意这三种平行之间的转化.
[针对训练] 在正四棱台ABCDA1B1C1D1中,A1B1=a,AB=2a,E,F分别是AD,AB的中点.证明:平面EFB1D1∥平面BDC1.
探究点三 空间平行关系的综合应用
[例3] 在边长为1的正方体ABCDA1B1C1D1中,M是该正方体表面上一个动点,且BM∥平面AD1C,则动点M的轨迹的长度是 .
线线平行、线面平行、面面平行是一个有机的整体,平行关系的判定定理、性质定理是转化平行关系的关键,其内在联系如图所示.
[针对训练] 在正四棱柱A1B1C1D1ABCD中,E,F,G,H分别是棱C1C,C1D1,
DD1,DC的中点,N是BC的中点,点M在四边形EFGH上及其内部运动,则M满足条件 时,有MN∥平面B1BDD1.
学海拾贝
平行中的位置探索问题
[典例探究] 已知底面是平行四边形的四棱锥PABCD,点E在PD上,且PE∶ED=2∶1,在棱PC上是否存在一点F,使BF∥平面AEC 若存在,证明你的结论,并说出点F的位置;若不存在,请说明理由.
平行中位置探索问题的求解方法
(1)求解在空间几何体的某条棱上是否存在一点使得线、面平行,并给出证明或说明理由的问题,解题时应先假设存在点满足题意,再证明;在找点时通常利用三角形中位线或者构造平行四边形.注意利用所给几何体中隐含的线线位置关系,当题目中有中点时,一般先探索中点,再用中位线定理找平行关系.
(2)探索面面平行问题时,利用面面平行的判定定理,找两条相交的直线分别证明它们平行于另一个平面.
[应用探究] 如图所示,在四棱锥CABED中,四边形ABED是正方形,G,F分别是线段EC,BD的中点.
(1)求证:GF∥平面ABC.
(2)线段BC上是否存在一点H,使得平面GFH∥平面ACD 若存在,请找出点H并证明;若不存在,请说明理由.
当堂检测
1.已知平面α与圆台的上、下底面分别相交于直线m,n,则m,n的位置关系是( )
A.平行 B.相交
C.异面 D.平行或异面
2.若一个平面内的两条直线分别平行于另一个平面内的两条直线,则这两个平面的位置关系是( )
A.一定平行 B.一定相交
C.平行或相交 D.以上都不对
3.六棱柱ABCDEFA1B1C1D1E1F1的底面是正六边形,则此六棱柱的面中互相平行的有( )
A.1对 B.2对 C.3对 D.4对
4.已知直线a∥平面α,平面α∥平面β,则直线a与平面β的位置关系为 .
课时作业
选题明细表
知识点、方法 题号
两平面平行的性质与判定 1,2,3,4,5,9,12
两平面平行的应用 6,7,8,10,11,13,14
基础巩固
1.设m,n是空间中两条不同的直线,α,β是空间中两个不同的平面,那么下列说法正确的为( )
A.若α∥β,m α,则m∥β
B.若α∥β,m α,n β,则m∥n
C.若m∥n,m α,则n∥α
D.若m∥n,m α,n β,则α∥β
2.在底面为平行四边形的四棱柱ABCDA1B1C1D1中,与平面BB1C1C平行的平面是( )
A.平面AA1D1D B.平面AA1B1B
C.平面DD1C1C D.平面ABCD
3.平面α与平面β平行的充要条件是( )
A.α内有无数条直线与β平行
B.α,β垂直于同一个平面
C.α,β平行于同一条直线
D.α内有两条相交直线都与β平行
4.如图,正方体 ABCDA1B1C1D1的棱长为3,点E在A1B1上,且B1E=1,平面α∥平面BC1E,若平面α∩平面AA1B1B=A1F,则AF的长为( )
A.1 B.1.5
C.2 D.3
5.(多选题)在正方体ABCDA1B1C1D1中,E,F,G分别是棱A1B1,B1C1,BB1的中点,则( )
A.FG∥平面AA1D1D
B.EF∥平面BC1D1
C.FG∥平面BC1D1
D.平面EFG∥平面BC1D1
6.在正四棱柱ABCDA1B1C1D1中,O为底面ABCD的中心,P是DD1的中点,设Q是CC1上的点,则点Q满足条件 时,有平面D1BQ∥平面PAO.
7.如图,在长方体 ABCDA1B1C1D1 中,过BB1的中点E作一个与平面ACB1平行的平面交AB于点M,交BC于点N,则= .
8.已知直线l与平面α,β,γ依次交于点A,B,C,直线m与平面α,β,γ依次交于点D,E,F,若α∥β∥γ,AB=EF=3,BC=4,则DE= .
能力提升
9.(多选题)如图,在正方体 ABCDA1B1C1D1中,M,N,P,Q分别是线段C1D1,A1D1,BD1,BC的中点,则下列结论正确的是( )
A.MN∥平面APC
B.B1Q∥平面ADD1A1
C.A,P,M三点共线
D.平面MNQ∥平面ABCD
10.如图,四棱锥PABCD的底面是平行四边形,PA=PB=AB=2,E,F分别是AB,CD的中点,平面AGF∥平面PEC,PD∩平面AGF=G,且PG=λGD,则λ= ,ED与AF相交于点H,则GH= .
11.正方体ABCDA1B1C1D1中,E是棱CC1的中点,F是侧面BCC1B1内的动点,且A1F∥平面D1AE,若正方体ABCDA1B1C1D1的棱长是2,则线段A1F的最小值为 .
12.在正方体ABCDA1B1C1D1中,M,N,P分别是AD1,BD和B1C的中点.
求证:
(1)MN∥平面CC1D1D;
(2)平面MNP∥平面CC1D1D.
13.如图所示的一块四棱柱木料ABCDA1B1C1D1,底面ABCD 是梯形,且CD∥AB.
(1)要经过上底面A1B1C1D1内的一点P和侧棱DD1将木料锯开,应怎样画线
(2)所画的线之间有什么位置关系
应用创新
14.如图所示,在棱长为2的正方体ABCDA1B1C1D1中,P是A1B1的中点,过点A1作与截面PBC1平行的截面,则截面的面积是 . 4.2 平面与平面平行
学习目标
1.理解平面与平面平行的性质定理和判定定理,培养直观想象与数学抽象的核心素养.
2.通过平面与平面平行的性质定理和判定定理的应用,提升逻辑推理的核心素养.
知识探究
问题1:平面与平面平行时,一个平面内的直线与另一个平面有什么位置关系
提示:平行.
知识点1 平面与平面平行的性质定理
(1)文字语言:两个平面平行,如果另一个平面与这两个平面相交,那么两条交线平行.
(2)符号语言:α∥β,α∩γ=a,β∩γ=b a∥b.
(3)图形语言:如图所示.
(4)实质:面面平行,得线线平行.
[思考1] 如果两个平面平行,那么这两个平面内的所有直线都相互平行吗
提示:不一定,它们可能异面.
[思考2] 通过基本事实4可知,平行于同一条直线的两条直线互相平行,该基本事实推广到空间是“平行于同一平面的两个平面互相平行”,这个推广正确吗
提示:正确.
问题2:如果两个平面没有公共点,则两个平面平行吗
提示:平行.
知识点2 平面与平面平行的判定定理
(1)文字语言:如果一个平面内的两条相交直线与另一个平面平行,那么这两个平面平行.
(2)符号语言:a α,b α,a∩b=A,a∥β,b∥β α∥β.
(3)图形语言:如图所示.
(4)实质:线面平行,得面面平行.
[思考3] 如果平面α内的两条直线与平面β平行,则α,β一定平行吗
提示:不一定平行,还可以相交.
(1)平面与平面平行的判定定理的一个推论:如果一个平面内的两条相交直线分别平行于另一个平面内的两条相交直线,则这两个平面平行.
符号表示:a α,b α,a∩b=O,a′ β,b′ β,a′∩b′=O′,a∥a′,b∥b′ α∥β.
(2)关于面面平行常见的结论.
①两个平面平行,其中一个平面内的任意一条直线平行于另一个平面.
②夹在两个平行平面之间的平行线段长度相等.
③经过平面外一点有且只有一个平面与已知平面平行.
④两条直线被三个平行平面所截,截得的对应线段成比例.
探究点一 平面与平面平行的性质
[例1] 如图,已知平面α∥平面β,P是平面α,β外的一点(不在α与β之间),直线PB,PD分别与α,β相交于点A,B和C,D.
(1)求证:AC∥BD.
(2)已知PA=4,AB=5,PC=3,求PD的长.
(1)证明:因为PB∩PD=P,
所以直线PB和PD确定一个平面γ,则
α∩γ=AC,β∩γ=BD.
又α∥β,所以AC∥BD.
(2)解:由(1)得AC∥BD,所以=,
所以=,
所以CD=,所以PD=PC+CD=.
[变式探究] 在本例中,若点P在α与β之间,在第(2)问条件下求CD的长.
解:如图,因为PB∩PD=P,
所以PB,PD确定平面γ,γ∩α=AC,
γ∩β=BD.
又α∥β,所以AC∥BD,
所以△PAC∽△PBD,所以=,
即=,所以=,
所以PD=.所以CD=PC+PD=3+=.
利用面面平行的性质定理证明线线平行的关键是把要证明的直线看作是平面的交线,往往需要有三个平面,即有两平面平行,再构造第三个平面与两平行平面都相交.
探究点二 平面与平面平行的判定
[例2] 如图,在四棱锥PABCD中,E为PA的中点,F为BC的中点,底面ABCD是平行四边形,对角线AC,BD相交于点O.
求证:平面EFO∥平面PCD.
证明:因为四边形ABCD是平行四边形,AC∩BD=O,
所以O为BD的中点.
又因为F为BC的中点,所以OF∥CD.
又OF 平面PCD,CD 平面PCD,
所以OF∥平面PCD.
因为O,E分别是AC,PA的中点,
所以OE∥PC,
又OE 平面PCD,PC 平面PCD,
所以OE∥平面PCD.
又OE∩OF=O,
且OE 平面EFO,OF 平面EFO,
所以平面EFO∥平面PCD.
证明平面与平面平行的常用方法:要证明面面平行,关键是要在其中一个平面中找到两条相交直线和另一个平面平行,而要证明线面平行,还要通过线线平行来证明,注意这三种平行之间的转化.
[针对训练] 在正四棱台ABCDA1B1C1D1中,A1B1=a,AB=2a,E,F分别是AD,AB的中点.证明:平面EFB1D1∥平面BDC1.
证明:如图,连接A1C1,AC,分别交B1D1,EF,BD于点M,N,P,连接MN,C1P.
由题意,BD∥B1D1.
因为BD 平面EFB1D1,
B1D1 平面EFB1D1,
所以BD∥平面EFB1D1.
又因为A1B1=a,AB=2a,
所以MC1=A1C1=a.
又因为E,F分别是AD,AB的中点,
所以NP=AC=a.
所以MC1=NP.
又因为AC∥A1C1,所以MC1∥NP.
所以四边形MC1PN为平行四边形,
所以PC1∥MN.
因为PC1 平面EFB1D1,MN 平面EFB1D1,
所以PC1∥平面EFB1D1.
因为PC1∩BD=P,PC1,BD 平面BDC1,
所以平面EFB1D1∥平面BDC1.
探究点三 空间平行关系的综合应用
[例3] 在边长为1的正方体ABCDA1B1C1D1中,M是该正方体表面上一个动点,且BM∥平面AD1C,则动点M的轨迹的长度是 .
解析:因为边长为1的正方体ABCDA1B1C1D1中,
动点M满足BM∥平面AD1C,
由面面平行的性质,当BM始终在一个与平面AD1C平行的面内,
即满足题意.
如图,连接A1B,BC1,A1C1,因为AB∥C1D1且AB=C1D1,
所以四边形ABC1D1为平行四边形,
所以AD1∥BC1,同理A1B∥D1C.又AD1 平面A1BC1,BC1 平面A1BC1,所以AD1∥平面A1BC1.
因为D1C 平面A1BC1,A1B 平面A1BC1,所以D1C∥平面A1BC1.
又因为AD1∩D1C=D1,AD1,D1C 平面AD1C,所以平面A1BC1∥平面AD1C.
又B∈平面A1BC1,M是该正方体表面上一个动点,所以动点M的轨迹为△A1BC1(B点除外).
因为A1B=BC1=A1C1=,所以动点M的轨迹的长度为3.
答案:3
线线平行、线面平行、面面平行是一个有机的整体,平行关系的判定定理、性质定理是转化平行关系的关键,其内在联系如图所示.
[针对训练] 在正四棱柱A1B1C1D1ABCD中,E,F,G,H分别是棱C1C,C1D1,
DD1,DC的中点,N是BC的中点,点M在四边形EFGH上及其内部运动,则M满足条件 时,有MN∥平面B1BDD1.
解析:如图所示,取B1C1中点Q,连接QN,QF,FH,
由已知得QN,FH与CC1,BB1都平行且相等,因此FH与QN平行且相等,
从而FQNH是平行四边形,则FQ∥HN.又H,N分别是CD,CB的中点,
则HN∥BD,又HN 平面B1BDD1,BD 平面B1BDD1,所以HN∥平面B1BDD1.
同理NQ∥平面B1BDD1,而HN∩NQ=N,HN,NQ 平面FQNH,
所以平面FQNH∥平面BB1D1D,
因此只要M∈FH,
就有MN∥平面B1BDD1.
答案:点M在线段FH上
学海拾贝
平行中的位置探索问题
[典例探究] 已知底面是平行四边形的四棱锥PABCD,点E在PD上,且PE∶ED=2∶1,在棱PC上是否存在一点F,使BF∥平面AEC 若存在,证明你的结论,并说出点F的位置;若不存在,请说明理由.
解:存在.证明如下:如图,连接BD交AC于点O,连接OE,过点B作OE的平行线交PD于点G,过点G作GF∥CE,交PC于点F,连接BF.
因为BG∥OE,BG 平面AEC,OE 平面AEC,所以BG∥平面AEC.
同理可证GF∥平面AEC.
又BG∩GF=G,BG 平面BGF,GF 平面BGF,
所以平面BGF∥平面AEC.又BF 平面BGF,
所以BF∥平面AEC.
因为BG∥OE,O是BD的中点,
所以E是GD的中点,
又因为PE∶ED=2∶1,所以G是PE的中点,
而GF∥CE,
所以F为PC的中点.
综上,当点F是PC的中点时,BF∥平面AEC.
平行中位置探索问题的求解方法
(1)求解在空间几何体的某条棱上是否存在一点使得线、面平行,并给出证明或说明理由的问题,解题时应先假设存在点满足题意,再证明;在找点时通常利用三角形中位线或者构造平行四边形.注意利用所给几何体中隐含的线线位置关系,当题目中有中点时,一般先探索中点,再用中位线定理找平行关系.
(2)探索面面平行问题时,利用面面平行的判定定理,找两条相交的直线分别证明它们平行于另一个平面.
[应用探究] 如图所示,在四棱锥CABED中,四边形ABED是正方形,G,F分别是线段EC,BD的中点.
(1)求证:GF∥平面ABC.
(2)线段BC上是否存在一点H,使得平面GFH∥平面ACD 若存在,请找出点H并证明;若不存在,请说明理由.
(1)证明:由四边形ABED为正方形可知,连接AE必与BD相交于中点F,又G是线段EC的中点,所以GF∥AC.
因为GF 平面ABC,AC 平面ABC,
所以GF∥平面ABC.
(2)解:如图,线段BC上存在一点H满足题意,且点H是BC中点.
证明如下:
由G,H分别为CE,CB的中点,
可得GH∥EB∥DA.
因为GH 平面ACD,
DA 平面ACD,所以GH∥平面ACD.
由(1)可知,GF∥AC,又GF 平面ACD,AC 平面ACD,所以GF∥平面ACD.
因为GF 平面GFH,GH 平面GFH,
GF∩GH=G,故平面GFH∥平面ACD.
当堂检测
1.已知平面α与圆台的上、下底面分别相交于直线m,n,则m,n的位置关系是( A )
A.平行 B.相交
C.异面 D.平行或异面
解析:因为圆台的上、下底面互相平行,所以由平面与平面平行的性质定理可知m∥n.故选A.
2.若一个平面内的两条直线分别平行于另一个平面内的两条直线,则这两个平面的位置关系是( C )
A.一定平行 B.一定相交
C.平行或相交 D.以上都不对
解析:当一个平面内的两条直线是相交直线时,可推出两个平面一定平行,否则两个平面有可能相交.故选C.
3.六棱柱ABCDEFA1B1C1D1E1F1的底面是正六边形,则此六棱柱的面中互相平行的有( D )
A.1对 B.2对 C.3对 D.4对
解析:如图所示,
平面ABB1A1∥平面EDD1E1,
平面BCC1B1∥平面FEE1F1,
平面AFF1A1∥平面CDD1C1,
平面ABCDEF∥平面A1B1C1D1E1F1,
所以此六棱柱的面中互相平行的有4对.故选D.
4.已知直线a∥平面α,平面α∥平面β,则直线a与平面β的位置关系为 .
解析:若a β,显然满足题目条件.若a β,过直线a作平面γ,γ∩α=b,γ∩β=c,于是由直线a∥平面α得a∥b,由α∥β得b∥c,所以a∥c,又a β,c β,所以a∥β.
答案:a β或a∥β
课时作业
选题明细表
知识点、方法 题号
两平面平行的性质与判定 1,2,3,4,5,9,12
两平面平行的应用 6,7,8,10,11,13,14
基础巩固
1.设m,n是空间中两条不同的直线,α,β是空间中两个不同的平面,那么下列说法正确的为( A )
A.若α∥β,m α,则m∥β
B.若α∥β,m α,n β,则m∥n
C.若m∥n,m α,则n∥α
D.若m∥n,m α,n β,则α∥β
解析:对于A,若α∥β,m α,则m∥β,故A正确;
对于B,若α∥β,m α,n β,则m∥n或m与n异面,故B错误;对于C,若m∥n,m α,则n∥α或n α,故C错误;对于D,若m∥n,m α,n β,则α∥β或α与β相交,故D错误.故选A.
2.在底面为平行四边形的四棱柱ABCDA1B1C1D1中,与平面BB1C1C平行的平面是( A )
A.平面AA1D1D B.平面AA1B1B
C.平面DD1C1C D.平面ABCD
解析:根据图形特征及平面与平面平行的判定定理知,平面BB1C1C∥平面AA1D1D.故选A.
3.平面α与平面β平行的充要条件是( D )
A.α内有无数条直线与β平行
B.α,β垂直于同一个平面
C.α,β平行于同一条直线
D.α内有两条相交直线都与β平行
解析:对于A,α内有无数条直线与β平行,可得α与β相交或α∥β;对于B,α与β垂直于同一个平面,可得α与β相交或α∥β;对于C,α与β平行于同一条直线,可得α与β相交或α∥β;对于D,α内有两条相交直线平行于β,结合面面平行的判定定理可得α∥β.
故选D.
4.如图,正方体 ABCDA1B1C1D1的棱长为3,点E在A1B1上,且B1E=1,平面α∥平面BC1E,若平面α∩平面AA1B1B=A1F,则AF的长为( A )
A.1 B.1.5
C.2 D.3
解析:平面α∥平面BC1E,
平面α∩平面 ABB1A1=A1F,
平面BC1E∩平面ABB1A1=BE,
所以A1F∥BE.又A1E∥FB,
所以四边形A1FBE为平行四边形,
所以FB=A1E=3-1=2,所以AF=1.故选A.
5.(多选题)在正方体ABCDA1B1C1D1中,E,F,G分别是棱A1B1,B1C1,BB1的中点,则( AC )
A.FG∥平面AA1D1D
B.EF∥平面BC1D1
C.FG∥平面BC1D1
D.平面EFG∥平面BC1D1
解析:因为在正方体ABCDA1B1C1D1中,E,F,G分别是棱A1B1,B1C1,BB1的中点,
所以 FG∥BC1.连接AD1,A1C1(图略),
因为BC1∥AD1,所以FG∥AD1.
又因为FG 平面AA1D1D,AD1 平面AA1D1D,
所以FG∥平面AA1D1D,故选项A正确;
因为EF∥A1C1,A1C1与平面BC1D1相交,
所以EF与平面BC1D1相交,故选项B错误;
因为FG∥BC1,FG 平面BC1D1,BC1 平面BC1D1,
所以FG∥平面BC1D1,故选项C正确;
因为EF与平面BC1D1相交,所以平面EFG与平面BC1D1相交,故选项D错误.故选AC.
6.在正四棱柱ABCDA1B1C1D1中,O为底面ABCD的中心,P是DD1的中点,设Q是CC1上的点,则点Q满足条件 时,有平面D1BQ∥平面PAO.
解析:如图,由题意知PO∥BD1,
若平面D1BQ∥平面PAO,
只需AP∥BQ,即只需Q是CC1的中点.
答案:Q为CC1的中点
7.如图,在长方体 ABCDA1B1C1D1 中,过BB1的中点E作一个与平面ACB1平行的平面交AB于点M,交BC于点N,则= .
解析:因为平面MNE∥平面ACB1,
由面面平行的性质定理可得EN∥B1C,EM∥B1A.
又因为E为BB1的中点,
所以M,N分别为BA,BC的中点,
所以MN=AC,
即=.
答案:
8.已知直线l与平面α,β,γ依次交于点A,B,C,直线m与平面α,β,γ依次交于点D,E,F,若α∥β∥γ,AB=EF=3,BC=4,则DE= .
解析:如图,连接CD交平面β于点G,连接EG,BG,AD,CF,设l与CD确定的平面为α1,
因为α∩α1=AD,β∩α1=BG,且α∥β,所以AD∥BG,所以=.同理可得,GE∥CF,=,
所以=,
所以DE===.
答案:
能力提升
9.(多选题)如图,在正方体 ABCDA1B1C1D1中,M,N,P,Q分别是线段C1D1,A1D1,BD1,BC的中点,则下列结论正确的是( AB )
A.MN∥平面APC
B.B1Q∥平面ADD1A1
C.A,P,M三点共线
D.平面MNQ∥平面ABCD
解析:平面APC即为平面ACC1A1,MN∥A1C1,MN 平面ACC1A1,A1C1 平面ACC1A1,所以MN∥平面ACC1A1,所以 A正确;由平面BCC1B1∥平面ADD1A1,又B1Q 平面BCC1B1,故B1Q∥平面ADD1A1,所以B正确;平面APC即为平面ACC1A1,A,P,C1三点共线,所以A,P,M三点不共线,所以C不正确;平面MNQ与平面ABCD是相交的,所以D不正确.故选AB.
10.如图,四棱锥PABCD的底面是平行四边形,PA=PB=AB=2,E,F分别是AB,CD的中点,平面AGF∥平面PEC,PD∩平面AGF=G,且PG=λGD,则λ= ,ED与AF相交于点H,则GH= .
解析:因为四边形ABCD是平行四边形,
所以AB∥CD,且AB=CD.
又E,F分别是AB,CD的中点,所以AE=FD,
又∠EAH=∠DFH,∠AEH=∠FDH,
所以△AEH≌△FDH,所以EH=DH.
因为平面AGF∥平面PEC,
平面PED∩平面AGF=GH,
平面PED∩平面PEC=PE,
所以GH∥PE,则G是PD的中点,即PG=GD,故λ=1.
因为PA=AB=PB=2,
所以PE=,GH=PE=.
答案:1
11.正方体ABCDA1B1C1D1中,E是棱CC1的中点,F是侧面BCC1B1内的动点,且A1F∥平面D1AE,若正方体ABCDA1B1C1D1的棱长是2,则线段A1F的最小值为 .
解析:设平面D1AE与直线BC交于点G,连接AG,EG,
则G为BC的中点,分别取B1B,B1C1的中点M,N,连接A1M,MN,A1N,
如图,因为A1M∥D1E,A1M 平面D1AE,D1E 平面D1AE.
所以A1M∥平面D1AE,同理可得MN∥平面D1AE,
又A1M,MN是平面A1MN内的两条相交直线,
所以平面A1MN∥平面D1AE,而A1F 平面A1MN,故A1F∥平面D1AE,
得点F的轨迹为线段MN,且MN=AD1=,又A1N=A1M==,
故A1F⊥MN时,线段A1F取最小值,此时A1F===.
答案:
12.在正方体ABCDA1B1C1D1中,M,N,P分别是AD1,BD和B1C的中点.
求证:
(1)MN∥平面CC1D1D;
(2)平面MNP∥平面CC1D1D.
证明:(1)连接AC,CD1(图略),
因为四边形ABCD是正方形,N是BD的中点,
所以N是AC的中点.
又因为M是AD1的中点,
所以MN∥CD1.
因为MN 平面CC1D1D,CD1 平面CC1D1D,
所以MN∥平面CC1D1D.
(2)连接BC1,C1D(图略),
因为四边形B1BCC1是正方形,P是B1C的中点,
所以P是BC1的中点.
又因为N是BD的中点,
所以PN∥C1D.
因为PN 平面CC1D1D,C1D 平面CC1D1D,
所以PN∥平面CC1D1D,
由(1)得MN∥平面CC1D1D,且MN∩PN=N,MN 平面MNP,PN 平面MNP,
所以平面MNP∥平面CC1D1D.
13.如图所示的一块四棱柱木料ABCDA1B1C1D1,底面ABCD 是梯形,且CD∥AB.
(1)要经过上底面A1B1C1D1内的一点P和侧棱DD1将木料锯开,应怎样画线
(2)所画的线之间有什么位置关系
解:(1)如图所示,连接D1P并延长交A1B1于点E,过E作EF∥AA1交AB于点F,连接DF,则D1E,EF,FD就是应画的线.
(2)由DD1∥AA1,EF∥AA1,即D1D∥EF,
所以D1D与EF确定一个平面α,又平面ABCD∥平面A1B1C1D1,平面α∩平面ABCD=DF,
平面α∩平面A1B1C1D1=D1E,
所以D1E∥DF,显然DF,D1E都与EF相交.
应用创新
14.如图所示,在棱长为2的正方体ABCDA1B1C1D1中,P是A1B1的中点,过点A1作与截面PBC1平行的截面,则截面的面积是 .
解析:如图,取AB,C1D1的中点M,N,连接A1M,MC,CN,NA1.
显然A1N∥PC1∥MC,
且A1N=PC1=MC,
所以四边形A1MCN是平行四边形.
又因为A1N∥PC1,A1M∥PB,A1N∩A1M=A1,
PC1∩PB=P,且A1M,A1N 平面A1MCN,PC1,PB 平面PBC1,
所以平面A1MCN∥平面PBC1.
因此,过点A1作与截面PBC1平行的截面是平行四边形A1MCN.
如图,连接MN,作A1H⊥MN于点H,
易求A1M=A1N=,MN=2,
则A1H=.
所以=×2×=,
故S截面面积=2=2.
答案:2
