第2课时 平面与平面垂直的判定
学习目标
1.理解并掌握两个平面垂直的判定定理及其简单应用,培养逻辑推理和数学抽象的核心素养.
2.能够综合应用线线、线面、面面垂直的性质定理和判定定理解题,提升逻辑推理和直观想象的核心素养.
知识探究
问题1:教室门绕轴转动,门所在的平面与地面的位置关系发生改变吗 书脊与桌面垂直固定,每页纸所在的平面与桌面的位置关系相同吗 它们之间始终保持什么关系
提示:不改变;相同;垂直关系.
知识点 平面与平面垂直的判定定理
文字语言 如果一个平面过另一个平面的垂线,那么这两个平面垂直
图形语言
符号语言 l⊥α,l β α⊥β
[思考] 过平面外一点能够作几个平面与已知平面垂直
提示:无数个.
问题2:两个平行平面中的一个与一个平面垂直,那么另一个平面与该平面垂直吗
提示:垂直.
探究点一 两个平面垂直的判定
[例1]如图所示,已知∠BSC=90°,∠BSA=∠CSA=60°,SA=SB=SC.
求证:平面ABC⊥平面SBC.
证明:法一(利用定义)
因为∠BSA=∠CSA=60°,
SA=SB=SC,
所以△ASB和△ASC是等边三角形,
则有SA=SB=SC=AB=AC.
令其值为a,则△ABC和△SBC为共底边BC的等腰三角形.
取BC的中点D,如图所示,连接AD,SD,
则AD⊥BC,SD⊥BC,
所以∠ADS为二面角ABCS的平面角.
在Rt△BSC中,因为SB=SC=a,
所以SD=a,BD==a,
所以在Rt△ABD中,AD=a.
在△ADS中,因为SD2+AD2=SA2,
所以∠ADS=90°,
即二面角ABCS为直二面角,
故平面ABC⊥平面SBC.
法二(利用判定定理) 因为SA=SB=SC,且∠BSA=∠CSA=60°,
所以SA=AB=AC,
所以点A在平面SBC上的投影为△SBC的外心.
因为△SBC为直角三角形,
所以点A在△SBC上的投影D为斜边BC的中点,
所以AD⊥平面SBC.
又因为AD 平面ABC,
所以平面ABC⊥平面SBC.
证明两个平面垂直的方法
(1)利用定义:证明二面角的平面角是直角.
(2)利用平面与平面垂直的判定定理:证明一个平面经过另一个平面的一条垂线,将证明面面垂直转化为证明线面垂直.
[针对训练] 如图,四棱锥PABCD的底面是边长为2的正方形,PB=PD.
求证:平面PBD⊥平面PAC.
证明:如图,设AC∩BD=O,连接OP,因为ABCD为正方形,所以AC⊥BD且O为BD的中点.
又PB=PD,
所以OP⊥BD.又AC∩OP=O,AC,OP 平面PAC,所以BD⊥平面PAC.
又BD 平面PBD,所以平面PBD⊥平面PAC.
探究点二 线线、线面、面面垂直的综合应用
[例2] 如图,在四棱锥PABCD中,侧面PAD是正三角形,底面ABCD是菱形,∠BAD=60°,N是PB的中点,过A,D,N三点的平面交PC于点M,E为AD的中点.
求证:(1)EN∥平面PDC;
(2)BC⊥平面PBE;
(3)平面PBC⊥平面ADMN.
证明:(1)因为AD∥BC,BC 平面PBC,AD 平面PBC,
所以AD∥平面PBC.
又因为平面ADMN∩平面PBC=MN,
所以AD∥MN.
又因为BC∥AD,所以MN∥BC.
又因为N是PB的中点,
所以点M为PC的中点,
所以MN=BC.
又因为E为AD的中点,
所以MN∥DE且MN=DE,
所以四边形DENM为平行四边形,
所以EN∥DM.
又DM 平面PDC,EN 平面PDC,
所以EN∥平面PDC.
(2)因为四边形ABCD是菱形,E为AD的中点,
且∠BAD=60°,所以BE⊥AD.
又因为侧面PAD是正三角形,且E为AD的中点,
所以PE⊥AD.又因为PE 平面PBE,BE 平面PBE,PE∩BE=E,
所以AD⊥平面PBE.
又因为AD∥BC,所以BC⊥平面PBE.
(3)由(2)知AD⊥平面PBE,
又PB 平面PBE,
所以AD⊥PB.
又因为PA=AB,N为PB的中点,
所以AN⊥PB.
且AN∩AD=A,AN 平面ADMN,AD 平面ADMN,所以PB⊥平面ADMN.
又因为PB 平面PBC.
所以平面PBC⊥平面ADMN.
线线、线面、面面垂直的综合问题的解题策略
(1)重视转化.
涉及线线垂直、线面垂直、面面垂直的综合问题的解题关键是转化,即证面面垂直转化为证线面垂直;证线面垂直转化为证线线垂直.
(2)充分挖掘线面垂直关系.
解答线线垂直、线面垂直、面面垂直的综合问题时,通常要先证出一个关键的线面垂直关系,由此出发才能证出其他线线垂直、线面垂直关系,因此要注意线面垂直在解题过程中的枢纽作用.
(3)若已知条件中含垂直关系的线线平行证明问题,首先考虑利用面面垂直的性质或利用一个平面内垂直于同一直线的两条直线平行.
[针对训练] 如图所示,在四棱锥PABCD中,AB⊥平面PAD,AB∥CD,PD=AD,E是PB的中点,F是DC上的点,AB=2DF,PH为△PAD中AD边上的高.
(1)求证:PH⊥平面ABCD.
(2)求证:平面EFC⊥平面PAB.
证明:(1)因为AB⊥平面PAD,AB 平面ABCD,
所以平面ABCD⊥平面PAD.
因为PH⊥AD,PH 平面PAD,
平面PAD∩平面ABCD=AD,
所以PH⊥平面ABCD.
(2) 如图,取PA的中点G,连接EG,DG.
因为E为PB的中点,
所以EG∥AB,
EG=AB.
又因为AB=2DF,
AB∥DF,
所以EG∥DF,EG=DF,
所以四边形GDFE是平行四边形,
所以EF∥DG,
所以平面CEGD即平面EFC.
因为PD=AD,
所以DG⊥PA.
因为AB⊥平面PAD,DG 平面PAD,
所以AB⊥DG.
又因为AB∩PA=A,AB,PA 平面PAB,
所以DG⊥平面PAB.
又因为DG 平面CEGD,
所以平面CEGD⊥平面PAB,
即平面EFC⊥平面PAB.
学海拾贝
垂直探索问题
[典例探究] 如图所示,在四棱锥 PABCD中,四边形ABCD为平行四边形,∠BAP=∠CDP=90°,E为PC的中点.
(1)求证:AP∥平面EBD.
(2)若△PAD是正三角形,且PA=AB,
①当点M在线段PA上什么位置时,有DM⊥平面PAB
②在①的条件下,点N在线段PB什么位置时,有平面DMN⊥平面PBC
(1)证明:如图所示,
连接AC,交BD于点O,
连接OE.
因为E为PC的中点,
所以OE∥AP.
因为AP 平面EBD,OE 平面EBD,
所以AP∥平面EBD.
(2)解:①当点M为线段PA的中点时,有DM⊥平面PAB.
证明如下:
因为四边形ABCD是平行四边形,
所以AB∥CD.
又因为∠BAP=∠CDP=90°,
即AB⊥AP,CD⊥DP,
所以AB⊥DP.
又DP 平面PAD,AP 平面PAD,DP∩AP=P,从而AB⊥平面PAD.
又因为DM 平面PAD,所以AB⊥DM.
因为△PAD是正三角形,PM=MA,
所以DM⊥AP.
又AP∩AB=A,AP,AB 平面PAB,
所以DM⊥平面PAB.
②在①的条件下,当DN⊥PB时,
有平面DMN⊥平面PBC.
证明如下:在①的条件下,DM⊥平面PAB,
所以DM⊥PB.
又DN⊥PB,DM∩DN=D,DM 平面DMN,DN 平面DMN,所以PB⊥平面DMN,
所以平面DMN⊥平面PBC.
不妨设AB=2,
则PB=2=BD,PD=2.
如图,取PD的中点G,连接BG.
所以PN=PD·cos P=2×=.
所以==.
所以点N在线段PB上靠近点P的四等分点时,有平面DMN⊥平面PBC.
求解与垂直有关的探究性问题,要注意转化思想的应用,要充分利用线线、线面、面面之间的垂直关系,实现“空间问题”与“平面问题”之间的转化.一般地,探究面面垂直,主要是转化为探究线面垂直,而探究线面垂直,则转化为常见的线线垂直,如等腰三角形、正三角形的性质,勾股定理,三角形全等、相似等.
[应用探究] 如图,三棱锥PABC 中,PA⊥平面ABC,AB=1,AC=2,
∠BAC=60°.在线段PC上是否存在点M,使得AC⊥BM 若存在,求的值;若不存在,请说明理由.
解:在线段PC上存在点M,使得AC⊥BM.
证明如下:
如图,在平面ABC内,过点B作BN⊥AC,垂足为N.
在平面PAC内,过点N作MN∥PA交PC于点M,连接BM.
由PA⊥平面ABC,知PA⊥AC,
所以MN⊥AC.
因为BN∩MN=N,BN 平面MBN,MN 平面MBN,
所以AC⊥平面MBN.
又BM 平面MBN,
所以AC⊥BM.
在Rt△BAN中,AN=AB·cos∠BAC=,
从而NC=AC-AN=,
由MN∥PA,得==.
当堂检测
1.对于直线m,n和平面α,β,能得出α⊥β的一个条件是( C )
A.m⊥n,m∥α,n∥β
B.m⊥n,α∩β=m,n α
C.m∥n,n⊥β,m α
D.m∥n,m⊥α,n⊥β
解析:因为m∥n,n⊥β,则m⊥β,又m α,故α⊥β,所以C正确.故选C.
2.在空间四边形ABCD中,AB=BC,AD=CD,E为对角线AC的中点,下列判断正确的是( D )
A.平面ABD⊥平面BDC
B.平面ABC⊥平面ABD
C.平面ABC⊥平面ADC
D.平面ABC⊥平面BED
解析:由已知条件得AC⊥DE,AC⊥BE,于是AC⊥平面BED,又AC 平面ABC,所以平面ABC⊥平面BED.故选D.
3.下列不能确定两个平面垂直的是( D )
A.两个平面相交,所成二面角是直二面角
B.一个平面垂直于另一个平面内的一条直线
C.一个平面经过另一个平面的一条垂线
D.平面α内的直线a垂直于平面β内的直线b
解析:如图所示,在正方体ABCDA1B1C1D1中,平面A1B1CD内的直线A1B1垂直于平面ABCD内的一条直线BC,但平面A1B1CD与平面ABCD显然不垂直.故选D.
课时作业
选题明细表
知识点、方法 题号
平面与平面垂直的判定 1,2,3,4,5,6,7,8,10
空间垂直关系的综合应用 9,11,12,13,14
基础巩固
1.已知m,n为两条直线,α,β为两个平面,m α,n β,m⊥n,则m⊥β是α⊥β的( A )
A.充分不必要条件
B.必要不充分条件
C.充分必要条件
D.既不充分也不必要条件
解析:
若m⊥β,因为m α,所以α⊥β,即由m⊥β可以得到α⊥β;若α⊥β,如图,在正方体中,取平面ADD1A1为平面α,平面ABCD为平面β,取AD1为直线m,CD为直线n,显然有m α,n β,m⊥n,α⊥β,但m与β不垂直,即由α⊥β得不到m⊥β.故选A.
2.已知直线a,b与平面α,β,γ,下列能使α⊥β成立的条件是( D )
A.α⊥γ,β⊥γ B.α∩β=a,b⊥a,b β
C.a∥β,a∥α D.a∥α,a⊥β
解析:A,B,C得不到α⊥β.由a∥α,知α内必有直线l与a平行.而a⊥β,所以l⊥β,所以α⊥β.故选D.
3.在四棱锥PABCD中,已知PA⊥底面ABCD,且底面ABCD为矩形,则下列结论错误的是( C )
A.平面PAB⊥平面PAD
B.平面PAB⊥平面PBC
C.平面PBC⊥平面PCD
D.平面PCD⊥平面PAD
解析:因为PA⊥底面ABCD,所以PA⊥AD,PA⊥CD.
又因为底面ABCD为矩形,所以AD⊥AB,CD⊥AD.
而AB∩PA=A,AD∩PA=A,所以AD⊥平面PAB,CD⊥平面PAD.
所以平面PAD⊥平面PAB,平面PCD⊥平面PAD.
又因为BC∥AD,所以BC⊥平面PAB,平面PBC⊥平面PAB.故选C.
4.阅读下面题目及其证明过程,在横线处应填写的正确结论是( C )
如图,四棱锥PABCD中,底面ABCD是正方形,O是正方形ABCD的中心,PO⊥底面ABCD,E是PC的中点,求证:平面PAC⊥平面BDE.
证明:因为PO⊥底面ABCD,
所以PO⊥BD.
又因为AC⊥BD,且AC∩PO=O,
所以 .
又因为BD 平面BDE,
所以平面PAC⊥平面BDE.
A.BD⊥平面PBC B.AC⊥平面PBD
C.BD⊥平面PAC D.AC⊥平面BDE
解析:因为PO⊥底面ABCD,所以PO⊥BD.
又因为AC⊥BD,且AC∩PO=O,
AC 平面PAC,PO 平面PAC,
所以BD⊥平面PAC.
又因为BD 平面BDE,
所以平面PAC⊥平面BDE.故选C.
5.(2022·全国乙卷)在正方体ABCDA1B1C1D1中,E,F分别为AB,BC的中点,则( A )
A.平面B1EF⊥平面BDD1
B.平面B1EF⊥平面A1BD
C.平面B1EF∥平面A1AC
D.平面B1EF∥平面A1C1D
解析:如图,对于选项A,在正方体ABCDA1B1C1D1中,因为E,F分别为AB,BC的中点,所以EF∥AC,又AC⊥BD,所以EF⊥BD,又易知DD1⊥EF,BD∩DD1=D,从而EF⊥平面BDD1.又EF 平面B1EF,所以平面B1EF⊥平面BDD1,故选项A正确;对于选项B,因为平面A1BD∩平面BDD1=BD,所以由选项A知,平面B1EF⊥平面A1BD不成立,故选项B错误;对于选项C,由题意知直线AA1与直线B1E必相交,故平面B1EF与平面A1AC不平行,故选项C错误;对于选项D,连接AB1,B1C,易知平面AB1C∥平面A1C1D,又平面AB1C与平面B1EF有公共点B1,所以平面 A1C1D与平面B1EF不平行,故选项D错误.故选A.
6.如图所示,检查工件的相邻两个面是否垂直时,只要用曲尺的一边紧靠在工件的一个面上,另一边在工件的另一个面上转动,观察尺边是否和这个面密合就可以了,其原理是利用了 .
解析:如图所示,因为OA⊥OB,OA⊥OC,OB β,OC β,且OB∩OC=O,根据线面垂直的判定定理,可得OA⊥β,又OA α,根据面面垂直的判定定理,可得α⊥β.
答案:一个平面经过另一个平面的一条垂线,那么这两个平面垂直(或平面与平面垂直的判定定理)
7.如图所示,在四棱锥PABCD中,PA⊥底面ABCD,底面各边都相等,M是PC上的一动点,当点M满足 时,平面MBD⊥平面PCD.(注:只要填写一个你认为正确的即可)
解析:连接AC(图略),因为四边形ABCD的边长相等,
所以四边形ABCD为菱形,
所以AC⊥BD.
又因为PA⊥平面ABCD,所以PA⊥BD.
又因为AC∩PA=A,AC 平面PAC,PA 平面PAC,
所以BD⊥平面PAC,
所以BD⊥PC.
若PC⊥平面MBD,则PC垂直于平面MBD中两条相交直线,
所以当BM⊥PC时,PC⊥平面MBD.所以平面PCD⊥平面MBD.
答案:BM⊥PC(答案不唯一)
8.α,β是两个不同的平面,m,n是平面α及β之外的两条不同直线,给出下列论断:
①m⊥n;②α⊥β;③n⊥β;④m⊥α.
以其中三个论断作为条件,余下一个论断作为结论,写出你认为正确的一个命题 .(答案不唯一,写出一个即可,填序号).
解析:若①m⊥n,②α⊥β,③n⊥β成立,则m与α可能平行也可能相交,即④m⊥α不一定成立;同理,若①m⊥n,②α⊥β,④m⊥α成立,③n⊥β不一定成立;若①m⊥n,③n⊥β,④m⊥α成立,则②α⊥β一定成立;若②α⊥β,③n⊥β,④m⊥α成立,则① m⊥n一定成立.
所以①③④ ②(或②③④ ①).
答案:①③④ ②(或②③④ ①)
能力提升
9.(多选题) 在正四面体PABC中,D,E,F分别是AB,BC,CA的中点,下列结论成立的是( ABD )
A.BC∥平面PDF
B.DF⊥平面PAE
C.平面PDF⊥平面ABC
D.平面PAE⊥平面ABC
解析:如图所示,
由题意,得BC∥DF,
BC 平面PDF,DF 平面PDF,所以BC∥平面PDF,所以A正确.
由题意,得BC⊥PE,BC⊥AE,PE∩AE=E,PE,AE 平面PAE,
所以BC⊥平面PAE,
所以DF⊥平面PAE,所以B正确.
因为BC⊥平面PAE,BC 平面ABC,
所以平面ABC⊥平面PAE,所以D正确.故选ABD.
10.(多选题)如图所示,四边形ABCD中,AD∥BC,AD=AB=1,∠BCD=45°,∠BAD=90°,将△ABD沿BD折起,点A到达A′的位置,此时A′C=,构成三棱锥A′BCD,则下列结论正确的是( AD )
A.平面A′BD⊥平面BDC
B.平面A′BD⊥平面A′BC
C.平面A′DC⊥平面BDC
D.平面A′DC⊥平面A′BC
解析:由题意知△ABD与△BDC都为等腰直角三角形,
在三棱锥A′BDC中,A′D=A′B=1,故BD=,DC=.又A′C=,
故A′C2=A′D2+DC2,则CD⊥A′D.又CD⊥BD,A′D∩BD=D,且A′D,
BD 平面A′BD,所以CD⊥平面A′BD,故平面A′BD⊥平面BDC.
又CD⊥平面A′BD,所以CD⊥A′B.又A′B⊥A′D,A′D∩CD=D,
且A′D,CD 平面A′DC,所以A′B⊥平面A′DC,
故平面 A′DC⊥平面A′BC.故选AD.
11.在四面体PABC中,PA=AB=AC,∠PAB=∠PAC=,∠BAC=,O为AB的中点,则直线PO与平面PAC所成角的正弦值为 .
解析:如图,取AC的中点为E,取AE的中点为F,连接BE,OF,PF,
由∠PAB=∠PAC=,得PA⊥AB,PA⊥AC,又AB∩AC=A,AB,AC 平面ABC,故PA⊥平面ABC.
又PA 平面PAC,故平面PAC⊥平面ABC,由 PA=AB=AC,∠BAC=,可知△ABC为正三角形,
由E为AC的中点,得BE⊥AC,而AE的中点为F,AB的中点为O,
故OF∥BE,故OF⊥AC.
又平面PAC∩平面ABC=AC,OF 平面ABC,故OF⊥平面PAC,
故∠OPF即为直线PO与平面PAC所成角.
设PA=AB=AC=a,则BE=a,OF=a,
PO===,
在Rt△OFP中,sin ∠OPF===,即直线PO与平面PAC所成角的正弦值为.
答案:
12.如图,在棱长为1的正方体ABCDA1B1C1D1中,点P在线段AD1上运动,给出以下命题:
①异面直线C1P与B1C所成的角不为定值;②平面A1CP⊥平面DBC1;③二面角PBC1D的大小为定值.其中真命题的序号为 .
解析:对于①,因为在棱长为1的正方体ABCDA1B1C1D1中,
点P在线段AD1上运动,由正方体的性质可知C1D1⊥B1C,
由正方形的性质可知BC1⊥B1C,而D1C1∩C1B=C1,D1C1,C1B 平面ABC1D1,
所以B1C⊥平面ABC1D1,而C1P 平面ABC1D1,所以B1C⊥C1P,
故这两个异面直线所成的角为定值90°,所以①不正确.
对于②,连接AC,PC,A1C(图略),由正方体的性质可知AA1⊥BD,由正方形的性质可知BD⊥AC,
而AA1∩AC=A,AA1 平面AA1C,AC 平面AA1C,
所以DB⊥平面AA1C,而A1C 平面AA1C,所以DB⊥A1C,
同理C1B⊥A1C,而DB∩BC1=B,DB,BC1 平面DBC1,所以A1C⊥平面DBC1,
而A1C 平面A1CP,所以有平面A1CP⊥平面DBC1,故②正确.
对于③,因为二面角PBC1D的大小实质为平面ABC1D1与平面BDC1所成的二面角,
而这两平面为固定的不变的平面所以夹角大小也为定值,故③正确.
答案:②③
13.已知△BCD中,∠BCD=90°,BC=CD=1,AB⊥平面BCD,∠ADB=
60°,E,F分别是线段AC,AD上的动点,且==λ(0<λ<1).
(1)求证:不论λ为何值,总有平面BEF⊥平面ABC.
(2)当λ为何值时,平面BEF⊥平面ACD
(1)证明:因为AB⊥平面BCD,所以AB⊥CD.
因为CD⊥BC且AB∩BC=B,AB,BC 平面ABC,所以CD⊥平面ABC.
又==λ(0<λ<1),
所以不论λ为何值,恒有EF∥CD,
所以EF⊥平面ABC.
又EF 平面BEF,
所以不论λ为何值,恒有平面BEF⊥平面ABC.
(2)解:由(1)知,EF⊥BE,
又平面BEF⊥平面ACD,
平面BEF∩平面ACD=EF,BE 平面BEF,
所以BE⊥平面ACD,所以BE⊥AC.
因为BC=CD=1,∠BCD=90°,∠ADB=60°,AB⊥平面BCD,
所以BD=,AB=tan 60°=,
所以AC==,
由AB2=AE·AC得AE=,所以λ==,
故当λ=时,平面BEF⊥平面ACD.
应用创新
14.已知直三棱柱ABCA1B1C1的侧棱长为2,AB⊥BC,AB=BC=2.过AB,BB1的中点E,F作平面α与平面AA1C1C垂直,则所得截面周长为( C )
A.2+ B.+2
C.3+ D.3+2
解析:如图,取AC的中点D,连接BD,取A1C1的中点D1,连接B1D1,DD1,
取AD的中点G,连接EG,连接EF并延长,与A1B1的延长线交于点H,
取C1D1的中点M,连接MH,交B1C1于点N,
连接FN,GM,
可得EG∥BD,BD∥B1D1,MN∥B1D1,
即有EG∥MN.
又AB=BC,可得BD⊥AC,
AA1⊥平面ABC,可得AA1⊥BD,
AC∩AA1=A,AC 平面AA1C1C,AA1 平面AA1C1C,所以BD⊥平面AA1C1C,
可得EG⊥平面AA1C1C.
由面面垂直的判定定理,
可得平面EGMNF⊥平面AA1C1C,
则平面EGMNF即为平面α,
EG=BD=,GM==,
MN=B1D1=,NF==,FE=,
所得截面周长为++++=3+.故选C.第2课时 平面与平面垂直的判定
学习目标
1.理解并掌握两个平面垂直的判定定理及其简单应用,培养逻辑推理和数学抽象的核心素养.
2.能够综合应用线线、线面、面面垂直的性质定理和判定定理解题,提升逻辑推理和直观想象的核心素养.
知识探究
问题1:教室门绕轴转动,门所在的平面与地面的位置关系发生改变吗 书脊与桌面垂直固定,每页纸所在的平面与桌面的位置关系相同吗 它们之间始终保持什么关系
提示:不改变;相同;垂直关系.
知识点 平面与平面垂直的判定定理
文字语言 如果一个平面过另一个平面的垂线,那么这两个平面垂直
图形语言
符号语言 l⊥α,l β α⊥β
[思考] 过平面外一点能够作几个平面与已知平面垂直
提示:无数个.
问题2:两个平行平面中的一个与一个平面垂直,那么另一个平面与该平面垂直吗
提示:垂直.
探究点一 两个平面垂直的判定
[例1]如图所示,已知∠BSC=90°,∠BSA=∠CSA=60°,SA=SB=SC.
求证:平面ABC⊥平面SBC.
证明两个平面垂直的方法
(1)利用定义:证明二面角的平面角是直角.
(2)利用平面与平面垂直的判定定理:证明一个平面经过另一个平面的一条垂线,将证明面面垂直转化为证明线面垂直.
[针对训练] 如图,四棱锥PABCD的底面是边长为2的正方形,PB=PD.
求证:平面PBD⊥平面PAC.
探究点二 线线、线面、面面垂直的综合应用
[例2] 如图,在四棱锥PABCD中,侧面PAD是正三角形,底面ABCD是菱形,∠BAD=60°,N是PB的中点,过A,D,N三点的平面交PC于点M,E为AD的中点.
求证:(1)EN∥平面PDC;
(2)BC⊥平面PBE;
(3)平面PBC⊥平面ADMN.
线线、线面、面面垂直的综合问题的解题策略
(1)重视转化.
涉及线线垂直、线面垂直、面面垂直的综合问题的解题关键是转化,即证面面垂直转化为证线面垂直;证线面垂直转化为证线线垂直.
(2)充分挖掘线面垂直关系.
解答线线垂直、线面垂直、面面垂直的综合问题时,通常要先证出一个关键的线面垂直关系,由此出发才能证出其他线线垂直、线面垂直关系,因此要注意线面垂直在解题过程中的枢纽作用.
(3)若已知条件中含垂直关系的线线平行证明问题,首先考虑利用面面垂直的性质或利用一个平面内垂直于同一直线的两条直线平行.
[针对训练] 如图所示,在四棱锥PABCD中,AB⊥平面PAD,AB∥CD,PD=AD,E是PB的中点,F是DC上的点,AB=2DF,PH为△PAD中AD边上的高.
(1)求证:PH⊥平面ABCD.
(2)求证:平面EFC⊥平面PAB.
学海拾贝
垂直探索问题
[典例探究] 如图所示,在四棱锥 PABCD中,四边形ABCD为平行四边形,∠BAP=∠CDP=90°,E为PC的中点.
(1)求证:AP∥平面EBD.
(2)若△PAD是正三角形,且PA=AB,
①当点M在线段PA上什么位置时,有DM⊥平面PAB
②在①的条件下,点N在线段PB什么位置时,有平面DMN⊥平面PBC
求解与垂直有关的探究性问题,要注意转化思想的应用,要充分利用线线、线面、面面之间的垂直关系,实现“空间问题”与“平面问题”之间的转化.一般地,探究面面垂直,主要是转化为探究线面垂直,而探究线面垂直,则转化为常见的线线垂直,如等腰三角形、正三角形的性质,勾股定理,三角形全等、相似等.
[应用探究] 如图,三棱锥PABC 中,PA⊥平面ABC,AB=1,AC=2,
∠BAC=60°.在线段PC上是否存在点M,使得AC⊥BM 若存在,求的值;若不存在,请说明理由.
当堂检测
1.对于直线m,n和平面α,β,能得出α⊥β的一个条件是( )
A.m⊥n,m∥α,n∥β
B.m⊥n,α∩β=m,n α
C.m∥n,n⊥β,m α
D.m∥n,m⊥α,n⊥β
2.在空间四边形ABCD中,AB=BC,AD=CD,E为对角线AC的中点,下列判断正确的是( )
A.平面ABD⊥平面BDC
B.平面ABC⊥平面ABD
C.平面ABC⊥平面ADC
D.平面ABC⊥平面BED
3.下列不能确定两个平面垂直的是( )
A.两个平面相交,所成二面角是直二面角
B.一个平面垂直于另一个平面内的一条直线
C.一个平面经过另一个平面的一条垂线
D.平面α内的直线a垂直于平面β内的直线b
课时作业
选题明细表
知识点、方法 题号
平面与平面垂直的判定 1,2,3,4,5,6,7,8,10
空间垂直关系的综合应用 9,11,12,13,14
基础巩固
1.已知m,n为两条直线,α,β为两个平面,m α,n β,m⊥n,则m⊥β是α⊥β的( )
A.充分不必要条件
B.必要不充分条件
C.充分必要条件
D.既不充分也不必要条件
2.已知直线a,b与平面α,β,γ,下列能使α⊥β成立的条件是( )
A.α⊥γ,β⊥γ B.α∩β=a,b⊥a,b β
C.a∥β,a∥α D.a∥α,a⊥β
3.在四棱锥PABCD中,已知PA⊥底面ABCD,且底面ABCD为矩形,则下列结论错误的是( )
A.平面PAB⊥平面PAD
B.平面PAB⊥平面PBC
C.平面PBC⊥平面PCD
D.平面PCD⊥平面PAD
4.阅读下面题目及其证明过程,在横线处应填写的正确结论是( )
如图,四棱锥PABCD中,底面ABCD是正方形,O是正方形ABCD的中心,PO⊥底面ABCD,E是PC的中点,求证:平面PAC⊥平面BDE.
证明:因为PO⊥底面ABCD,
所以PO⊥BD.
又因为AC⊥BD,且AC∩PO=O,
所以 .
又因为BD 平面BDE,
所以平面PAC⊥平面BDE.
A.BD⊥平面PBC B.AC⊥平面PBD
C.BD⊥平面PAC D.AC⊥平面BDE
5.(2022·全国乙卷)在正方体ABCDA1B1C1D1中,E,F分别为AB,BC的中点,则( )
A.平面B1EF⊥平面BDD1
B.平面B1EF⊥平面A1BD
C.平面B1EF∥平面A1AC
D.平面B1EF∥平面A1C1D
6.如图所示,检查工件的相邻两个面是否垂直时,只要用曲尺的一边紧靠在工件的一个面上,另一边在工件的另一个面上转动,观察尺边是否和这个面密合就可以了,其原理是利用了 .
7.如图所示,在四棱锥PABCD中,PA⊥底面ABCD,底面各边都相等,M是PC上的一动点,当点M满足 时,平面MBD⊥平面PCD.(注:只要填写一个你认为正确的即可)
8.α,β是两个不同的平面,m,n是平面α及β之外的两条不同直线,给出下列论断:
①m⊥n;②α⊥β;③n⊥β;④m⊥α.
以其中三个论断作为条件,余下一个论断作为结论,写出你认为正确的一个命题 .(答案不唯一,写出一个即可,填序号).
能力提升
9.(多选题) 在正四面体PABC中,D,E,F分别是AB,BC,CA的中点,下列结论成立的是( )
A.BC∥平面PDF
B.DF⊥平面PAE
C.平面PDF⊥平面ABC
D.平面PAE⊥平面ABC
10.(多选题)如图所示,四边形ABCD中,AD∥BC,AD=AB=1,∠BCD=45°,∠BAD=90°,将△ABD沿BD折起,点A到达A′的位置,此时A′C=,构成三棱锥A′BCD,则下列结论正确的是( )
A.平面A′BD⊥平面BDC
B.平面A′BD⊥平面A′BC
C.平面A′DC⊥平面BDC
D.平面A′DC⊥平面A′BC
11.在四面体PABC中,PA=AB=AC,∠PAB=∠PAC=,∠BAC=,O为AB的中点,则直线PO与平面PAC所成角的正弦值为 .
12.如图,在棱长为1的正方体ABCDA1B1C1D1中,点P在线段AD1上运动,给出以下命题:
①异面直线C1P与B1C所成的角不为定值;②平面A1CP⊥平面DBC1;③二面角PBC1D的大小为定值.其中真命题的序号为 .
13.已知△BCD中,∠BCD=90°,BC=CD=1,AB⊥平面BCD,∠ADB=
60°,E,F分别是线段AC,AD上的动点,且==λ(0<λ<1).
(1)求证:不论λ为何值,总有平面BEF⊥平面ABC.
(2)当λ为何值时,平面BEF⊥平面ACD
应用创新
14.已知直三棱柱ABCA1B1C1的侧棱长为2,AB⊥BC,AB=BC=2.过AB,BB1的中点E,F作平面α与平面AA1C1C垂直,则所得截面周长为( )
A.2+ B.+2
C.3+ D.3+2
