§5 垂直关系
5.1 直线与平面垂直
学习目标
1.理解并掌握直线与平面垂直的定义、性质定理、判定定理,并能用来解决实际问题,培养直观想象与逻辑推理的核心素养.
2.会求点到直线的距离,提升数学抽象、逻辑推理与数学运算的核心素养.
3.理解并掌握直线与平面的夹角的概念,会求直线与平面的夹角,增强数学抽象、逻辑推理与数学运算的核心素养.
知识探究
知识点1 直线与平面垂直
(1)定义.
定义 如果直线l与平面α内的任何一条直线都垂直,那么称直线l与平面α垂直
记法 l⊥α
有关概念 直线l称为平面α的垂线,平面α称为直线l的垂面,它们唯一的公共点P称为垂足
图示
画法 画直线与平面垂直时,通常把直线画成与表示平面的平行四边形的一边垂直
(2)点到平面的距离.
点到平面的距离 从平面外一点作一个平面的垂线,这个点和垂足间的距离称为点到平面的距离
直线到平面的距离 如果一条直线与平面平行,那么这条直线上任意一点到平面的距离就是这条直线到这个平面的距离
[思考1] 直线与平面垂直定义中的关键词“任何一条直线”是否可以换成“所有直线”“无数条直线”
提示:定义中的“任何一条直线”与“所有直线”是等价的,但是不可以换成“无数条直线”,因为一条直线与某平面内无数条平行直线垂直,该直线与这个平面不一定垂直.
知识点2 直线与平面垂直的性质定理
文字语言 垂直于同一个平面的两条直线平行
符号语言 a∥b
图形语言
作用 ①线面垂直 线线平行; ②作平行线
[思考2] 过平面外一点可以作几条直线与已知平面垂直
提示:过平面外一点只能作一条直线与已知平面垂直.
[思考3] 两条异面直线能垂直于同一平面吗
提示:不能.
[思考4] 直线与平面垂直时,直线与平面内的直线有什么位置关系
提示:垂直.
[思考5] 平面外的任意一条直线都与平面有距离吗
提示:只有直线与平面平行时直线与平面才有距离.
知识点3 直线与平面的夹角
有关概念 对应图形
斜线 一条直线与一个平面α相交,但不与这个平面垂直,图中直线PA
斜足 斜线与平面的交点(图中点A)
斜线在 平面上 的投影 过斜线上斜足以外的一点P向平面作垂线,过垂足O和斜足A的直线AO称为斜线在这个平面上的投影
斜线与 平面的 夹角 定义:平面的一条斜线与它在平面上的投影所成的锐角. 规定:一条直线垂直于平面,我们说它们的夹角是直角;一条直线与平面平行,或在平面内,就说它们的夹角是0°
取值 范围 [0°,90°]
[做一做] 矩形ABCD中,AB=1,BC=,PA⊥平面ABCD,PA=1,则PC与平面ABCD的夹角是 .
知识点4 直线与平面垂直的判定定理
文字语言 如果一条直线与一个平面内的两条相交直线垂直,那么该直线与此平面垂直
符号语言 a α,b α,l⊥a,l⊥b,a∩b=P l⊥α
图形语言
[思考6] 直线与平面垂直的判定定理中的“两条相交直线”能去掉“相交”吗
提示:不能.
探究点一 直线与平面垂直的性质
[例1] 如图,AE和CD都垂直于平面ABC,且AE=2CD,F是BE的中点,求证:DF∥平面ABC.
涉及线面平行或线线平行的问题中,若已知条件中含直线与平面垂直,常利用直线与平面垂直的性质求解.
[针对训练] 如图所示,在三棱锥PABC中,PA⊥平面ABC,D是侧面PBC上的一点,过D作平面ABC的垂线DE,其中D PC,求证:DE∥平面PAC.
探究点二 直线与平面垂直的判定
[例2] 如图,P为△ABC所在平面外一点,PA⊥平面ABC,∠ABC=
90°,AE⊥PB于点E,AF⊥PC于点F.求证:
(1)BC⊥平面PAB;
(2)AE⊥平面PBC;
(3)PC⊥平面AEF.
(1)线线垂直证明线面垂直
①定义法(不常用,但由线面垂直可得出线线垂直).
②判定定理:寻找平面内两条相交直线(有时作辅助线);结合平面图形的性质(如勾股定理逆定理、等腰三角形底边中线等)及一条直线与平行线中一条垂直,也与另一条垂直等结论来论证线线垂直.
(2)平行转化法(利用推论)
①a∥b,a⊥α b⊥α;②α∥β,a⊥α a⊥β.
[针对训练] 如图,在△ABC中,∠ABC=90°,D是AC的中点,S是△ABC所在平面外一点,且SA=SB=SC.
(1)求证:SD⊥平面ABC.
(2)若AB=BC,求证:BD⊥平面SAC.
探究点三 直线与平面的夹角
[例3] 在正方体ABCDA1B1C1D1中.
(1)求直线A1C与平面ABCD的夹角的正切值.
(2)求直线A1B与平面BDD1B1的夹角.
求直线与平面的夹角的方法
(1)求直线与平面的夹角的步骤:①寻找过斜线上一点与平面垂直的直线;②连接垂足和斜足得到斜线在平面上的投影,斜线与其投影所成的锐角即为所求的角;③把该角归结在某个三角形中,通过解三角形,求出该角.
(2)求直线与平面的夹角的技巧:在上述步骤中,作角是关键,而确定斜线在平面上的投影是作角的关键,几何图形的特征是找投影的依据,斜线上斜足以外一点在平面上的投影一般都是一些特殊的点,比如中心、垂心、重心等.
[针对训练] 如图,在长方体ABCDA1B1C1D1中,AB=BC=2,AA1=1,则AC1与平面A1B1C1D1的夹角的正弦值为( )
A. B. C. D.
学海拾贝
空间距离的求法
[典例探究] 如图,P是正方形ABCD所在平面外一点,PA⊥AB,PA⊥AD,Q是PA的中点,PA=4,AB=2.
(1)求证:PC⊥BD.
(2)求点Q到BD的距离.
(3)求点P到平面QBD的距离.
点到平面距离的求法
(1)直接法:过点P作一平面与平面α垂直,再过点P作两平面的交线的垂线即可.
(2)线面平行法:若过点P有一直线l∥平面α,则直线l上的任一点到平面α的距离等于点P到平面α的距离.
[应用探究] 正方体ABCDA1B1C1D1的棱长为2,直线AA1到平面BB1D1D的距离是( )
A.1 B. C. D.
当堂检测
1.△ABC所在的平面为α,直线l⊥AB,l⊥AC,直线m⊥BC,m⊥AC,则直线l,m的位置关系是( )
A.相交 B.异面
C.平行 D.不确定
2.若点A,B在平面α的同侧,点A,B到α的距离分别为3和5,则AB的中点到α的距离为( )
A.4 B.3 C.2 D.1
3.(多选题)如图,PA垂直于以AB为直径的圆所在的平面,C为圆上异于A,B的任一点,则下列关系正确的是( )
A.PA⊥BC
B.BC⊥平面PAC
C.AC⊥PB
D.PC⊥BC
4.已知线段AB的长等于它在平面α上的投影长的2倍,则AB所在的直线与平面α的夹角为( )
A.30° B.45°
C.60° D.120°
课时作业
选题明细表
知识点、方法 题号
线面垂直的定义、判定、性质 1,2,4,5,6,12
点面距离、直线与平面的夹角 3,7,8,9
线面垂直的综合应用 10,11,13,14
基础巩固
1.垂直于梯形两腰的直线与梯形所在平面的位置关系是( )
A.垂直 B.相交但不垂直
C.平行 D.不确定
2.设m,n是两条不同的直线,α,β是两个不同的平面,且m α,α∥β,则“n⊥β”是“n⊥m”的( )
A.充分而不必要条件
B.必要而不充分条件
C.充要条件
D.既不充分也不必要条件
3.若两条不同的直线与同一平面所成的角相等,则这两条直线( )
A.平行 B.相交
C.异面 D.以上皆有可能
4.空间四边形ABCD的四边相等,则它的两对角线AC,BD的关系是( )
A.垂直且相交 B.相交但不一定垂直
C.垂直但不相交 D.不垂直也不相交
5.如图,在正方形ABCD中,E,F分别是BC,CD的中点,G是EF的中点,沿AE,AF及EF把这个正方形折成一个空间图形,使B,C,D三点重合,重合后的点记为H,那么在这个空间图形中必有( )
A.AG⊥平面EFH
B.AH⊥平面EFH
C.HF⊥平面AEF
D.HG⊥平面AEF
6.平行四边形ABCD的对角线交点为O,点P在平行四边形ABCD所在平面外,且PA=PC,PD=PB,则PO与平面ABCD的位置关系是 .
7.如图,在棱长为2的正方体ABCDA1B1C1D1中,E是AD的中点,F是BB1的中点,则直线EF与平面ABCD夹角的正切值为 .
8.已知在三棱锥SABC中,底面ABC为边长等于2的等边三角形,SA垂直于底面ABC,SA=3,那么直线AB与平面SBC所成角的正弦值为 .
能力提升
9.在直三棱柱ABCA1B1C1中,底面是等腰直角三角形,BA=BC=3,
BB1=,则AB1与平面AA1C1C夹角的正弦值为( )
A. B.
C. D.
10.如图,正方体ABCDA1B1C1D1的棱长为1,O是底面A1B1C1D1的中心,则点O到平面ABC1D1的距离为( )
A. B. C. D.
11.在正四棱柱ABCDA1B1C1D1中,已知AB=AA1=2,O为棱C1D1的中点,则线段OA在平面OBC上的射影的长度为 .
12.如图所示,AB为☉O的直径,C为☉O上异于A,B的一点,AD⊥平面ABC,AE⊥BD于点E,AF⊥CD于点F.求证:BD⊥平面AEF.
13.如图,在直三棱柱ABCA1B1C1中,点M在棱AC上,点N为A1C1的中点,且平面A1BM∥平面B1CN,AB=BC,AC=2,AA1=.
(1)求证:M是AC的中点.
(2)求证:AC1⊥平面A1BM.
应用创新
14.如图所示,在矩形ABCD中,AB=3,BC=3,沿对角线BD将△BCD折起,使点C移到点C′,且点C′在平面ABD上的投影O恰在AB上.
(1)求证:BC′⊥平面AC′D.
(2)求直线AB与平面BC′D夹角的正弦值.§5 垂直关系
5.1 直线与平面垂直
学习目标
1.理解并掌握直线与平面垂直的定义、性质定理、判定定理,并能用来解决实际问题,培养直观想象与逻辑推理的核心素养.
2.会求点到直线的距离,提升数学抽象、逻辑推理与数学运算的核心素养.
3.理解并掌握直线与平面的夹角的概念,会求直线与平面的夹角,增强数学抽象、逻辑推理与数学运算的核心素养.
知识探究
知识点1 直线与平面垂直
(1)定义.
定义 如果直线l与平面α内的任何一条直线都垂直,那么称直线l与平面α垂直
记法 l⊥α
有关概念 直线l称为平面α的垂线,平面α称为直线l的垂面,它们唯一的公共点P称为垂足
图示
画法 画直线与平面垂直时,通常把直线画成与表示平面的平行四边形的一边垂直
(2)点到平面的距离.
点到平面的距离 从平面外一点作一个平面的垂线,这个点和垂足间的距离称为点到平面的距离
直线到平面的距离 如果一条直线与平面平行,那么这条直线上任意一点到平面的距离就是这条直线到这个平面的距离
[思考1] 直线与平面垂直定义中的关键词“任何一条直线”是否可以换成“所有直线”“无数条直线”
提示:定义中的“任何一条直线”与“所有直线”是等价的,但是不可以换成“无数条直线”,因为一条直线与某平面内无数条平行直线垂直,该直线与这个平面不一定垂直.
知识点2 直线与平面垂直的性质定理
文字语言 垂直于同一个平面的两条直线平行
符号语言 a∥b
图形语言
作用 ①线面垂直 线线平行; ②作平行线
[思考2] 过平面外一点可以作几条直线与已知平面垂直
提示:过平面外一点只能作一条直线与已知平面垂直.
[思考3] 两条异面直线能垂直于同一平面吗
提示:不能.
[思考4] 直线与平面垂直时,直线与平面内的直线有什么位置关系
提示:垂直.
[思考5] 平面外的任意一条直线都与平面有距离吗
提示:只有直线与平面平行时直线与平面才有距离.
知识点3 直线与平面的夹角
有关概念 对应图形
斜线 一条直线与一个平面α相交,但不与这个平面垂直,图中直线PA
斜足 斜线与平面的交点(图中点A)
斜线在 平面上 的投影 过斜线上斜足以外的一点P向平面作垂线,过垂足O和斜足A的直线AO称为斜线在这个平面上的投影
斜线与 平面的 夹角 定义:平面的一条斜线与它在平面上的投影所成的锐角. 规定:一条直线垂直于平面,我们说它们的夹角是直角;一条直线与平面平行,或在平面内,就说它们的夹角是0°
取值 范围 [0°,90°]
[做一做] 矩形ABCD中,AB=1,BC=,PA⊥平面ABCD,PA=1,则PC与平面ABCD的夹角是 .
解析:由题意知∠PCA为PC与平面ABCD的夹角.
在Rt△PAC中,tan∠PCA===,
所以∠PCA=30°.
答案:30°
知识点4 直线与平面垂直的判定定理
文字语言 如果一条直线与一个平面内的两条相交直线垂直,那么该直线与此平面垂直
符号语言 a α,b α,l⊥a,l⊥b,a∩b=P l⊥α
图形语言
[思考6] 直线与平面垂直的判定定理中的“两条相交直线”能去掉“相交”吗
提示:不能.
探究点一 直线与平面垂直的性质
[例1] 如图,AE和CD都垂直于平面ABC,且AE=2CD,F是BE的中点,求证:DF∥平面ABC.
证明:如图,取AB的中点G,连接FG,CG,可得FG∥AE,FG=AE.
因为CD⊥平面ABC,AE⊥平面ABC,所以CD∥AE.
又因为CD=AE,所以FG∥CD,FG=CD,所以四边形CDFG是平行四边形,所以DF∥CG.
又因为CG 平面ABC,DF 平面ABC,所以DF∥平面ABC.
涉及线面平行或线线平行的问题中,若已知条件中含直线与平面垂直,常利用直线与平面垂直的性质求解.
[针对训练] 如图所示,在三棱锥PABC中,PA⊥平面ABC,D是侧面PBC上的一点,过D作平面ABC的垂线DE,其中D PC,求证:DE∥平面PAC.
证明:因为DE⊥平面ABC,PA⊥平面ABC,
所以DE∥PA.
又DE 平面PAC,PA 平面PAC,
所以DE∥平面PAC.
探究点二 直线与平面垂直的判定
[例2] 如图,P为△ABC所在平面外一点,PA⊥平面ABC,∠ABC=
90°,AE⊥PB于点E,AF⊥PC于点F.求证:
(1)BC⊥平面PAB;
(2)AE⊥平面PBC;
(3)PC⊥平面AEF.
证明:(1)因为PA⊥平面ABC,BC 平面ABC,
所以PA⊥BC.
因为∠ABC=90°,所以AB⊥BC.
又AB∩PA=A,PA 平面PAB,AB 平面PAB,所以BC⊥平面PAB.
(2)因为BC⊥平面PAB,AE 平面PAB,
所以BC⊥AE.
又因为PB⊥AE,BC∩PB=B,BC 平面PBC,PB 平面PBC,
所以AE⊥平面PBC.
(3)因为AE⊥平面PBC,PC 平面PBC,
所以AE⊥PC.因为AF⊥PC,AE∩AF=A,AE 平面AEF,AF 平面AEF,
所以PC⊥平面AEF.
(1)线线垂直证明线面垂直
①定义法(不常用,但由线面垂直可得出线线垂直).
②判定定理:寻找平面内两条相交直线(有时作辅助线);结合平面图形的性质(如勾股定理逆定理、等腰三角形底边中线等)及一条直线与平行线中一条垂直,也与另一条垂直等结论来论证线线垂直.
(2)平行转化法(利用推论)
①a∥b,a⊥α b⊥α;②α∥β,a⊥α a⊥β.
[针对训练] 如图,在△ABC中,∠ABC=90°,D是AC的中点,S是△ABC所在平面外一点,且SA=SB=SC.
(1)求证:SD⊥平面ABC.
(2)若AB=BC,求证:BD⊥平面SAC.
证明:(1)因为SA=SC,D是AC的中点,
所以SD⊥AC.
在Rt△ABC中,AD=BD,
由已知SA=SB,所以△ADS≌△BDS,
所以SD⊥BD,又AC∩BD=D,AC 平面ABC,BD 平面ABC,
所以SD⊥平面ABC.
(2)因为AB=BC,D为AC的中点,
所以BD⊥AC,由(1)知SD⊥BD,
又因为SD∩AC=D,SD 平面SAC,AC 平面SAC,
所以BD⊥平面SAC.
探究点三 直线与平面的夹角
[例3] 在正方体ABCDA1B1C1D1中.
(1)求直线A1C与平面ABCD的夹角的正切值.
(2)求直线A1B与平面BDD1B1的夹角.
解:(1)连接AC.因为直线A1A⊥平面ABCD,
所以∠A1CA为直线A1C与平面ABCD的夹角,
设A1A=1,则AC=,
所以tan∠A1CA=.
(2)如图,连接A1C1交B1D1于点O,
在正方形A1B1C1D1中,
A1C1⊥B1D1.
因为BB1⊥平面
A1B1C1D1,
A1C1 平面A1B1C1D1,
所以BB1⊥A1C1.
又BB1∩B1D1=B1,BB1 平面BDD1B1,B1D1 平面BDD1B1,
所以A1C1⊥平面BDD1B1,垂足为O,连接BO.
所以∠A1BO为直线A1B与平面BDD1B1的夹角,
在Rt△A1BO中,A1O=A1C1=A1B,
sin∠A1BO==,所以∠A1BO=30°.
即直线A1B与平面BDD1B1的夹角为30°.
求直线与平面的夹角的方法
(1)求直线与平面的夹角的步骤:①寻找过斜线上一点与平面垂直的直线;②连接垂足和斜足得到斜线在平面上的投影,斜线与其投影所成的锐角即为所求的角;③把该角归结在某个三角形中,通过解三角形,求出该角.
(2)求直线与平面的夹角的技巧:在上述步骤中,作角是关键,而确定斜线在平面上的投影是作角的关键,几何图形的特征是找投影的依据,斜线上斜足以外一点在平面上的投影一般都是一些特殊的点,比如中心、垂心、重心等.
[针对训练] 如图,在长方体ABCDA1B1C1D1中,AB=BC=2,AA1=1,则AC1与平面A1B1C1D1的夹角的正弦值为( )
A. B. C. D.
解析:因为AA1⊥平面A1B1C1D1,
所以∠AC1A1为直线AC1与平面A1B1C1D1的夹角.因为AA1=1,AB=BC=2,所以AC1=3,所以sin∠AC1A1==.故选D.
学海拾贝
空间距离的求法
[典例探究] 如图,P是正方形ABCD所在平面外一点,PA⊥AB,PA⊥AD,Q是PA的中点,PA=4,AB=2.
(1)求证:PC⊥BD.
(2)求点Q到BD的距离.
(3)求点P到平面QBD的距离.
(1)证明:如图,连接AC.因为PA⊥AB,PA⊥AD,AB∩AD=A,AB,
AD 平面ABCD,
所以PA⊥平面ABCD.
又BD 平面ABCD,
所以PA⊥BD.
因为四边形ABCD是正方形,所以AC⊥BD.
因为PA∩AC=A,PA,AC 平面PAC,
所以BD⊥平面PAC.
又PC 平面PAC,
所以PC⊥BD.
(2)解:设AC∩BD=O,连接OQ,因为Q为PA的中点,O为AC的中点,
所以OQ∥PC.
因为PC⊥BD,所以OQ⊥BD,
所以线段OQ的长度就是点Q到BD的距离.
因为AB=2,所以AC=2,
所以OA=.因为PA=4,所以QA=2,
所以OQ==,
即点Q到BD的距离为.
(3)解:由点Q是PA的中点,可知点P到平面QBD的距离就是点A到平面QBD的距离.
过A作AH⊥OQ于点H.
因为AH 平面PAC,
所以BD⊥AH.
又因为AH⊥OQ,OQ∩BD=O,OQ 平面QBD,BD 平面QBD,
所以AH⊥平面QBD,
所以线段AH的长度就是点A到平面QBD的距离.
在△QAO中,OQ=,AQ=2,AO=,
所以AH===,
即点P到平面QBD的距离为.
点到平面距离的求法
(1)直接法:过点P作一平面与平面α垂直,再过点P作两平面的交线的垂线即可.
(2)线面平行法:若过点P有一直线l∥平面α,则直线l上的任一点到平面α的距离等于点P到平面α的距离.
[应用探究] 正方体ABCDA1B1C1D1的棱长为2,直线AA1到平面BB1D1D的距离是( )
A.1 B. C. D.
解析:如图所示,连接AC交BD于点O,在正方体中,AA1∥BB1,
又AA1 平面BB1D1D,BB1 平面BB1D1D,所以AA1∥平面BB1D1D,所以点A到平面BB1D1D的距离即为直线AA1到平面BB1D1D的距离.
在正方体ABCDA1B1C1D1中,AC⊥BD,
BB1⊥平面ABCD,
又AC 平面ABCD,
所以AC⊥BB1.又BD∩BB1=B,
BD,BB1 平面BB1D1D,所以AC⊥平面BB1D1D,故线段AO的长度即为点A到平面BB1D1D的距离,
AO=AC=×=,所以直线AA1到平面BB1D1D的距离为.
故选C.
当堂检测
1.△ABC所在的平面为α,直线l⊥AB,l⊥AC,直线m⊥BC,m⊥AC,则直线l,m的位置关系是( C )
A.相交 B.异面
C.平行 D.不确定
解析:因为l⊥AB,l⊥AC,且AB∩AC=A,
所以l⊥平面ABC.
同理可证m⊥平面ABC,
所以l∥m.故选C.
2.若点A,B在平面α的同侧,点A,B到α的距离分别为3和5,则AB的中点到α的距离为( A )
A.4 B.3 C.2 D.1
解析:由题意知,如图,过A,B分别作平面的垂线,则四边形ABB′A′为直角梯形,则AB的中点到平面的距离为==4.故选A.
3.(多选题)如图,PA垂直于以AB为直径的圆所在的平面,C为圆上异于A,B的任一点,则下列关系正确的是( ABD )
A.PA⊥BC
B.BC⊥平面PAC
C.AC⊥PB
D.PC⊥BC
解析:由PA垂直于以AB为直径的圆所在的平面,可知PA⊥BC,故A正确;由题意可知BC⊥AC,PA⊥BC,因为PA 平面PAC,AC 平面PAC,AC∩PA=A,所以BC⊥平面PAC,故B正确;因为BC⊥平面PAC,PC 平面PAC,所以BC⊥PC,故D正确;若AC⊥PB,又因为AC⊥BC,PB∩BC=B,PB 平面PBC,BC 平面PBC,所以AC⊥平面PBC,与题意不符,故C错误.故选ABD.
4.已知线段AB的长等于它在平面α上的投影长的2倍,则AB所在的直线与平面α的夹角为( C )
A.30° B.45°
C.60° D.120°
解析:如图,AC⊥α,AB∩α=B,则BC是AB在平面α上的投影.因为BC=AB,所以∠ABC=60°,它是AB所在的直线与平面α的夹角.故选C.
课时作业
选题明细表
知识点、方法 题号
线面垂直的定义、判定、性质 1,2,4,5,6,12
点面距离、直线与平面的夹角 3,7,8,9
线面垂直的综合应用 10,11,13,14
基础巩固
1.垂直于梯形两腰的直线与梯形所在平面的位置关系是( A )
A.垂直 B.相交但不垂直
C.平行 D.不确定
解析:因为梯形两腰所在直线为两条相交直线,所以由线面垂直的判定定理知,直线与平面垂直.故选A.
2.设m,n是两条不同的直线,α,β是两个不同的平面,且m α,α∥β,则“n⊥β”是“n⊥m”的( A )
A.充分而不必要条件
B.必要而不充分条件
C.充要条件
D.既不充分也不必要条件
解析:因为α∥β,当n⊥β时,n⊥α,又m α,所以n⊥m,即n⊥β可以推出n⊥m,如图,在正方体中,取平面ABCD为α平面,平面A1B1C1D1为β平面,直线BC为直线m,直线C1D1为直线n,显然有m α,α∥β,n⊥m,但n β,即n⊥m推不出n⊥β,所以“n⊥β”是“n⊥m”的充分不必要条件.故选A.
3.若两条不同的直线与同一平面所成的角相等,则这两条直线( D )
A.平行 B.相交
C.异面 D.以上皆有可能
解析:在正方体ABCDA1B1C1D1中,A1A,B1B与底面ABCD所成的角相等,此时两直线平行;A1B1,B1C1与底面ABCD所成的角相等,此时两直线相交;A1B1,BC与底面ABCD所成的角相等,此时两直线异面.故选D.
4.空间四边形ABCD的四边相等,则它的两对角线AC,BD的关系是( C )
A.垂直且相交 B.相交但不一定垂直
C.垂直但不相交 D.不垂直也不相交
解析:如图,取BD的中点O,
连接AO,CO,
则BD⊥AO,BD⊥CO,
且AO∩CO=O,AO 平面AOC,CO 平面AOC,
所以BD⊥平面AOC.
又AC 平面AOC,
所以BD⊥AC,
又BD,AC异面,故C符合题意.故选C.
5.如图,在正方形ABCD中,E,F分别是BC,CD的中点,G是EF的中点,沿AE,AF及EF把这个正方形折成一个空间图形,使B,C,D三点重合,重合后的点记为H,那么在这个空间图形中必有( B )
A.AG⊥平面EFH
B.AH⊥平面EFH
C.HF⊥平面AEF
D.HG⊥平面AEF
解析:根据折叠前、后AH⊥HE,AH⊥HF不变,又HE∩HF=H,HE,HF 平面EFH,
所以AH⊥平面EFH.故选B.
6.平行四边形ABCD的对角线交点为O,点P在平行四边形ABCD所在平面外,且PA=PC,PD=PB,则PO与平面ABCD的位置关系是 .
解析:因为PA=PC,O是AC的中点,所以PO⊥AC,同理PO⊥BD,又AC 平面ABCD,BD 平面ABCD,AC∩BD=O,所以PO⊥平面ABCD.
答案:垂直
7.如图,在棱长为2的正方体ABCDA1B1C1D1中,E是AD的中点,F是BB1的中点,则直线EF与平面ABCD夹角的正切值为 .
解析:如图,连接EB,由BB1⊥平面ABCD,知∠FEB即为直线EF与平面ABCD的夹角.在Rt△FBE中,BF=1,BE=,则tan∠FEB==.
答案:
8.已知在三棱锥SABC中,底面ABC为边长等于2的等边三角形,SA垂直于底面ABC,SA=3,那么直线AB与平面SBC所成角的正弦值为 .
解析:如图所示,取BC的中点D,连接SD,AD,则BC⊥AD.
过点A作AG⊥SD于点G,
连接GB.
因为SA⊥底面ABC,
BC 平面ABC,
所以BC⊥SA.
又SA∩AD=A,所以BC⊥平面SAD.
又AG 平面SAD,
所以AG⊥BC.
又AG⊥SD,SD∩BC=D,
所以AG⊥平面SBC,
所以∠ABG即为直线AB与平面SBC所成的角.
因为AB=2,SA=3,
所以AD=,SD=2.
在Rt△SAD中,AG==,
所以sin∠ABG===.
答案:
能力提升
9.在直三棱柱ABCA1B1C1中,底面是等腰直角三角形,BA=BC=3,
BB1=,则AB1与平面AA1C1C夹角的正弦值为( C )
A. B.
C. D.
解析:如图,取A1C1的中点M,连接AM,B1M,
因为三棱柱ABCA1B1C1为直三棱柱,
则AA1⊥平面A1B1C1,
又B1M 平面A1B1C1,
所以B1M⊥AA1.
又由题意可知△A1B1C1为等腰直角三角形,且M为斜边的中点,从而B1M⊥A1C1,
而A1C1 平面AA1C1C,AA1 平面AA1C1C,且A1C1∩AA1=A1,
所以B1M⊥平面AA1C1C,则∠B1AM为AB1与平面AA1C1C的夹角.在Rt△AB1M中,sin∠B1AM===.
故选C.
10.如图,正方体ABCDA1B1C1D1的棱长为1,O是底面A1B1C1D1的中心,则点O到平面ABC1D1的距离为( B )
A. B. C. D.
解析:如图,过点O作A1B1的平行线,交B1C1于点E,连接B1C,
则点O到平面ABC1D1的距离即为点E到平面ABC1D1的距离.
如图,作EF⊥BC1于点F,AB⊥平面BCC1B1,B1C 平面BCC1B1,所以AB⊥B1C,且B1C⊥BC1,AB∩BC1=B,AB 平面ABC1D1,BC1 平面ABC1D1,
所以B1C⊥平面ABC1D1,又EF∥B1C,
所以EF⊥平面ABC1D1,可得EF=B1C=.故选B.
11.在正四棱柱ABCDA1B1C1D1中,已知AB=AA1=2,O为棱C1D1的中点,则线段OA在平面OBC上的射影的长度为 .
解析:如图所示,取A1B1中点E,连接OE,BE,
则OE∥B1C1∥BC,OE=B1C1=2,点O,E,B,C四点共面,BE===,cos∠EBB1==.
过点A作AF⊥BE于点F,连接OF,
则∠EBB1=∠FAB,
在Rt△ABF中,cos∠FAB==,解得AF=,
BF===,
则EF=BE-BF=-=.
由正四棱柱ABCDA1B1C1D1得,B1C1⊥平面A1B1BA,则OE⊥平面A1B1BA,
又AF,EF 平面A1B1BA,
所以OE⊥AF,OE⊥EF,
所以OF===.
因为OE⊥AF,AF⊥BE,OE,BE 平面OEBC,且OE∩BE=E,
OE,BE 平面OEBC,
所以AF⊥平面OEBC,所以线段OA在平面OBC上的射影为线段OF=.
答案:
12.如图所示,AB为☉O的直径,C为☉O上异于A,B的一点,AD⊥平面ABC,AE⊥BD于点E,AF⊥CD于点F.求证:BD⊥平面AEF.
证明:因为AB为☉O的直径,C为☉O上异于A,B的一点,所以BC⊥AC.
因为DA⊥平面ABC,BC 平面ABC,
所以DA⊥BC.
又DA∩AC=A,DA 平面DAC,AC 平面DAC,所以BC⊥平面DAC.
又AF 平面DAC,则BC⊥AF,
又AF⊥DC,DC∩BC=C,DC 平面BCD,BC 平面BCD,所以AF⊥平面BCD.
又BD 平面BCD,所以AF⊥BD.
又因为AE⊥BD,AE∩AF=A,AE 平面AEF,AF 平面AEF,
所以BD⊥平面AEF.
13.如图,在直三棱柱ABCA1B1C1中,点M在棱AC上,点N为A1C1的中点,且平面A1BM∥平面B1CN,AB=BC,AC=2,AA1=.
(1)求证:M是AC的中点.
(2)求证:AC1⊥平面A1BM.
证明:(1)如图,连接AB1,与A1B交于点O,O为AB1的中点,连接OM,
因为平面A1BM∥平面B1CN,平面AB1C∩平面A1BM=OM,
平面B1NC∩平面AB1C=B1C,所以OM∥B1C,
又在△AB1C中,O为AB1的中点,所以M是AC的中点.
(2)因为AA1⊥底面ABC,BM 平面ABC,所以AA1⊥BM,
又M为棱AC的中点,AB=BC,所以BM⊥AC.
因为AA1∩AC=A,AA1,AC 平面ACC1A1,
所以BM⊥平面ACC1A1,
因为AC1 平面ACC1A1,
所以BM⊥AC1,
因为AC=2,所以AM=1,又AA1=,
在Rt△ACC1和Rt△A1AM中,tan∠AC1C=tan∠A1MA=,
所以∠AC1C=∠A1MA,
即∠AC1C+∠C1AC=∠A1MA+∠C1AC=90°,所以A1M⊥AC1,
又BM∩A1M=M,BM,A1M 平面A1BM,所以AC1⊥平面A1BM.
应用创新
14.如图所示,在矩形ABCD中,AB=3,BC=3,沿对角线BD将△BCD折起,使点C移到点C′,且点C′在平面ABD上的投影O恰在AB上.
(1)求证:BC′⊥平面AC′D.
(2)求直线AB与平面BC′D夹角的正弦值.
(1)证明:因为点C′在平面ABD上的投影O在AB上,
所以C′O⊥平面ABD.又因为DA 平面ABD,所以C′O⊥DA.
又因为DA⊥AB,AB∩C′O=O,AB,C′O 平面ABC′,
所以DA⊥平面ABC′.因为BC′ 平面ABC′,所以DA⊥BC′.
又因为BC⊥CD,所以BC′⊥C′D.
因为DA∩C′D=D,DA,C′D 平面AC′D,
所以BC′⊥平面AC′D.
(2)解:如图所示,过A作AE⊥C′D,垂足为E.
因为BC′⊥平面AC′D,
所以BC′⊥AE.
又因为AE⊥C′D,BC′∩C′D=C′,
C′D,BC′ 平面BC′D,
所以AE⊥平面BC′D.
如图,连接BE,则BE是AB在平面BC′D上的投影,
故∠ABE就是直线AB与平面BC′D的夹角.
因为DA⊥AB,DA⊥BC′,AB∩BC′=B,AB,BC′ 平面ABC′,
所以DA⊥平面ABC′,所以DA⊥AC′.
在Rt△AC′B中,AC′==3.
在Rt△BC′D中,C′D=CD=3.
在Rt△C′AD中,由面积关系,得AE===.
所以在Rt△AEB中,
sin∠ABE===.
即直线AB与平面BC′D的夹角的正弦值为.
